EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA 
UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

EL ESTUDIO OPERATIVO DE LA PSICOLOGÍA UNA APROXIMACIÓN MATEMÁTICA

Josep Maria Franquet i Bernis

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4. Ajuste a una distribución “beta”

4.1. Conceptualización

Análogamente a como hicimos para la distribución gamma, definiremos previamente la función beta como una función del análisis matemático que puede resultar útil para la resolución de problemas de “uniformidad psicológica” u otros relacionados con la Psicología en general. Así pues, definimos la función beta generalizada de p y q,  (p,q) como dada por la integral euleriana de 1ª especie:

que es convergente para valores de x en el intervalo (0,1), siendo p,q números reales positivos, no necesariamente enteros.

Se verifica que:

(p,q) = (q,p)

y para probar esto, basta hacer el cambio de variable:

1 - x = y , dx = - dy

En efecto:

También se verifica que:

(1)

Esta función (p,q) la utilizaremos para definir la “distribución de probabilidad beta”. La demostración de la fórmula anterior (1),  p, q  R+, se deduce teniendo en cuenta que:

que es una integral doble extendida a todo el cuadrante positivo. Pasando de coordenadas cartesianas rectangulares a coordenadas polares, con el cambio de variable correspondiente, se tiene:

x = r • cos 

y = r • sen  , y entonces:

El determinante funcional jacobiano J de la transformación, que deberá tomarse siempre en valor absoluto, será:

, (r, )  (0,0)

Obsérvese que el elemento de área en coordenadas polares corresponde a la superficie de un recinto plano limitado por las dos circunferencias con centro en el origen y radios: r, r+dr, y las dos semirrectas que parten del origen y forman con el eje de abscisas OX los ángulos: ,  + d. La expresión anterior quedará así:

y como ya hemos visto que: (q,p) = (p,q), se tendrá:

Diremos ahora que una variable aleatoria X, de tipo continuo, sigue una distribución beta de parámetros p y q, siendo p,q2 y p > 0 y q > 0, si su función de densidad es:

(2)

O bien, teniendo en cuenta la expresión (1):

Abreviadamente lo indicaremos por:

X  (p,q)

Observemos que esta función de densidad está definida en el intervalo (0,1), lo cual nos indica que esta familia de distribuciones beta es muy útil para representar modelos probabilísticos que representan proporciones que se pueden presentar en algunos problemas que plantea la Psicología, en general.

La expresión (2) está correctamente definida como una función de densidad, pues para 0 < x < 1, f(x) es positiva y además muy fácilmente se comprueba que:

La representación gráfica de la función de densidad, como vemos en la figura A-1.18., toma formas muy diferentes para los distintos valores de los dos parámetros p y q. Esto nos permite seleccionar la forma de la función de densidad, pues bastará elegir adecuadamente los parámetros para ajustarse convenientemente a ella. Así pues:

- Cuando p = q la función de densidad es simétrica, siendo el eje de simetría la recta de ecuación: x = .

- Cuando p = q = 1 la distribución (p,q)  U(0,1).

- Cuando p < q es asimétrica a la derecha.

- Cuando p > q es asimétrica a la izquierda.

- Cuando p < 1 y q  1 es decreciente y cóncava.

- Cuando q < 1 y p  1 es creciente y cóncava.

- Cuando p > 1 y q > 1 tiene un solo máximo relativo o local.

- Cuando p < 1 y q < 1 tiene un solo mínimo relativo o local.