La función de distribución correspondiente a una variable aleatoria X, distribuida según una (,a) es:
El valor de esta expresión no es fácil de obtener, aunque cuando es un número entero positivo, la integral se puede calcular por partes y las probabilidades se obtienen de forma aproximada.
Para llegar a obtener la media calcularemos previamente el “momento de orden r” respecto al origen de coordenadas u ordinario, o sea:
La expresión anterior nos permite fácilmente deducir la media buscada sin más que sustituir r = 1, con lo que:
De un modo parecido, haciendo en este caso r = 2, procederemos para la obtención de la varianza, resultando lo siguiente:
y una desviación típica: .
Con el fin de simplificar el cálculo de estas probabilidades, Pearson tabuló la función gamma incompleta para diferentes valores del parámetro .
La función gamma incompleta viene dada por la expresión:
que aparece tabulada en la siguiente tabla, donde se ha hecho = p, así:
El valor de la función de distribución F(x) de la (,a) es igual al de la función gamma incompleta en el punto y = a•x, es decir:
F(x) = F*(ax)
3.2.2. Función generatriz de momentos factoriales
Aplicando la definición de función generatriz de momentos, tenemos:
y haciendo el cambio de variable:
se tiene: