EL SECTOR PRIMARI A LES TERRES DE L'EBRE

1.8. Període òptim de renovació de l’equip

1.8.1. Conceptes previs

L’equip que ens ocupa es troba, com és natural, subjecte a depreciació, i cal tenir en compte el tipus d’interès que, en aquest cas, el suposarem del 5%, sense tindre tampoc en consideració la subvenció oficial que es pugui aconseguir en l’adquisició de l’equip1 .

Sia A0 = C = 35.945’94 € el preu de compra de l’equip, revenut posteriorment en A0 j (t), o valor residual, al moment t.

Les despeses de manteniment i de reparació són: C1, C2, ..., Ct. Aquestes despeses són fetes al final de cada any.

Considerem ara un horitzó econòmic limitat i suposem que el material renovat és sempre el mateix.

La despesa total actualitzada, per a un període de renovació de t anys, serà:

G(t) = [A0 + aC1 + a2C2 + ... + atCt – A0atj(t)]·[1 + at + ... ant + ...]

fent a = 1/(1 + i), on i és el tipus d’interès; o sigui:

;
essent:

B(t) = A0 + aC1 + a2C2 + ...+ atCt – A0atj(t).

El període de renovació t0, que fa mínima la despesa total, és tal que:

G(t0 -1) > G(t0) < G(t0 + 1).

Cal fer, al respecte, les següents consideracions:

• Si no es té en compte el preu residual o de revenda al final del període (j(t) = 0), el material serà renovat quan es compleixi que:

• Si s’admet que la despesa de manteniment varia de forma continua en funció del temps i que el preu de revenda de l’equip és nul, l’expressió de la despesa total actualitzada, per a un període de renovació de t anys, s’escriu així:

 

 ,

on c(u) representa la despesa de manteniment amb:

e-it » at .

La despesa total actualitzada és mínima per a un període t0 tal que:

.                  (1)

1.8.2. Exercici

En el cas que ens ocupa, la despesa d’entreteniment c(t) de l’equip làser comprat a un preu d’adquisició A0 varia d’una forma continua en funció del temps. Se suposarà que el material renovat al final de cada període d’utilització és sempre el mateix.

La unitat de temps és l’any i l’expressió de c(t), és:

c(t) = a A0 (1 – e-mt)

Es tracta, doncs, d’establir la fórmula que permet calcular el període òptim de renovació de l’equip làser d’anivellació/refinació amb la següent aplicació numèrica:

a = 1/2 ;  m = 1/5 ;  i = tipus d’interès = 5 per 100 anual.

(cal ressenyar que hem incrementat prudencialment en dos punts el tipus d’interès tot tenint en compte l’evolució previsible en el futur).

Solució

1er. Segons la fórmula anterior (1) la despesa total actualitzada és mínima per a un t0 tal que:

,
que també es pot escriure així:

2on. La fórmula anterior pren la forma o configuració següent:

.

S’operarà per resolució gràfica, traçant punt per punt les corbes representatives de les dues funcions següents:
 

                              f(x) = 10 · e-0’20x (1 – e-0’05x)
                              g(x) = 1 – 2e-0’25x

i es trobarà el seu punt de tall. En qualsevol cas, igualant analíticament ambdues expressions s’obté:

10·e-0’20x (1 – e-0’05x) = 1 – 2·e-0’25x

10·e-0’20x - 10·e-0’25x = 1 – 2·e-0’25x

10·e-0’20x – 1 = -2·e-0’25x + 10·e-0’25x = 8·e-0’25x

; i multiplicant ambdós membres per e0’25x, s’obté:

10·e0’05x – e0’25x = 8 ; o sia: 10·t – t5 = 8

havent realitzat el canvi de variable:

                                       e0’05x = t
                                       t5 = e0’25x

Nogensmenys, la solució de l’equació de coeficients enters:

t5 – 10·t + 8 = 0,

ofereix 5 arrels no enteres amb problemes de convergència, per la qual cosa optarem per la seva resolució gràfica. Això és, donant valors a les funcions f(x) i g(x), i cercant el seu punt d’intersecció, s’obté la següent taula:

 

Així doncs, el període òptim de renovació de l’equip làser que ens ocupa és de quelcom més de 7 anys i mig (concretament 7’532 anys). O sia, que s’hauria de renovar a partir del 8è. any de la seva vida útil. També podríem haver arribat al mateix resultat utilitzant, per a la resolució de l’equació, algun mètode d’Anàlisi Numèric.
A aquest punt òptim li correspondrà un valor de:

f(x) = g(x) » 0’70, donat que: g(x) = 1 – 2·e-0’25·7’532 » 0’70.

Utilitzant mètodes numèrics, vegem que les aproximacions successives per al càlcul de l’arrel ens condueixen a la següent determinació:

 

Altres punts singulars d’interès en l’estudi d’ambdues funcions seran els següents:

• Anulació de la funció g(x):

g(x) = y = 1 – 2·e-0’25x ;

          y = 0 ®  1 = 2·e-0’25x ;  e0’25x = 2 ;

          0’25·x = ln 2 = 0’6931471 ;  d’on: x = 2’77 anys  

• Extrems relatius de la funció f(x):

• Condició necessària o de 1er. grau (anulació de la primera derivada):

y = 10·e-0’20x (1 – e-0’05x) = 10·e-0’20x – 10·e-0’25x = 10·(e-0’20x – e-0’25x)

y’ = 10·[e-0’20x(-0’20) – e-0’25x(-0’25)] = 10·(-0’20·e-0’20x + 0’25·e-0’25x) = 0

0’25·e-0’25x = 0’2·e-0’20x; 0’25·e-0’05x = 0’2

e-0’05x =  = 0’8; o sia: -0’05 x = ln 0’8 = -0’223
d’on: x = 4’46 anys (punt crític)

• Condició suficient o de 2on. grau:

y’’ = 10·(0’04·e-0’20x – 0’0625·e-0’25x) ;  "x = 4’46 es tindrà:

Þ y’’ = 10·(0’04·0’41 – 0’0625·0’33) =
= 10·(0’0164 – 0’020625) = -0’04225 < 0,

per la qual cosa es tracta d’un màxim relatiu o local al punt de coordenades cartesianes rectangulars (4’46, 0’80).

1.9. Resum i conclusions

En el present estudi s’ha portat a terme el càlcul del llindar de rendibilitat d’un equip d’anivellació/refinació per làser a una explotació arrossaire ebrenca, ja sigui en explotació individual o bé en règim cooperatiu, mitjançant la utilització en comú d’aquest modern mitjà de producció, tot confrontant la justificació econòmica de la seva adquisició amb l’alternativa del lloguer d’un equip similar a la zona. S’ha conclòs que a partir d’una extensió superficial de 109 Ha. (497’72 jornals de terra mesura del país o bé 1.311 fanegades valencianes) ja resulta interessant, des del punt de vista estrictament econòmic, portar a terme la inversió en l’adquisició de l’equip ressenyat. Altrament, el fet de no dependre de tercers per a l’execució de la feina, amb els retards, incerteses i dificultats que això comporta, justifica encara més la conveniència d’efectuar aquesta inversió.

Cal tenir present, al respecte, que segons les dades del cens agrari que hem vist en capítols anteriors d’aquest mateix llibre, la immensa majoria de les explotacions arrossaires del delta de l’Ebre tenen una extensió superficial inferior a la ressenyada, per la qual cosa queda plenament justificada l’adquisició i utilització de la maquinària d’anivellació/refinació que ens ocupa en règim comunitari, si no es vol llogar la feina a tercers.

Complementàriament, s’han estudiat i representat gràficament les diferents corbes de cost i les seves relacions des del punt de vista de la Teoria Microeconòmica, així com s’ha determinat el termini òptim de renovació de l’equip seguint tècniques pròpies de la Investigació Operativa, arribant a la conclusió que, per a un equip de les característiques estudiades, el seu termini òptim de renovació es troba als voltants del vuit anys de vida útil.