EL SECTOR PRIMARI A LES TERRES DE L'EBRE

4.12. Resolució manual analítica d'un altre problema simplificat

El problema que a continuació es proposa i resol pel mètode de les taules o dels quadres, pretén ser sols uns mostra eficient, un cop més, de la utilitat de l'aplicació de la Programació Lineal com a instrument racional en la gestió agrària. El seu plantejament resulta enormement simplificat (es prescindeix de nombrosos factors: cost de la mà d'obra, amortitzacions, restriccions tècniques,...) a fi i efecte que la seva resolució pugui verificar-se d'una manera absolutament manual, i pels tres sistemes usuals A), B) i C), ordinàriament exposats1 . A saber:

PROBLEMA: Tenim al delta de l’Ebre un camp de 192 jornals de terra arrossera ( 42 Ha.)(1 jt = 2.190 m2), que, per exigències de tipus agronòmic, haurem de "xarugar" (passada d'arada giradora) en 18 hores com a màxim (tres jornades de 6 hores efectives de treball cadascuna). Es disposa de tres tractors que consumeixen en gas-oil (descomptant les subvencions, es considera un cost aproximat per a l'agricultor de 39 u.m./l.): 2,6; 3,1 i 2,3 l./h., respectivament (per a la potència que requereix aquesta feina). Segons la velocitat i l'estat dels tractors, sabrem, per experiència, que poden realitzar (rendiment mitjà): 2, 3, i 1 Ha./h., respectivament. Com existeix un sol tractorista, no poden treballar dos tractors simultàniament. Es tracta de minimitzar el cost de l'operació des del punt de vista del consum de carburant. Pot considerar-se una equivalència aproximada de: 40 u.m. = 1’00 €.
 
A) Es té:

 
Les restriccions o inequacions condicionants del problema són les següents:

 , o bé expressant-lo en forma matricial:

.

I la funció de cost expressada en u.m. és:

MIN.: f = 100 x1 + 120 x2 + 90 x3 =

, essent les variables x1, x2 i x3 les hores de funcionament de cada tractor.

RESOLUCIÓ: Es tracta d'un problema DUAL:

essent x4 i x5 les anomenades variables de folgança, de cost nul en la "funció econòmica o objectiu".

          Anirem seguint el mètode iteratiu de les taules següent:

 

 

                                                                                      

 

 

D'aquesta manera arribem al problema PRIMAL havent, doncs, aconseguit el mínim per a:

 

EL COST MÍNIM vindrà donat per:

Z = 1.200 + 720 = 1.920 u.m. = 48 €

B) Resolució del Problema Dual pel mètode de la BASE ARTIFICIAL.

Es tindria:
 ( +)

, on les variables artificials afegides a les inequacions, per a aconseguir una base canònica, tenen, un coeficient o cost infinit en la funció objectiu a minimitzar.

               Mètode iteratiu:
 

   

 

 

 

(En realitat, el pas anterior podria haver-se obviat, havent entrat directament a la base l'x1 i sortint l'x5).

 

 

Així doncs, ja hem aconseguit la solució amb:

 

, que ofereix, lògicament, el mateix resultat que resolent el problema pel procediment anterior, a saber:

Z = 1.920 u.m. = 48 € c.e.v.d.

C) Resolució geomètrica del programa lineal.

L'explicació de la resolució geomètrica anterior, és la següent:

 Representat pel plànol: 2x1-3x2-x3 = 60

La seva translació paral·lela en l’espai tridimensional, buscant el mínim, troba un punt extrem del políedre convex al punt de coordenades cartesianes rectangulars: (12, 6 ,0), amb la qual cosa, la solució del problema plantejat és la següent:

que ofereix, com sempre, Z = 1.920 u.m. = 48 €. D’aquesta manera, els dos primers dies es treballarà amb el tractor X1 i el tercer dia amb el X2, no emprant-se, en cap moment, el tractor X3.

Amb aquest exemple, no hem pretès demostrar aquí tot el mecanisme propi de la Programació Lineal. Això no resulta indispensable per tal de comprendre-la i poder beneficiar-se de tots el seus avantatges. Entenem, a la fi, que la millor combinació o millor pla de producció és aquell que procura l’assoliment del benefici empresarial màxim. Això no vol dir, en absolut, que només haguéssim de considerar el benefici obtingut.

De fet, qualsevol problema de Programació Lineal es pot interpretar des d’una perspectiva gràfica o geomètrica; això és així, si es té en compte que cadascuna de les restriccions del mateix, o bé que cadascuna de les variables del problema plantejat, obliga que aquestes se situïn a una determinada zona de l’espai n-dimensional Rn. Si cada restricció actua d’aquesta manera, la conjunció de totes elles forçarà que les n variables esmentades només puguin prendre valors situats a la intersecció de totes aquestes zones, que serà un cert subconjunt de Rn. Ara bé, d’entre tots els punts possibles d’aquest subconjunt intersecció, s’haurà de cercar un altre al qual s’optimitzi (maximitzi o minimitzi) la funció econòmica-objectiu Z del problema.

La resolució gràfica corresponent pot veure’s a continuació:  

NOTA: Sovint no podem considerar la resolució geomètrica del problema com efectiva, donada la seva complicada interpretació espacial, sobre tot quan hem de treballar en espais n-dimensionals (n 4), essent n el nombre de variables o coordenades del problema.

FIG. 7.5. Resolució gràfica del programa lineal en 3D.