6.2 Gráfico de Control Multivariado

Durante la Segunda Guerra Mundial la técnica estadística de gráficas de control univariadas fue la más utilizada a pesar de que los procesos y productos que se analizaban poseían en su gran mayoría dos o más características de calidad. Con el tiempo se dio la necesidad de aplicar herramientas estadísticas multivariadas para controlar en forma simultánea dos o más variables.

Sin embargo las técnicas multivariadas de control son técnicas muy complejas de utilizar, por los conceptos matemáticos que se manejan. Esta dificultad es supera posteriormente con el avance de los programas o software especializados en control estadístico de procesos, lo que origino un interés de las técnicas de control multivariado.

El número de características de calidad en una carta multivariada es representada por . El principal objetivo en este tipo de carta es determinar bajo un contraste de hipótesis si las variables se encuentran bajo control estadístico.

Para resolver este problema se propusieron dos métodos 1) Realizar una carta de control a cada una de las variables y rechazar la hipótesis cuando cualquiera de estas variables indiquen una señal fuera de control, obteniendo de esta forma un error tipo I , 2) Rechazar la hipótesis cuando todas las cartas indiquen que la variable a controlar posea una señal fuera de control, en este caso la probabilidad de error tipo I es de . Sin embargo ninguna de estas propuestas explica el grado de correlación que pueda tener las variables, que en muchas ocasiones existe.

Considere el caso en que se controlan dos características de calidad, que se distribuyen en forma de normal bivariada. Posteriormente seleccione una muestra de observaciones para cada una de las características de calidad y evaluamos un estadístico cualesquiera. El método a considerar es en construir separadamente dos cartas superpuestas para cada una de las variables, ver figura 15.

Si el estadístico del subgrupo, en este caso la media, queda dentro de la región rectangular se considera el proceso bajo control estadístico. Sin embargo la región realmente es de naturaleza elíptica, lo que implica que al tomar como referencia la región rectangular posibilita la aparición de errores que conlleve a conclusiones lejanas de la realidad del proceso.

6.2.1 Gráfico de Control Multivariado para Observaciones Individuales. La técnica gráfica de control multivariado se elabora para determinar cuatro importantes propiedades que están definidas de la siguiente forma:

1. Determinar si el proceso se encentra o no en control.

2. Mantener constante el error tipo I o nivel de significancia .

3. Con este tipo de herramienta se puede determinar el tipo de relación existente entre las variables involucradas en el proceso.

4. Si el proceso está “fuera de control” ¿cuál es la variable que causó dicho inconveniente?

Procedimiento para su Elaboración. Considere un vector -dimensional que contiene las observaciones de las características de calidad. El vector se encuentra distribuido normalmente , en donde el error tipo I o nivel de significancia , es el establecido en forma diferente al gráfico univariado. Por ejemplo si se tomó el nivel de significancia de 0.05 para una gráfica de control univariado, en el caso multivariado se establecería de la siguiente manera: tomando como ejemplo dos variables

Para la elaboración de las gráficas de control se han propuesto dos fases, similar a las establecidas en las cartas de control univariadas, la FASE I está compuesta por dos etapas. En la Etapa I se determina si el proceso se encuentra bajo control con la información suministrada por cada uno de los subgrupos, también es conocida como etapa de retrospectiva. En la Etapa II se prueba si el proceso continúa bajo control con los nuevos subgrupos seleccionados. La FASE II es utilizada para detectar los posibles desvíos del proceso con respecto a un valor estándar u objetivo .

En las etapas iniciales del proceso los valores de y generalmente se desconocen, estimándose a partir de un conjunto de observaciones cuando el proceso se encuentra bajo control.

Sea y la media y la matriz de covarianza muestrales obtenidas en los subgrupos. Donde y la covarianza

La estadística para la i-ésima observación está definida como,

En la etapa I, esta estadística está distribuida en forma Beta,

El límite de control superior es calculado mediante,

,

, es el percentil de la distribución beta con parámetros . El interior de la frontera del elipsoide la describe la desigualdad , de dimensiones con centro . Si un subgrupo definido como se encuentra dentro del elipsoide, entonces se dice que el proceso se encuentra bajo control estadístico. Lo contrario implica que se deben encontrar las razones o causas especiales que motivaron la señal fuera de control. Una vez detectada y corregida la causa, las observaciones multivariada se eliminan del conjunto de datos. Entonces los límites de control son recalculados con la información restante y el procedimiento se repite nuevamente.

En la Etapa II la distribución está relacionada con la conocida distribución . El límite de control superior es calculado mediante la siguiente formulación,

Donde es el percentil de la distribución con y grados de libertad, es el número de observaciones utilizadas para estimar los parámetros de la Etapa I.

Una vez se considere el proceso bajo control estadístico en la Etapa II, se asume posteriormente que los valores finales de y son los estimadores de los verdaderos parámetros. De este modo, para se construye una carta con grados de libertad para la FASE II, pues

Sigue una distribución ji-cuadrado con grados de libertad. Entonces el límite de control superior es de la forma,

Una señal fuera de control para una observación ocurre cuando,

Un ejemplo en donde se establece dos variables, es el determinar si el peso de las píldoras Estile y su recubrimiento se encuentra bajo control estadístico, tomando observaciones individuales. A continuación se presenta la información obtenida en 10 subgrupos.

La matriz de covarianza obtenida de la anterior información es la siguiente:

Donde la inversa de dicha matriz es:

En este ejemplo existen dos variables , la cantidad de subgrupos , para observaciones individuales y un nivel de significancia .

La estadística se calcula de la forma,

.

El cálculo del límite superior es,

Posteriormente se calcula el error total de falsa alarma , mediante,

,

Si se desea tomar un valor , entonces

El límite superior es,

Este valor del estadístico es comparado con cada par de observaciones. Por ejemplo al tomar el primer subgrupo en donde el par de observaciones para el peso de la píldora en la primera máquina y la concentración del recubrimiento 538 y 0.035, respectivamente.

Como se trata de observaciones individuales el de la se determina de la siguiente forma

El valor de . Calculando los valores de todos los subgrupos, encontramos que el proceso se encuentra bajo control estadístico, ver figura 16.

Resumen

El método Seis Sigma consta de cinco etapas: Definición, Medición, Análisis, Mejora y Control. En la etapa de DEFINICIÓN se identifica el problema de calidad utilizando herramientas estadísticas descriptivas sencillas que el control de calidad nos ofrece. Posteriormente en la etapa de MEDICIÓN se efectúa el cálculo del Nivel de Seis Sigma de la organización. Una vez determinado este nivel, la organización está en la capacidad de aplicar métodos estadísticos que permitan realizar un ANÁLISIS más certero de la información suministrada por el proceso. Una vez realizado el análisis, el siguiente paso es optimizar el proceso o también conocido como etapa de MEJORAMIENTO, en este caso se hace indispensable estar al tanto de las técnicas estadísticas que permitan obtener las mejoras que se necesitan para que las actividades del proceso sean eficaces y eficientes. Se hace necesario entonces una vez realizado la etapa de mejoramiento definir unos indicadores que muestre el nivel de desempeño de la organización, etapa de CONTROL, utilizando técnicas como los gráficos de control que permiten efectuar el seguimiento a las variables críticas del proceso.