EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

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3.2. Características de la distribución “gamma”

3.2.1. Función de distribución, media y varianza

La función de distribución correspondiente a una variable aleatoria X, distribuida según una (,a) es:

El valor de esta expresión no es fácil de obtener, aunque cuando  es un número entero positivo, la integral se puede calcular por partes y las probabilidades se obtienen de forma aproximada.

Para llegar a obtener la media calcularemos previamente el “momento de orden r” respecto al origen de coordenadas u ordinario, o sea:

La expresión anterior nos permite fácilmente deducir la media buscada sin más que sustituir r = 1, con lo que:

De un modo parecido, haciendo en este caso r = 2, procederemos para la obtención de la varianza, resultando lo siguiente:

y una desviación típica: .

Con el fin de simplificar el cálculo de estas probabilidades, Pearson tabuló la función gamma incompleta para diferentes valores del parámetro .

La función gamma incompleta viene dada por la expresión:

que aparece tabulada en la siguiente tabla, donde se ha hecho  = p, así:

El valor de la función de distribución F(x) de la (,a) es igual al de la función gamma incompleta en el punto y = a•x, es decir:

F(x) = F*(ax)

3.2.2. Función generatriz de momentos factoriales

Aplicando la definición de función generatriz de momentos, tenemos:

y haciendo el cambio de variable:

se tiene: