EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOG?A UNA APROXIMACI?N MATEM?TICA

2. Aplicación de la Teoría de Grafos

El empleo de la Teoría de Grafos, nacido de la existencia indudable de una aplicación multívoca  definida sobre un conjunto de sistemas o individuos, en el planteamiento y resolución de relaciones psicológicas entre los sistemas, puede extenderse al terreno intensamente operativo de la optimización o búsqueda del valor óptimo entre los diversos sistemas que constituyen, ahora, los vértices del grafo.

La “matriz estructural” del conjunto de sistemas (grupo de individuos) viene determinada por la “matriz asociada al grafo” como representación sagital propiamente dicha.

El problema general consiste en buscar un camino de valor máximo o mínimo entre los vértices o sistemas psicológicos (individuos) dados en un grafo simétrico o no. Dado un grafo G = (S, U), siendo S el conjunto de elementos y U el de arcos, en el cual, a cada arco u se le asocia un número: l (u)  0, llamado “valor o longitud de u” (y que, en nuestro caso, puede evaluarse de acuerdo con la intensidad de un estímulo o respuesta), se debe buscar un camino  que vaya de un vértice S0 a otro Sn, de modo que podamos maximizar o minimizar la función:

Para resolver este problema, existen varios algoritmos, siendo los de mayor utilidad en este caso, en mi opinión, el de Ford y el de Bellman–Kalaba (siendo el primero fácil de mecanizar para las redes que poseen un gran número de vértices: caso del estudio sistemático de un grupo nutrido de individuos).

Obviamente, no podemos detenernos en la exposición de los conceptos teóricos que afectan a la aplicación a la Psicología de la Teoría de Grafos, si bien, y sólo a título indicativo, realizaremos las siguientes especulaciones, acerca del comportamiento de los S. psicológicos tratados de esta guisa por la susodicha técnica de la Investigación Operativa.

Sea, v. gr., un conjunto de 5 individuos o sistemas psicológicos. De ellos puede afirmarse que:

1- No forman grafo “simétrico”: puesto que 2 vértices adyacentes (ligados entre sí por un arco, por lo menos) no tienen por qué estar ligados forzosamente por 2 arcos (uno en cada sentido): en efecto, un individuo puede emitir información hacia otro, y no ser correspondido.

2- No forman grafo “antisimétrico”: puesto que 2 vértices cualesquiera pueden estar ligados por 2 arcos (se admite la posible existencia de una correspondencia informativa entre dos individuos).

3- No forman grafo “completo”: puesto que dos vértices cualesquiera no tienen por qué ser siempre adyacentes (se admite la posible inexistencia de tránsito informativo entre 2 individuos).

4- No forman grafo “fuertemente conexo”: puesto que 2 vértices cualesquiera pueden no estar siempre ligados, al menos, por dos caminos (hipótesis que se deduce ampliamente de mis consideraciones anteriores).

5- Sí forman grafo “transitivo”: puesto que:

a) Existe siempre un arco que va del origen de un camino cualquiera a su extremidad.

b) Además cada vértice posee un “bucle”. Veamos ambas consideraciones respectivamente:

a) Sea:

B

A

C E

D

FIG. 7.6. Grafo compuesto de cinco individuos.

un grafo constitutivo de los cinco sistemas (individuos) de que consta un grupo. Obsérvese que si bien no podemos, siguiendo un camino, desplazarnos desde A hasta E, sí podemos plantearnos el problema de un modo distinto: considerando dos subgrafos transitivos: A, B, D

C, E,

en los que es perfectamente descomponible el grupo en cuestión.

b) La diagonal principal de la matriz asociada al grafo no contiene más que unos  uii =1. Esta consideración se nos antoja importante desde el punto de vista psicológico (trascendencia de las propias respuestas en uno mismo), y es condición decisiva en el estudio de sistemas con retroalimentación o “feedback” (¡tan propio de los individuos de la especie humana!).

6- No forman grafo “sin circuitos”: puesto que no sólo puede existir algún “circuito” (camino en que la extremidad terminal del último arco se confunde con la extremidad inicial del primer arco), sino que, por otra parte –como ya hemos apuntado anteriormente– cada vértice posee un “bucle”.

7- La consideración acerca de si pueden constituir un grafo “simple” parece aleatoria y, en todo caso, perfectamente enjuiciable desde el plano psicológico: puede determinarse una división de los vértices (sistemas  individuos) en 2 clases, de tal forma que todo arco que tenga su extremidad inicial en la primera de estas clases, y su extremidad terminal en la segunda.

Otro problema interesante que puede plantearse en el estudio de los S. psicológicos, reside en la búsqueda del flujo máximo que puede atravesar una red de acuerdo con la limitación que representan las capacidades máximas de los arcos de la misma (umbrales superiores de “estímulo o respuesta”). Para resolver este problema por el algoritmo de Ford–Fulkerson, es necesario ignorar la presencia de los “bucles” en el grafo representativo del conjunto o grupo de individuos. El problema queda definido de este modo:

“capacidad del arco u” (umbral de máxima información) = c(u)  0;

Hay (n+1) sistemas o vértices  S0, ..., Sn, de tal modo que:

  un vértice S0 (“entrada de la red”) y uno sólo /: -1 (S0) = Ø;

  un vértice Sn (“salida de la red”) y uno sólo / :  (Sn) = Ø ;

Un flujo  de la red, es una cantidad (u) asociada a cada arco u de la red, tal que: (1) (u)  0   u  U;

(2)  S0

  S ;

 Sn

(3) (u)  c(u) ;

Y ello, representando por Us- al conjunto de arcos que inciden interiormente en S, y Us+ al conjunto de arcos que inciden exteriormente en S.

Las restricciones (1) y (3) son claras. Veamos, en cambio, que la restricción (2) implica una exégesis terminante: en todo S, la suma de umbrales máximos de los estímulos debe ser igual o “equivalente” (heterogeneidad de las unidades de medida) a la suma de los umbrales máximos de las respuestas, sin cuya condición, es inútil atacar el problema a través del algoritmo propuesto. Particularmente, creo que esta igualdad puede llegar a formalizarse, e incluso a constituirse en realidad, profundizando en el estudio del ser humano y de sus posibilidades de asimilación y de comunicación: los psicólogos tienen la palabra.

Buscar el flujo máximo en una red equivale a hacer llegar el máximo flujo al vértice o sistema Sn, esto es  MAX. Sn, siendo Sn el denominado “valor del flujo ”. Consideremos, por otra parte, que los problemas de optimización de camino, o de flujo máximo a través de una red, pueden convertirse en problemas de Programación Lineal. Sin embargo, los algoritmos propuestos (y cuya descripción debemos ahorrarnos por obvias razones de espacio), utilizando la Teoría de los Grafos, resultan –a mi juicio– más concretos y elegantes, permitiendo una mejor utilización de la estructura particular de estos problemas.