EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

2. Definición de χ2

Una medida de la discrepancia o divergencia existente entre las frecuencias realmente observadas y las esperadas o teóricas, es la suministrada por el conocido estadígrafo 2 de Pearson, dado por la expresión:

(1)

donde si el total de frecuencias es N, tendremos:

oj = ej = N (2)

Una explicación equivalente a la ofrecida por la expresión anterior (1) es la siguiente:

(3)

Si 2 = 0, las frecuencias observadas y las teóricas concuerdan exactamente; mientras que si 2>0, no coinciden exactamente. Para mayores valores de 2, mayores son también las discrepancias existentes entre las frecuencias observadas y las teóricamente estimadas.

La distribución muestral de 2 se aproxima muy estrechamente a la distribución teórica de probabilidad Chi-cuadrado, cuya gráfica puede verse en la siguiente figura para diferentes valores de , de configuración analítica:

(4)

si las frecuencias estimadas son al menos iguales a 5; la aproximación mejora para valores superiores. Aquí  es el número de grados de libertad, Y0 es una constante que depende de  con lo cual, lógicamente, el área total bajo la curva vale 1.

Definimos una variable aleatoria 2 con  grados de libertad como una suma de  variables aleatorias N (0, 1), independientes y elevadas al cuadrado, cuya función de densidad coincide con la correspondiente a la , es decir:

que es una función evidentemente continua en el origen de coordenadas.

Algunas distribuciones 2 correspondientes a diferentes valores de  se muestran en la siguiente figura:

FIG. A-1.12. Distribuciones de Chi-cuadrado para diferentes valores de 

El valor máximo que alcanza Y se presenta en 2 =  - 2, para   2.

El número de grados de libertad  viene dado por:

a)  = k - 1, si las frecuencias esperadas pueden calcularse sin haber de estimar parámetros poblacionales con los estadísticos muestrales. Advirtiéndose que el restar 1 a k es a causa de la condición restrictiva (2) que denota que si son conocidas (k-1) de las frecuencias esperadas, la frecuencia restante puede ser determinada.

b)  = k - 1 - m, si las frecuencias esperadas solamente pueden calcularse estimando m parámetros de la población a partir de los estadísticos muestrales.