CONTRASTES DE HIPÓTESIS Y REGIONES DE CONFIANZA

Hipótesis del Modelo de Regresión Lineal Normal Clásico (MRLNC)

Las hipótesis del MRLC introducidas en el capítulo 3 son suficientes para obtener estimadores puntuales de los parámetros del modelo, pero si se quiere abordar la estimación por intervalo y/o los contrastes de hipótesis, es necesario hacer referencia a la distribución de probabilidad de las perturbaciones.
H5.      Hipótesis de normalidad de las perturbaciones:

Esta hipótesis establece que el vector de perturbaciones sigue una distribución normal multivariante (el valor más probable es el valor esperado y la probabilidad disminuirá de forma sistemática a medida que nos alejemos del valor promedio).
Como los elementos del vector de perturbaciones no están correlacionados y como para variables normales, la incorrelación implica independencia, las perturbaciones aleatorias serán variables independientes entre sí.
El fundamento para la introducción de esta hipótesis se basa en el Teorema Central del Límite, según el cual, bajo condiciones muy generales, la suma de variables independientes tiende hacia la ley normal. La perturbación aleatoria se introduce en los modelos econométricos para incorporar el efecto de una serie de factores, que considerados de manera individual tienen escasa incidencia sobre el regresando, pero que considerados conjuntamente ejercen una influencia estadísticamente significativa para la explicación del regresando, es lógico suponer que dichos factores son variables aleatorias independientes, cuya suma sigue una distribución normal.
Por tanto, un Modelo de Regresión Lineal Normal Clásico (MRLNC) es un modelo econométrico que además de satisfacer las hipótesis de un MRLC, cumple la hipótesis de normalidad de las perturbaciones.

Contrastes de hipótesis

En este capítulo se analizarán los contrastes de hipótesis y la construcción de regiones de confianza para los parámetros de un modelo estimado por Mínimos Cuadrados Ordinarios.
Para hacer contrastes de hipótesis se seguirán los siguientes pasos:

• Formular claramente la hipótesis que se quiere contrastar.
• Construir el estadístico de prueba que permita decidir, si se acepta o rechaza la hipótesis formulada.
• Analizar en cada caso cual es la regla de decisión.

En todo contraste se tendrán dos hipótesis, la hipótesis a contrastar, denominada hipótesis nula (H0) y otra hipótesis, denominada hipótesis alternativa (H1).
Cuando se efectúan contrastes de hipótesis es posible cometer dos tipos de errores: rechazar la hipótesis nula siendo cierta (error tipo I) o aceptar la hipótesis nula siendo falsa (error tipo II). Sería deseable minimizar ambos tipos de errores, pero desafortunadamente, dado un tamaño muestral, no es posible minimizar ambos simultáneamente.
La econometría clásica considera más grave el error tipo I, por lo que fija la probabilidad de cometer un error de este tipo a un nivel relativamente bajo (1%, 5% o como máximo 10%) y selecciona estadísticos de prueba que minimizan la probabilidad de cometer un error tipo II. Al límite que acota la probabilidad de cometer un error tipo I se le denomina nivel de significación y a la probabilidad de no cometer un error tipo II se le denomina potencia del test.
El problema relacionado con la selección del valor apropiado del nivel de significación (a) se puede evitar utilizando el p-valor del estadístico de prueba, que se define como el nivel de significación más bajo al cual puede rechazarse la hipótesis nula. Por tanto, si el contraste es de la cola derecha, el p-valor es la probabilidad real de obtener un valor del estadístico de prueba igual o mayor que el obtenido y si el contraste es de la cola izquierda, el p-valor es la probabilidad real de obtener un valor del estadístico de prueba menor o igual que el obtenido.
Un procedimiento general para efectuar contrastes para cualquier conjunto de hipótesis lineales es plantearlo de la siguiente forma:

donde R y r son conocidos, R es una matriz cuyo número de filas coincide con el número de restricciones lineales impuestas a los parámetros (q) y su número de columnas coincide con el número de regresores del modelo econométrico (k+1)1 y r es un vector columna cuyo número de filas coincide con el número de restricciones 2.

 Para aceptar o rechazar la hipótesis nula, existen tres alternativas:

• Utilizar el p-valor, que indica el menor nivel de significación al cuál se rechaza la hipótesis nula.
• Comparar el p-valor con un nivel de significación prefijado y utilizar como criterio de decisión:
• Si p-valor ≥ α  Þ se acepta H0
• Si p-valor < α Þ se rechaza H0
• Comparar el valor del estadístico obtenido con el valor crítico de la distribución correspondiente para el nivel de significación fijado y utilizar la regla de decisión adecuada en cada caso, dependiendo de si se utiliza la cola izquierda, la cola derecha o ambas colas para rechazar H0.

Si la muestra es lo suficientemente grande, también, se podría utilizar el estadístico de Wald  para realizar este tipo de contrastes. La distribución del estadístico de Wald se basa en la distribución de la forma cuadrática que interviene en el numerador del estadístico F:

Hay que tener en cuenta que la distribución de este estadístico como una chi-cuadrado con q grados de libertad es asintótica (para muestras lo suficientemente grandes), dado que en su calculo no se utiliza la varianza de la perturbación sino su estimador (S2).
La "equivalencia" entre los estadísticos F y W vendría dada por:

Cuando en el contraste interviene una única restricción, sería posible y aconsejable, utilizar la distribución t de Student, sobre todo porque permite construir intervalos de confianza. Debe recordarse que la equivalencia entre estos estadísticos es la siguiente:

¿Cómo realizar contrastes de hipótesis en Gretl?

Para realizar contrastes de hipótesis lineales en Gretl básicamente se pueden utilizar dos opciones3 :

• Utilizar la opción Restricciones lineales del menú Contrastes de la Ventana Modelo.
• Utilizar el comando restrict.

Utilizar el menú Contrastes

Con la opción Restricciones lineales del menú Contrastes de la Ventana Modelo se accede a la ventana restricciones lineales, donde se tiene que especificar la ecuación o ecuaciones de la hipótesis que se quiere contrastar. Para especificar de forma correcta las restricciones que intervienen en el contraste, el usuario debe:

• Especificar una ecuación para cada restricción.
• Utilizar una línea para cada ecuación (restricción).
• Identificar cada parámetro como b[nombre de la variable a la que acompaña].
• Reformular las restriciones de forma que en lado derecho de las ecuaciones aparezcan sólo valores numericos.

Una vez escritas todas las líneas del contraste, seleccionando el botón "Aceptar" de la ventana restricciones lineales aparecerá el resultado del contraste y una estimación del modelo restringido (véase parte inferior derecha de la Ilustración 4‑1). Se podría acceder a las instrucciones de este contraste con la opción Historial de instrucciones del menú Herramientas de la Ventana Principal y guardarlas en un archivo de comandos. En la ventana de dicho archivo, pinchando el botón "Ejecutar" se podrá ver y analizar su salida en la Ventana resultados guión correspondiente.
En la Tabla 4‑1 aparece recogida la información que proporciona la ejecución de un contraste de restricciones lineales.

Dicha salida se puede estructurar en tres bloques:

• Conjunto de restricciones del contraste.
• Estadístico F y p-valor asociado.
• Estimación del modelo restringido.

En el caso de que en el contraste intervenga una única restricción, si se desea utilizar la distribución t de Student en lugar de la F de Snedecor para realizar el contraste, debe recordarse que la equivalencia entre ambos estadísticos es la siguiente:

Y si se desea utilizar la distribución chi-cuadrado [estadístico de Wald (W)], la equivalencia es la siguiente:

Debe de tenerse en cuenta que aunque las versiones t y F son válidas para muestras pequeñas, la versión W sólo es válida si la muestra es lo suficientemente grande.

Utilizando el comando restrict

Otra opción para realizar contrastes de hipótesis es escribir directamente el comando restrict en la  Consola Gretl o en un Fichero de comandos, para lo que es necesario que el usuario conozca el formato de escritura y las opciones disponibles.
El formato del comando restrict es:
restrict
ecuación 1
ecuación 2
     . . .
ecuación q
end restrict
donde “q” es el número de restricciones que intevienen en el contraste. Debe tenerse en cuenta que Gretl identifica a los parámetros como b[nombre de la variable a la que acompaña] 4.
El formato de escritura de este comando requiere que en la Consola Gretl cada restricción ocupe una línea. Además, requiere una primera línea donde aparezca un comando restrict y una última línea donde aparezca un comando end restrict, para indicarle al programa el principio y final de las restricciones que forman parte del contraste.
Para que Gretl ejecute un comando restrict es necesario que dicho comando vaya precedido por un comando ols. Aún cuando no es necesario que el comando restrict se ejecute inmediatamente después del comando ols, resulta conveniente, ya que de esta forma el usuario se asegura que el contraste hace referencia al modelo deseado. Si no se esta interesado en ver la salida del comando ols, dicho comando se ejecutará con la opción --quiet (ejecuta el comando omitiendo su salida). De manera análoga, si no se esta interesado en ver la estimación del modelo restringido, se ejecutará el comando restrict con la opcion --quiet.