3.5. Dinámica local

El modelo se puede caracterizar por dos ecuaciones en diferencias de primer grado en dos variables. Este sistema es no lineal. El procedimiento estándar requiere que se realiza una aproximación lineal aproximación lineal – se lo realiza en el anexo A.6-. Sin embargo, se prueba que el tipo de dinámicas no se puede determinar en base al análisis local –linealización- ya que no se tiene un difeomorfismo. Es decir, el campo topológico linealizado no es equivalente al del modelo no lineal (Shone, 2002) . Se tiene un -determinante del jacobiano linealizado cero-. Es decir, es un mapa no invertible localmente. Si esto no se cumple, se requiere que la órbita de un punto y0 del mapa esté dado por una secuencia infinita -y el mapa sea del tipo -(Wiggins, 2003).

No se profundizará en el análisis dinámico debido a la no linealidad y complejidad del sistema. Un análisis completo de las dinámicas requiere un estudio del mapa topológico y de las bifurcaciones. Esto no se realiza de manera formal. No obstante, se puede establecer de manera general, que debido a que J no es localmente invertible, aunque el mapa que determina el modelo –el sistema de ecuaciones en diferencia- es contínuamente diferenciable; el modelo puede presentar una topología compleja, más aún caótica (Bischi, Gardini, & Kopel, 2000). Para saber el tipo de dinámica real, se realiza un análisis directo para el presente modelo. En varias simulaciones numéricas –anexo B.-. Se muestran la presencia de dinámicas no monotónicas para los niveles de capital y medioambiente.

Este tipo de dinámicas, son cada vez más comunes en la literatura económica (Bischi et al., 2000; Junxi, 1999; Yokoo, 2000). Junxi (1999), demuestra la posibilidad de dinámicas caóticas deterministas y de topologías complejas en el modelo de generaciones traslapadas y medioambiente similar al aquí presentado, de John & Pecchenino (1994). Además, se puede mencionar que las dinámicas complejas son comunes a modelos de oligopolios en tiempo discreto (Puu & Sushko, 2002). Cabe recordar que en el presente modelo, se presenta un problema de tipo Nash-Cournot con una variable adelantada –At+1-.

Por formalidad se presenta el problema de linealización, a continuación –anexo A.7-:

(2.17)

Las dinámicas del modelo cerca del estado estacionario (k,a), queda determinado por la siguiente matriz –detalles técnicos en el anexo A.7.-:

(2.18)

Ahora se caracteriza la matriz:

(2.19)

Se tiene:

(2.20)¨

El polinomio característico tiene dos autovalores o eigenvalores:¨

El caso no-hiperbólico requiere que el valor absoluto de cualquier de los autovalores sea igual a 1 (de La Croix & Michel, 2002). En primer lugar, reemplazamos k estacionario en la traza (2.19) y se iguala a 1:

Por la forma de la función de producción escogida, este caso está excluído del dominio del parámetro : . Alternamente, igualamos la traza y se iguala a -1:´

Este caso también queda descartado. Ahora, debido a es menor a 1 en valor absoluto y también, el modelo es localmente estable. Alternamente, se puede analizar las dinámicas en base a la traza y determinante de J (de La Croix & Michel, 2002). Una condición necesaria y suficiente es:

La matriz J cumple con esta especificación. Ahora, si las dinámicas están determinadas por una secuencia infinita –aún con un mapa no invertible- podemos determinar que el modelo es localmente estable. La prueba formal no está completa. Sin embargo, en las simulaciones numéricas el modelo ha mostrado ser localmente estable –anexo B-, para varias combinaciones de parámetros. Las simulaciones numéricas y los gráficos de las diferentes dinámicas se utilizan en vez del análisis estándar de diagramas de fase –apropiado para casos hiperbólicos y sin presencia de topologías complicadas-.

Para Junxi (1999), a pesar que la mayoría de los modelos con medioambiente se restringen al análisis de los estados estacionarios, ignorando por tanto las dinámicas transicionales hacia posiciones de largo plazo. Su análisis es no trivial. Hay dos razones, según este autor, por las cuales se puede pensar que las dinámicas transicionales en los modelos que siguen la tradición neoclásica pueden ser muy complejas. En primer lugar, aunque los modelos con medioambiente sean similares a los modelos de crecimiento estándar, dónde el concepto del estado de sostenibilidad ambiental corresponde al del estado estacionario; existe una diferencia fundamental entre los dos tipos.

En los modelos con medioambiente existen dos fuerzas opuestas que se balancean la una contra la otra hacia un nivel sustentable: Una fuerza negativa, mediante la cual las actividades de los agentes como el consumo lastiman al medioambiente; y una fuerza positiva, que consiste en el deseo de preservación y cómo esto afecta al ambiente. Es por este motivo, que el juego de estos dos efectos opuestos, que está generalmente ausente en los modelos de crecimiento, dé lugar a dinámicas no triviales –y además complejas-. Es más, se puede pensar en una estructura de tipo impulso y respuesta que pueden llevar a dinámicas oscilatorias –como se observa de las simulaciones numéricas apéndice B-.