EL PROCESO ENSEÑANZA APRENDIZAJE DE LA MATEMÁTICA GENERAL Y SU DINÁMICA EN LAS CARRERAS DE INGENIERÍA

Introducción

En las carreras universitarias, se ha podido comprobar que los estudiantes presentan insuficiencias en la apropiación de contenidos matemáticos, las cuales se agudizan en las carreras de ingeniería y limitan la pertinencia formativa del futuro profesional, lo que es fuente de motivación para la presente investigación y constituye el problema científico, punto de partida para su desarrollo.

En este capítulo se realiza la fundamentación de esta investigación. Primeramente se hace una caracterización del proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática General en el nivel superior, en las carreras de ingeniería, y las particularidades de su dinámica, así como de las tendencias históricas de este, revelándose las especificidades de su dinámica. Finalmente se analiza la situación actual que presenta la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática General, en la carrera de Ingeniería Informática de la Universidad “Máximo Gómez Báez” de Ciego de Ávila, Cuba.

1.1. El proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática General y su dinámica en las carreras de ingeniería, características fundamentales

El proceso de enseñar es progresivo, dinámico y transformador, lo que contribuye de modo sistemático al fortalecimiento cognitivo de los estudiantes. El de aprender es activo y constructivo, es el que realiza en su interior el estudiante, para conocer, comprender y transformar la realidad objetiva, siendo imprescindible la unidad dialéctica entre ambos para lograr su fin.

En el presente trabajo se asume la definición de proceso enseñanza aprendizaje como aquel "que de modo consciente se desarrolla a través de las relaciones de carácter social que se establecen entre estudiantes y profesores, con el propósito de educar, instruir y desarrollar a los primeros, dando respuesta a las demandas de la sociedad, para lo cual se sistematiza y recrea la cultura acumulada por la sociedad de forma planificada y organizada" (Fuentes, 1998: p20). También González (2002) define la necesidad de que este sea sistemático, dirigido y específico, por cuanto la interrelación profesor - estudiante deviene en un accionar didáctico mucho más directo, cuyo único fin es el desarrollo integral de la personalidad de los educandos, lo cual enriquece la idea planteada con anterioridad.

En general, estas definiciones son válidas cuando se particulariza en el proceso enseñanza aprendizaje de la disciplina Matemática General, presente en el currículo de diferentes carreras de ingeniería, que tiene como fin consolidar la concepción científica del mundo, mediante:

• La comprensión de las relaciones entre los modelos matemáticos, los conceptos y resultados de esta ciencia y la realidad material existente objetivamente.
• La comprensión de que la historia del desarrollo de la Matemática está esencialmente subordinada a las necesidades de la vida material de la sociedad.

 Se debe para ello:

• Desarrollar las capacidades cognitivas mediante la apropiación de las diferentes teorías matemáticas estudiadas en la disciplina, así como de los principales métodos de solución intrínsecos a ella.
• Desarrollar la capacidad de razonamiento y de las formas del pensamiento lógico mediante la apropiación de elementos de la lógica matemática, la comprensión de la demostración de propiedades y teoremas, el trabajo con los conceptos, la identificación e interpretación de ellos, la argumentación lógica de propiedades de los objetos matemáticos y la demostración de resultados teóricos sencillos.
• Algoritmizar, aplicar e implementar modelos numéricos para resolver problemas, aplicando métodos numéricos, la introducción de la computación y los enfoques computacionales en la disciplina.

Lo que conlleva necesariamente a la apropiación de una cultura matemática en la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje de esta disciplina y requiere de su concepción, como un proceso de desarrollo interpretativo en el que emergen las categorías como concreciones de la intencionalidad del sujeto, con el desarrollo de niveles cada vez más altos en la apropiación científica de la cultura matemática, y que tienen su síntesis en las categorías, que adquieren el carácter de expresiones de la totalidad, en una determinada madurez.

En esta dinámica se considera que la motivación, la comprensión, la sistematización y generalización del contenido, constituyen los eslabones a través de los cuales se desarrolla el proceso, ellos se reiteran en el tiempo a la vez que se producen al unísono, para lo cual se asume el enfoque Holístico Configuracional de la Didáctica de la Educación Superior. (Fuentes, 2009)

Se retoman además, en la presente investigación, las concepciones de Fuentes (2009), cuando se refiere a que el contenido es la configuración mediante la cual se expresan los conocimientos, habilidades, valores y valoraciones. El conocimiento implica el concepto, que en su movimiento se identifica con la habilidad, mientras que los valores y valoraciones no sólo envuelven un significado, sino además un sentido, que va gestándose en el desarrollo del proceso y de esta manera pueden dar respuesta a las demandas de la sociedad, las que en general requieren de una formación matemática en los ingenieros.
Este proceso de búsqueda del significado y sentido es hermenéutico, se realiza mediante una interacción dialéctica o movimiento del pensamiento que va del todo a las partes y de estas al todo, en un contexto social y natural. La hermenéutica dialéctica intenta visualizar todo este proceso dentro de un horizonte general y una interpretación profunda, a partir de un método que asume una interpretación totalizadora de ese objeto que abarque el conocimiento preliminar de este desde su observación, comprensión, explicación e interpretación en enfoques y teorías. (Homero, 2009)

El conocimiento, en el caso particular de la Matemática General, se caracteriza por ser secuencial y abstracto. Se trata de una disciplina acumulativa, unas actividades exigen otras previas, lo cual demanda comprensión lógica y memoria comprensiva de los contenidos anteriores, o sea, saber razonar y aplicar los conceptos o los procedimientos en acción, tener desarrollado el pensamiento lógico de acuerdo a sus exigencias, por lo que se hace necesaria una concientización por parte de profesores y estudiantes, de estos requerimientos, para lograr la apropiación del contenido.

El constructivismo. como método de enseñar Matemática, es muy conveniente para lograr la apropiación de los contenidos. Este método fundamenta su estrategia didáctica en el supuesto de que el estudiante adquiere los contenidos, objeto de enseñanza, mediante una construcción activa a partir de “lo que sabe”, dándole significado a lo aprendido, según la posición de Ausubel, la cual es retomada en esta investigación. (Sanhueza, 2009)

Según esta autora el constructivismo tiene como fin que el estudiante construya su propio aprendizaje y el profesor en su rol de mediador debe:

• Enseñarle a pensar: desarrollarle un conjunto de habilidades cognitivas que le permitan optimizar sus procesos de razonamiento.
• Enseñarle sobre el pensar: concientizarle de sus propios procesos y estrategias mentales (metacognición) para poder controlarlos y modificarlos (autonomía), con el fin de mejorar el rendimiento y la eficacia en el aprendizaje.
• Enseñarle sobre la base del pensar: desarrollarle habilidades cognitivas propias del currículo.

En correspondencia con estos planteamientos, el profesor, en la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje debe establecer un orden lógico, que asegure el nivel de partida para propiciar la comprensión e interpretación, mientras que el estudiante se interesa en aprender el nuevo objeto de estudio porque concientiza que los necesita para solucionar los nuevos problemas a que se enfrenta o enfrentará.

En este caso se tiene en cuenta, que en la interacción profesor - estudiante y de cómo esta se establezca, reside una poderosa razón motivadora, lo cual es válido para la mayoría de los procesos de formación y muy significativo para este específicamente. “Solo se puede despertar el interés de los alumnos por un aspecto del conocimiento, demostrándoles su importancia, motivándolos legítimamente a investigar” (Castro, 1981: p8)

Ausubel (1983), expresa con total claridad, cual es la concepción y validez del conocimiento de las ideas previas en sus estudios relacionados con el aprendizaje significativo, él manifiesta que el factor más importante, que influye en el aprendizaje, es lo que el estudiante ya sabe, lo que considera la autora de esta investigación, no debe ser entendido como condición suficiente, aunque sí se reconoce la repercusión del diagnóstico de los conocimientos previos, y coincide con la idea expresada por Vigotsky (1993) de que sería imposible la existencia de cada concepto aislado, es necesaria la existencia de relaciones determinadas con otros conceptos.

El principal elemento para diferenciar el aprendizaje significativo del memorístico, es la relación que se establece entre lo que el estudiante ya sabe y lo que está aprendiendo, lo cual debe ser ordenado y jerarquizado, de ahí el valor de la interpretación de los contenidos precedentes.
El modelo de Ausubel - Novak, Novak (1982) define aprendizaje significativocomo aquel en el que los conceptos se encuentran jerárquicamente organizados, en la estructura cognitiva de un sujeto y advierte que, si al ser vertidos en clases, no hallan vinculación con otros inclusores – porque no existen o están subsumidos –, el aprendizaje que se producirá será de tipo memorístico, por tanto, los contenidos de la disciplina Matemática General no saldrán de su abstracción.

Por muy relevante que sea un contenido, es necesario que el estudiante lo trabaje, lo construya y al mismo tiempo, le asigne un determinado grado de significación subjetiva para que se plasme o concrete en un aprendizaje significativo, que equivale a decir, que se produzca una real apropiación, adquisición y retención del mismo, lo cual contribuirá al desarrollo del pensamiento lógico en los futuros ingenieros.

Esta apropiación de contenidos puede darse sólo si se concibe la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática General, de forma sistematizada que se desarrolla a través de la utilización de diferentes vías y métodos, lo que supera un saber fragmentado. Esta edificación consiste en el análisis de propiedades comunes y diferentes de los contenidos tratados, de manera que se hagan visibles las relaciones existentes entre los diferentes componentes del saber.

Como plantea Fuentes (2009), la sistematización por tanto es una categoría pedagógica y didáctica, que conlleva a la recreación y creación de la cultura, al revelar relaciones estructurales que propician nuevas relaciones de síntesis y de la estructura epistemológica y praxiológica.
En el proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática General, la sistematización permite compartir los avances, dificultades e interrogantes que surgen de la experiencia en curso, que no es sólo práctica sino también teórica, siendo espacios de encuentros, enriquecimientos, reflexiones y reconstrucciones de la cultura matemática, lo que posibilita al profesor establecer el nivel de conocimientos previos, comprobar los adquiridos en el transcurso de sus experiencias, ya sean conceptos, concepciones, procedimientos, métodos de solución, entre otros, lo que contribuye al logro de un aprendizaje significativo.
Otra cuestión importante en la comprensión del proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática General, es el reconocimiento del alto valor formativo de esta disciplina, el cual está probado por los efectos siguientes:

• En el ámbito de la formación intelectual, la Matemática enseña a: reflexionar sobre las situaciones, considerar y aislar lo esencial de lo accesorio; desarrollar el juicio, distinguir lo probado, demostrado y cierto, de lo posible e imposible o falso; organizar el pensamiento, ordenar las ideas, elaborar esquemas, distinguir medios, causas, efectos;  formar el espíritu científico en sus vertientes de objetividad, exactitud, precisión y espíritu crítico.
• En el ámbito de la formación moral y estética, la Matemática fomenta: la necesidad del rigor, de discernimiento, de claridad en la verificación de pruebas, así como la discusión formativa, el gusto por el orden, la concisión, la exactitud, la verdad, el hábito de conocer, indagar, comprender los principios de las cosas, el descubrimiento, la sensibilización por la belleza de las formas, la organización en la naturaleza y en la técnica, el hábito de la aceptación del mejor criterio probado y la constatación irrefutable del acierto.

Por tanto, se puede afirmar que las asignaturas de la Matemática General tienen gran incidencia en la formación del estudiante y en el desarrollo de su pensamiento lógico.

La disciplina Matemática General, integrada por asignaturas básicas, en la formación académica de los estudiantes de ingeniería crea y desarrolla en lo cognitivo, el pensamiento lógico y una secuencia de procedimientos para enfrentar una posible solución de un problema de la vida cotidiana o profesional.
Sin embargo, se puede reflejar la realidad y no hacerlo lógicamente, con lo cual se comprende, que no es igual pensar que pensar lógicamente. Para Rubinstein (1986) esto último es ante todo, un análisis y una síntesis de lo que el estudiante proporciona en el decurso de su actividad con una abstracción y generalización derivadas de ellas.
En este trabajo, la abstracción es entendida como el proceso y resultado de la separación mental de varias propiedades de los objetos y de sus relaciones, con delimitación de alguna de ellas. La generalización también se considera un proceso del pensamiento lógico; según plantea Royo (2005), es una habilidad que por su complejidad se forma y desarrolla en un proceso lógico en virtud del cual se realizan extensiones de conceptos, juicios y razonamientos.

De ahí la importancia de comprender que lo lógico sólo se da a nivel de pensamiento, como resultado de vínculos establecidos en ese escaño. Dominar la lógica de “algo”, (fenómeno, objeto o proceso), exige la comprensión sistémica de ese algo, la posibilidad de realizar la reconstrucción o reproducción de su estructura. En este sentido la Matemática General tiene un aporte fundamental.
La lógica formal y la lógica dialéctica tienen razón de ser, pues constituyen ciencias que estudian el pensamiento desde aristas bien definidas, en correspondencia con sus respectivos objetos de estudio y sus diferencias sustanciales. La autora del presente trabajo se identifica con la tesis que declara: “… los principios, reglas y leyes de la lógica formal operan en el proceso del pensar cognoscente bajo la dirección metodológica de la dialéctica, la cual a su vez opera en plena concordancia con los principios, reglas y leyes de la lógica formal. Todos los problemas gnoseológicos que se resuelven con los medios de una y la otra lógica se hallan en unidad dialéctica” (Andréiev, 1984:159).

Por tanto, se asume en la investigación, que las ciencias de la lógica aportan, a partir del contenido propio de cada una, un conjunto de requerimientos para el proceso de enseñanza aprendizaje de la Matemática General, de ahí que se tome el término lógico para referirse a los fundamentos de ambas: la lógica formal y la lógica dialéctica, por estar sustentados precisamente en la unidad dialéctica existente entre ellas, al abordar el pensamiento en el proceso de apropiación práctico espiritual de la realidad por el estudiante, bajo la exigencia de que esta sea correcta, coherente y permita comprender y transformar esa realidad.

En cualquier contenido concreto del pensamiento son utilizados los procedimientos  lógicos, ellos se asocian a las operaciones lógicas del pensamiento y se rigen por reglas y leyes de la lógica, de donde se desprende la amplitud de su aplicación.
Estos procedimientos se pueden clasificar, según Campistrous (1993):

• Procedimientos lógicos asociados a conceptos.
• Procedimientos lógicos asociados a juicios.
• Procedimientos lógicos asociados a razonamientos.

En la investigación se centrará la atención en estos últimos, pues la Matemática es considerada como ciencia prototípica del razonamiento según González (1999). La Matemática General debe contribuir a asegurar que los seres humanos se comporten en el mundo de acuerdo con leyes lógicas, no contradictorias y coordinadas entre sí, tanto en el orden natural, como en el familiar, social, político y mundial.

Entre los procedimientos lógicos asociados a razonamientos se encuentran: realizar inferencias inmediatas, deducir por separación, refutar, realizar inferencias silogísticas elementales, demostrar directa e indirectamente, argumentar y realizar inferencias reductivas.

El término razonamiento es el punto de separación entre el instinto y el pensamiento, el instinto es la reacción de cualquier ser vivo, mientras que el pensamiento hace al ser humano analizar y desarrollar un criterio propio. Se define como un conjunto de actividades mentales, consistentes en conectar unas ideas con otras de acuerdo a ciertas reglas que dan apoyo o justifican una idea, en un sentido amplio, se entiende por razonamiento la facultad humana que permite resolver problemas.
El razonamiento lógico se refiere al uso del entendimiento para pasar de unas proposiciones a otras, se parte de lo ya conocido o se cree conocer, a lo desconocido o menos conocido, que facilita ampliar el conocimiento, sin tener que apelar a la experiencia. En las Matemáticas, el razonamiento lógico es una capacidad que permite el desempeño eficiente del estudiante, tanto para la apropiación como para la generalización del contenido.

Las habilidades lógicas son las que le proporcionan al hombre asimilar, comprender y construir el conocimiento. Ellas guardan estrecha relación con los procesos fundamentales del pensamiento: análisis, síntesis, abstracción, concreción y generalización; y se desarrollan a través de las habilidades específicas, pero evolucionan paulatinamente igual que las estructuras cognitivas en el estudiante.

Este razonamiento lógico, presenta deficiencias en los estudiantes que ingresan a las carreras de ingeniería. Como parte de las transformaciones que experimenta la escuela cubana dentro de la actual batalla de ideas, se han realizado cambios en todos los niveles de la Educación, por lo que la universidad debe ajustarse a las necesidades y exigencias de los egresados, con el objetivo de contribuir a la formación de un profesional con capacidades de autodesarrollo y la disciplina  Matemática General, es pilar en esta encomienda.
Para ello, se hace necesario reconocer que esta ciencia es saber hacer, en ella predomina el método sobre los contenidos, apoyado sobre las bases firmes de la lógica deductiva, pues obedece a la idea que desde un cierto conjunto de axiomas aceptados sin demostración y de reglas lógicas no contradictorias, se deducen otros enunciados llamados teoremas que combinan los axiomas y respetan en cada etapa las reglas lógicas. (Guétmanova, 1991)

Esta disciplina, se constituye sobre los cimientos de sistemas teóricos deductivos, caracterizados por la formulación inicial de sus fundamentos, insertándose en el sistema sólo aquellas informaciones que puedan ser obtenidas a partir de esta base de manera puramente lógica. (González, 1997)

La autora de la investigación reconoce, que llevar la lógica de la ciencia a la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje, le aporta cientificidad a la docencia que se imparte (Álvarez, 1999), pero deben acercarse los contenidos a la vida para que los estudiantes se apropien de ellos, pues el razonamiento de la práctica es inductivo - deductivo.
González (1997) plantea que el conocimiento científico exige que el pensamiento se mueva en dos direcciones, del todo íntegro a las partes: deducción, de las partes hacia el todo: inducción; cuestión a considerar en la construcción del conocimiento matemático en el aula. Si se enseña Matemática General sólo a través de métodos deductivos, esta se hace muy abstracta.
La inducción es una evidencia de la experiencia y se asume según una conciencia; en cambio la deducción ya es una aplicación plenamente racional, una aplicación intelectiva “con total voluntad” ante los “elementos inductivos" que se han reunido para deducir algo.

Expresa Álvarez (1999), que un mundo donde no existe la linealidad en el contexto social, ni en el natural, donde se vive entre problemas (familiares, políticos, sociales, ecológicos, científicos, ideológicos, laborales y profesionales), la escuela debe educar para esa realidad; para que el estudiante comprenda que las cosas no están de por sí resueltas sino que hay que aprender a resolverlas como parte común y esencial de la vida.
Entonces, lo referido con anterioridad, conlleva a la necesidad de establecer en la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje de la Matemática General, la relación dialéctica entre la lógica formal de esta disciplina y la lógica de apropiación del contenido matemático.

A la existencia de una relación similar se refiere González (1997) y Dieguez (2001) en sus tesis para optar por el grado científico de Doctor en Ciencias Pedagógicas, donde establecen las regularidades esenciales, que permiten brindar soluciones científicas a problemas relacionados con la didáctica especial de las matemáticas, aunque sus resultados son válidos para determinadas carreras y la solución de ella, se aborda desde el desarrollo de habilidades profesionales en la dinámica.

De esta forma, se evidencia la necesidad de continuar la investigación y desarrollar la relación dialéctica referida con anterioridad, no sólo al incluir en los planes de estudio, de las carreras de ingeniería, asignaturas de esta rama del saber, sino facilitar el logro de la correspondencia entre la lógica de apropiación del contenido en la dinámica del proceso enseñanza aprendizaje con la lógica formal de esta disciplina, lo que contribuirá a la integración de un razonamiento deductivo – inductivo.

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