INTRODUO A EPISTEMOLOGIA DA CIENCIA

INTRODUO A EPISTEMOLOGIA DA CIENCIA

Christian Jos Quintana Pinedo(CV)
Karyn Siebert Pinedo (CV)

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3.4.3 Nmeros transfinitos.

Ao apresentarmos as definies das espcies mais elevadas de nmeros, empregamos o termo conjunto. A idia de desenvolver uma teoria dos conjuntos e trat-la como disciplina autnoma remonta ao matemtico alemo George Cantor que a concebeu no final do sculo XIX. A contribuio especial de Cantor foi a sua teoria dos conjuntos infinitos e dos nmeros transfinitos. Pode ser encarada como nova extenso do desenvolvimento que consideramos na ltima seo.

A teoria de Cantor vale-se da importante noo de correspondncia um-a-um (ou biunvoca). Dizemos que os elementos de um conjunto S1 esto em correspondncia biunvoca, ou um-a-um, com os elementos de outro conjunto S2 se existir algum modo de associar elementos de um conjunto a elementos de outro de tal maneira que a cada elemento de S1 se associe exatamente um elemento de S2, e a cada elemento de S2 se associe exatamente um elemento de S1. Consideremos os passageiros de um nibus: se cada passageiro ocupar um assento, o conjunto de passageiros e o conjunto de assentos estaro em correlao biunvoca. Nessas circunstncias, o conjunto de passageiros teria como claro, o mesmo nmero de elementos que teria o conjunto de assentos, no importando qual fosse esse nmero.

Por outra parte, se cada assento estivesse ocupado por um passageiro, havendo, contudo, passageiros viajando em p, o conjunto de passageiros seria mais amplo que o conjunto de assentos. Consideremos, nesse exemplo, dois conjuntos de tamanho finito (no poderia existir um nibus de tamanho infinito). A idia de Cantor era que os conjuntos infinitos tambm poderiam estar em correlao um-a-um, tornando-se possvel comparar conjuntos, mesmo no caso de conterem uma infinidade de elementos. Sustentava Cantor que dois conjuntos infinitos deveriam ser considerados de mesma grandeza se, e somente se, fosse possvel correlacionar seus elementos um-a-um; e que um conjunto infinito deveria ser considerado maior do que outro se, e somente se, correlacionados os elementos deste ltimo conjunto, um-a-um, aos elementos do primeiro, sempre restassem alguns elementos desse primeiro conjunto. Assim, por exemplo, o conjunto de nmeros mpares e o conjunto de nmeros pares so da mesma grandeza, j que possvel correlacionar biunivocamente seus elementos, ficando cada nmero mpar associado ao seu sucessor imediato.

No surpreende o fato de, segundo a definio de Cantor; o conjunto de nmeros mpares e o conjunto de nmeros pares serem da mesma grandeza. Surpreende, porm, que a definio estabelea a mesma grandeza para o conjunto de nmeros naturais e o conjunto de nmeros mpares. O ponto a considerar que existe um meio de correlacionar de modo biunvoco os elementos desses dois conjuntos:

Nmeros mpares 1 3 5 7 9 11 . . .

Nmeros naturais 0 1 2 3 4 5 . . .

O que fazemos associar o primeiro nmero mpar ao primeiro nmero natural e, em geral, o n-simo nmero mpar ao n-simo nmero natural; e a est uma correlao um-a-um. Mais surpreendente ainda o fato de o conjunto de nmeros naturais ser da mesma grandeza que o conjunto de nmeros racionais - que talvez teramos a tendncia de supor muito maior. Para ver que assim se d, colocamos os nmeros racionais em uma srie, de modo que cada um dos racionais tenha seu lugar definido na srie e esteja distante um nmero finito de passos do incio da srie. Estaremos, assim, em condies de correlacionar o primeiro racional ao primeiro nmero natural e, de modo genrico, o n-simo racional ao n-simo natural.

Imaginemos que cada um dos racionais tenha sido expresso na forma de uma frao. Consideremos o quadro:

0/1 1/1 2/1 3/1 . . .

0/2 1/2 2/2 3/2 . . .

0/3 1/3 2/3 3/3 . . .

Prolongando o quadro, para a direita e para baixo, sem cessar, cada nmero racional dever figurar em algum ponto. O quadro de duas dimenses, mas podemos dar-lhe a configurao de uma srie linear principiando no canto superior esquerdo e caminhando em diagonais, ao longo do quadro. A srie linear que obtemos esta:

Esta srie repete alguns racionais ( e por exemplo, so o mesmo nmero que ) ; retiremos, pois qualquer elemento que j tenha aparecido anteriormente na srie. Obtemos, desse modo, uma srie em que cada nmero racional est distante um nmero finito de passos do incio da srie.

0/1 1/1 2/1 3/1 . . .

0/2 1/2 2/2 3/2 . . .

0/3 1/3 2/3 3/3 . . .

Temos, assim, uma correlao um-a-um entre os elementos do conjunto de nmeros racionais e os elementos do conjunto de nmeros naturais; os dois conjuntos tm, pois, a mesma grandeza.

O fato de os nmeros mpares, que formam um subconjunto dos nmeros naturais, serem to nmeros quanto os prprios naturais e o fato de o conjunto dos naturais ter a mesma grandeza do conjunto dos nmeros racionais so descobertas que parecem contradizer o axioma de Euclides:

O todo maior que qualquer de suas partes.

As descobertas indicaram que o axioma de Euclides era errneo ? A est uma questo delicada, semelhante a questo de saber se os astrnomos defensores da teoria de Ptolomeu estavam enganados ao sustentarem que a Terra no se move. Euclides, ao enunciar o seu axioma, pensava, est claro, apenas em totalidades finitas; os gregos nunca discutiram totalidades infinitas. Se a teoria de Cantor fosse ensinada a Euclides possvel que ele a aceitasse, dizendo:

Enganei-me. Esqueci-me de pensar nas totalidades infinitas.

Mas tambm possvel que Euclides rejeitasse a teoria, dizendo:

Falar a propsito de totalidades infinitas de mesma grandeza usar de modo imprprio linguagem.

Se Cantor deseja apresentar a sua teoria de um modo que no seja necessariamente falso, ele deve falar em totalidades de mesma grandeza. Qual das duas respostas estaria Euclides mais autorizado a oferecer? O assunto merece ateno, mas no fcil chegar a uma resposta bem determinada. De qualquer forma, possvel ver que a teoria de Cantor acentua certas tendncias e ignora outras tendncias latentes no prvio emprego dos termos totalidades e mesma grandeza.

O surpreendente resultado de Cantor, relativo ao conjunto de nmeros racionais, poderia induzir-nos a admitir que talvez todos os conjuntos infinitos, segundo a teoria por ele proposta, seriam da mesma grandeza. Cantor, porm, revelou que isso no acontece. Para simplificar as coisas, consideremos apenas os nmeros reais maiores do que zero, mas no maiores do que um. Segundo Cantor, o conjunto de nmeros reais situados nesse intervalo mais amplo do que o conjunto de nmeros naturais. Para estabelecer essa concluso, Cantor argumentou indistintamente, valendo-se da reductio ad absurdum.

Suponhamos que aquele conjunto de nmeros reais fosse da mesma grandeza que o conjunto dos nmeros naturais. Isso significaria que esses nmeros reais poderiam se dispostos, de algum modo, em srie como, por exemplo, r1, r2, r3, . . . , rn, . . . , sendo o primeiro nmero real da srie associado ao primeiro nmero natural e, genericamente, o n-simo nmero real associado ao n-simo nmero natural. Ora, cada um dos nmeros reais em tela poderia ser representado em notao decimal assumindo a forma decimal infinita (ou no exata) - decimal infinita aquela que no admite um ponto a partir do qual todos os algarismos sejam `` 0 ''. Alguns desses reais teriam, de qualquer forma, de aparecer como decimais infinitas: e o caso de 1/3 que nos daria 0,33333... . Outros que viriam a admitir forma exata, poderiam ser transformados, assumindo forma no-exata: e caso de 0,303 , que poderia ser expresso como 0,3029999... .

Considere-se, agora, o nmero real (chamemo-lo r0) representando pela seguinte decimal no-exata: o seu primeiro algarismo ser 5 o primeiro algarismo de r1 e ser 6 no caso contrrio; o seu segundo algarismo ser `` 5 '', se no for 5 o segundo algarismo de r2 , ser 6 no caso contrrio; de maneira geral, o seu n-simo algarismo ser `` 5 '', se no for 5 o n-simo algarismo de r_n , e ser 6 no caso contrrio. Essa decimal infinita deve representar um nmero real maior que zero , mas no maior que um; entretanto r0 est definido de tal modo que no pode ser idntico a qualquer dos nmeros r1, r2, r3, ; ; ; , rn, . . . da srie em foco. Teramos, ento, um nmero real r0 no-correlacionado com qualquer nmero natural. Isso contraditria a suposio de que era possvel estabelecer uma correlao um-a-um entre os nmeros reais daquele intervalo e os nmeros naturais. Segue-se, portanto, que tal correlao no pode ser estabelecida, e que ha mais nmeros reais no intervalo considerado do que nmeros naturais. O conjunto de nmeros reais mais amplo do que o conjunto de nmeros racionais.

Cantor desenvolveu uma teoria dos nmeros cardinais transfinitos. Um nmero cardinal mede a grandeza de um conjunto, finito ou no; os cardinais transfinitos medem as grandezas de conjuntos infinitos - como os que examinamos. O conjunto de nmeros naturais possui o menor nmero cardinal transfinito; o conjunto de nmeros reais tem, como vimos um nmero cardinal transfinito maior; o conjunto de todos os subconjuntos do conjunto de nmeros reais tem um nmero cardinal transfinito ainda maior. Cantor chegou a essa concluso por meio de um raciocnio semelhante ao que acabamos de fazer. Disse ele que cada conjunto no-vazio, finito ou no, tem mais subconjuntos do que elementos. Isso quer dizer que o nmero cardinal do conjunto de subconjuntos de um lado conjunto no-vazio deve ser sempre maior do que o nmero cardinal do conjunto dado. Isso garante que sempre existe, qualquer que seja o cardinal dado, cardinais maiores do que esse cardinal. Cantor sustentou, pois, que h uma quantidade infinita de nmeros cardinais que podem ser colocados em uma seqncia crescente.

As surpreendentes descobertas de Cantor podem ser dadas como natural prolongamento dos desenvolvimentos discutidos na seo anterior. Podemos pensar nos resultados de Cantor como teoremas do sistema axiomtico j anteriormente concebido: sistema cujos axiomas expressam as leis bsicas dos nmeros naturais, dos conjuntos e dos pares ordenados. No final do sculo passado e no incio deste, diversos matemticos estavam agradavelmente convencidos de que seria possvel, em princpio, erigir um nico sistema axiomtico dessa espcie, capaz de abarcar todas as espcies de nmeros, finitos e transfinitos, e capaz de gerar todos os ramos tradicionais da matemtica (sendo a geometria tratada por meio de interpretaes numricas, tal como se d na geometria analtica). Muito j se havia conseguido ao longo dessas linhas, e as esperanas desses matemticos eram de tal sistema axiomtico, nico e geral, poderia ser obtido em prazo relativamente curto. Veremos, no captulo seguinte, em que deram essas esperanas.