MANUAL PR?CTICO DE OPERACIONES FINANCIERAS

7.- Ejercicios prácticos resueltos

 Casos generales.

Al igual que ya hicimos con las rentas constantes, lo primero que ha de quedar claro es la correcta utilización de las expresiones matemáticas de las rentas variables pudiendo reconocer en qué casos se ha de utilizar cada una de ellas. Además en las rentas variables es importante, dado que todos los capitales son distintos pero con relación conocida entre ellos, que sepamos en qué circunstancias es necesario calcular un capital enésimo.

Actividad nº 1:

Calcular el valor final de un renta compuesta por los siguientes capitales que vencen al final de cada año: 1.000 €, 1.500 €, 3.000 € y 4.000 €, valorada al 5 % anual.

Solución:

 Estamos ante una renta estrictamente variable, al no existir relación matemática entre los capitales, por lo tanto el valor final será la suma de los cuatro capitales en p = 4 y para obtenerlo tendremos que capitalizar cada uno de ellos:

Vf = 1.000 (1 + 0,05)3 + 1.500 (1 + 0,05)2 + 3.000 (1 + 0,05)1 + 4.000

Vf = 9.961,37 €

Actividad nº 2:

Calcular el valor actual y final de una renta cuya cuantía en el primer año es de 1.000.000 €, con incremento lineal cada año del 20 %. Duración de 10 años y valorada al 5 % anual.

Solución:

 Estamos ante el caso general de una variable en progresión aritmética, al tener un crecimiento lineal, cuya razón es: 1.000.000 • 0,2 = 200.000 €. Sustituyendo en su expresión general:

Va = (1.000.000 + + 200.000 • 10) • a 10 0,05 -

Va = 14.052.144,50 €.

El valor final se puede obtener capitalizando el valor actual:

Vf = 14.052.144,50 (1 + 0,05)10 = 22.889.462,68 €.

O utilizando su expresión general:

Vf = (1.000.000 + ) S 10 0,05 - = 22.889.462,68 €

Actividad nº 3:

Calcular el valor actual y final de una renta de 200.000 € en el primer año si tiene un crecimiento anual del 10 %, durante seis años y valorada al 5 % anual.

Solución:

 Estamos ante el caso general de una variable en progresión geométrica, ya que el crecimiento no es lineal cuya razón es q = 1,10. Sustituyendo en su expresión general:

Va = 200.000 • = 1.287.864,38 €

El valor final se puede obtener capitalizando el valor actual: Vf = 1.287.864,38 (1 + 0,05)6 = 1.725.861,44 €. O utilizando su expresión general:

Vf = 200.000 • = 1.725.861,44 €

Actividad nº 4:

Se realiza la compra de un edificio acordando la siguiente forma de pago:

• Al contado se abonan 1.000.000 € y el resto mediante 61 pagos mensuales el primero de 30.000 € y decrecientes a razón de 500 € mensuales.

• El tipo de interés de la operación se fija en el 6 % anual nominal anual.

Se pide calcular la duración de la operación y el valor al contado del edificio.

Solución:

 Como todos los elementos de la renta están expresados en la misma unidad, el valor al contado del edificio será el valor actual de una variable en progresión aritmética, decreciente en 500 € cada mes, duración de 61 términos, valorada al 6 %: 12 = 0,5 % mensual.

Va = 1.000.000 + ( (30.000 - - 500 • 61) a 61 0,005 + )

Va = 1.000.000 + 827.443,92 = 1.827.443,92 €

 Rentas fraccionadas.

Ahora no sólo hay que identificar que tipo de renta variable es, sino también hay que aprender a identificar cuándo es una renta fraccionada. En la parte teórica ya se comentó que con las rentas variables tenemos tres elementos en juego, el capital, el tanto y la razón. En las constantes, éstas eran fraccionadas cuando el capital vencían en un periodo inferior al de capitalización del tanto y modificando éste solucionábamos el problema. En las variables esta condición se mantiene pero se exige que además el crecimiento o razón esté en la misma unidad que el tanto y como es más complejo efectuar cambios aplicamos directamente la expresión explicada m • .

Actividad nº 5:

Calcular el valor actual de una renta de diez años de duración valorada al 8 % efectivo anual, con pagos semestrales de 50.000 € que crecerán anualmente a razón de un 3 % en los casos lineal y acumulativo.

Solución:

• En el caso de la renta geométrica: Aplicamos la fórmula de la fraccionada:

Va = 50.000 • 2 • • = 769,823,14 €

El valor de im = 1 – (1 + 0,08)1/2 = 0,03923

El valor de Jm = 0,03923 • 2 = 0,07846

• En el caso de la renta aritmética procederemos de igual modo: La razón sería: 50.000 • 0,03 = 1.500 €

Va = ( (50.000 + + 1.500 • 10) a 10 0,08 - ) • 2 • = 763.629,25 €

El valor de im = 1 – (1 + 0,08)1/2 = 0,03923

El valor de Jm = 0,03923 • 2 = 0,07846

Actividad nº 6:

Calcular el valor actual de una renta de diez años de duración valorada al 4 % semestral, con pagos semestrales de 20.000 € que crecerán anualmente a razón de un 3 % en el caso lineal y acumulativo.

Solución:

• En el caso de la renta geométrica procederemos:

a) Cambiando el tanto a anual quedaría como una renta fraccionada normal, de m = 2, al cumplirse la condición general, C < (i = q), por lo tanto calculando el interés anual equivalente i = (1 + 0,04) 2 – 1 = 0,0816 y el nominal 0,04 • 2 = 0,08, aplicando la expresión general obtendremos el valor actual:

Va = 20.000 • 2 • • = 305.726,50 €

• En el caso de la renta aritmética procederemos igual: Si cambiamos el tanto a anual, y como el crecimiento nos lo dan en anual, d = 20.000 • 0,03 = 600 €, tenemos directamente una aritmética fraccionada de m = 2,

Va = ( (20.000 + + 600 • 10) a 10 0,0816 - ) • 2 • = 303.277,35 €

Actividad nº 7:

Una constructora vende sus pisos mediante recibos mensuales de 700 €, durante 10 años, valorados al 12 % anual efectivo. Un comprador solicita pagar cantidades mensuales que crezcan anualmente en un 5 %. Se pide calcular, el valor al contado del piso y las mensualidades a pagar en los tres primeros años si es aceptada esta propuesta.

Solución:

 El valor actual de las mensualidades que el comprador quiere abonar, será el equivalente al valor actual de la propuesta de la constructora. Como los pagos son mensuales obtenemos el interés mensual que será: (1 + 0,12)1/12 – 1 = 0,0094888. El valor al contado del piso será el valor actual de una renta constante:

Va = 700 • a 120 0,0094888 = 50.018,87 €

Como el comprador propone pagos mensuales crecientes y el resto de los datos de la operación están en unidad anual, tenemos una geométrica fraccionada de m = 12, por lo tanto aplicando directamente su expresión general:

50.018,87 = C • 12 • •

Operando, C = 582,20 € mensuales en el primer año.

En el segundo año los pagos serán de: C•q = 582,20 • 1,05 = 611,31 € mensuales.

Y en el tercer año de: C•q2 = 580,20 • 1,052 = 641,88 € mensuales.

Actividad nº 8:

Se va a realizar una ampliación de la capacidad productiva de una empresa con la apertura de una nueva línea de fabricación. Su coste asciende a 500.000 € con valor residual al final del sexto año de su vida útil de 25.000 €. La producción se estima que ascenderá a 2.000 unidades mensuales y su precio de venta será de 6 € en el primer año, con un crecimiento anual del 5 % en el precio.

Calcular el beneficio actualizado (costes actualizados menos beneficio actualizado) valorando la operación a un 15 % efectivo anual.

Solución:

• El valor actualizado de los costes será el montante de la inversión menos el valor residual, en los seis años de vida útil de la línea de fabricación:

Costes: 500.000 - 25.000 (1 + 0,15) - 6 = 489.191,81 €

• Ingresos: Forman una renta fraccionada, m = 12, variable en progresión geométrica de razón 1,05 anual, siendo la cuantía del primer capital anual de: 6 € • 2.000 u. = 12.000 €. Utilizamos directamente la expresión general:

Va = 12.000 • 12 • • = 646.313,94 €

El beneficio actualizado será de: 646.313,94 – 489.191,81 = 157.122,13 €

Actividad nº 9:

Se va a realizar la ampliación de la actividad de la sociedad mediante la mejora de sus instalaciones lo que va a generar los siguientes costes:

• Los gastos de construcción ascenderán a 5.000 € mensuales con un crecimiento semestral estimado en 500 € durante los tres años que durará la construcción.

• Los gastos de mantenimiento ascenderán a 3.000 € mensuales con un incremento anual del 4 % y por tiempo indefinido.

Se pide calcular el coste actualizado de la inversión si se valora al 10 % efectivo anual.

Solución:

• Gastos de construcción. En este caso si cambiamos el tanto a semestral, quedaría una renta fraccionada al estar el tanto y la razón en la misma unidad y el capital en una inferior, m = 6 (seis capitales mensuales en un semestre), variable en progresión aritmética de razón semestral 500 € y seis semestres de duración. El tanto semestral será: i2 = (1 + 0,10)1/2 -1 = 0,048808848, por lo que el valor actual de la renta sería:

Va = ((5.000 + + 500 • 6) a 6 0,048808 - ) • 6•

Va = 192.751,03 €

• En cuanto a los gastos de mantenimiento, estamos ante una renta perpetua fraccionada, m = 12, variable en progresión geométrica, al tener el tanto en anual, con crecimiento anual pero capitales mensuales. Su valor actual será:

Va = 3.000 • 12 • • = 627.026,83 €

El coste total es de: 192.751,03 + 627.026,83 = 819.777,86 €

Actividad nº 10:

Calcular el valor actual de las siguientes rentas a un interés del 10 % efectivo anual:

a) Una renta de 500 € trimestrales y crecimiento anual del 2 % acumulativo durante 5 años.

b) Una renta de 3.000 € semestrales y crecimiento semestral del 3 % no acumulativo durante los próximos 10 años.

Solución:

a) Es una renta fraccionada, m = 4 ( cuatro capitales en una año), variable en progresión geométrica de razón anual 1,02, y tanto anual, por lo tanto podemos aplicar directamente la expresión matemática de la fraccionada:

Va = 500 • 4 • • = 8.150,26 €

b) Si cambiamos el tanto a semestral, obtendremos una renta variable en progresión aritmética normal al estar todos los datos, capital, crecimiento y tanto en la misma unidad temporal, el semestre. El tanto semestral: i2 = (1 + 0,10)1/2 – 1 = 0,048808848. La razón es de 3.000 € • 3 % = 90 €, para 10 • 2 = 20 periodos.

Va = ((3.000 + + 90 • 20) a 20 0,048808 - ) = 46.762,14 €

 Operaciones de rentas variables con más de una razón.

Del mismo que en las rentas constantes aprendimos a identificar cuándo una operación se componía de varias rentas, vamos con la siguiente tanda de ejercicios a analizar esta misma situación. En las operaciones formadas por rentas variables existen varias cuando se modifique el tanto o la razón, con una sucesión de capitales determinada. Cuando esto suceda habrá que proceder a separar la operación en las diferentes rentas que surjan y sumarlas en el punto indicado. Las rentas son variables porque los capitales varían de un vencimiento a otro, pero lo pueden hacer de forma lineal o acumulativa, veremos que ambas formas pueden darse simultáneamente en la misma operación. A su vez es importante la identificación y cálculo del primer término de cada una de las rentas que se originan, con la que hay que manejar con soltura el concepto del término enésimo de una sucesión.

Actividad nº 11:

Calcular el valor actual de las siguientes rentas:

a) De una renta de 150.000 € en el primer año, con crecimiento anual previsto del 5 % en los cinco primeros años y de 5.000 € en los cinco siguientes, valorada al 6 % anual.

b) De una renta de 2.000.000 € en el primer año con crecimiento lineal del 10 % anual, durante seis años y que en los últimos cinco años decrecerá a razón de un 10 % anual y valorada al 6 % anual.

Solución:

a) En el primer caso, la variación de capitales es la siguiente:

C , Cq , Cq2 , Cq3 , Cq4 , Cq4+d , Cq4+2d, Cq4+3d, Cq4+4d , Cq4+5d.

La primera renta es una variable geométrica de razón 1,05 con una duración de cinco y cuyo primer capital es de 150.000 €, mientras que la segunda renta es una variable aritmética de razón 5.000 €, con una duración de cinco periodos, y cuyo primer capital se calcula a partir del último de la renta anterior, siendo por lo tanto su importe de:

C6 = Cq4 + d =  150.000 • 1,05 4  + 5.000 = 187.325,94 €.

Como se pide el valor actual, éste será la suma de las dos rentas, como la segunda se inicia después de terminada la primera tendrá su valor actual en p = 5, y tendremos que actualizarla para poder sumarlas:

Va = ( (187.325,94 + + 5.000 • 5) a 5 0,06 - ) • (1 + 0,06) – 5 +

150.000 • = 619.296 + 649.322,57 = 1.313.618,57 €.

b) En este segundo caso la variación de capitales es la siguiente:

C, C+d, C+2d, C+3d, C+4d, C+5d, (C+5d) - d´, (C+5d) - 2d´, (C+5d) - 3d´, (C+5d) - 4d´,

(C+5d) - 5d´

- La primera renta es una variable aritmética de razón d = 2.000.000 • 0,10 = 200.000 € y cuyo primer capital es de 2.000.000 €, con una duración de seis términos, siendo el último capital, C6 = (C+5d) = (2.000.000 + 5 • 200.000) = 3.000.000 €.

- La segunda renta es una variable aritmética pero decreciente por valor de d´= (3.000.000 • 0,10) = - 300.000 €, con una duración de cinco periodos siendo la cuantía del primer capital el último anterior modificado por la nueva razón. C7 = (C6 - d´) = 3.000.000 – 300.000 = 2.700.000 €

El valor actual será la suma de las dos rentas, como la segunda se inicia en (6), habrá que actualizarla seis periodos:

Va = ( (2.700.000 - - 300.000•5) a 5 0,06 + ) (1 + 0,06) – 6 +

( (2.000.000 + + 200.000•6) a 6 0,06 - )

Va = 6.339.722,58 + 12.126.518,93 = 18.466.241,51 €.

Actividad nº 12:

Calcular el valor actual de las siguientes rentas:

a) De 1.000.000 € en el primer año con crecimiento anual del 6 %, durante siete años y que decrecerá a razón del 3 % anual en los cinco siguientes, valorada al 5 % anual

b) De 800.000 € el primer semestre, crecimiento semestral de 10.000 € en los cuatro primeros años y decreciendo en los tres siguientes años en 3.000 €. Valoración al 2 % semestral.

Solución:

a) En este tercer caso la variación de capitales es la siguiente:

C, Cq, Cq2 ,Cq3 ,Cq4 , Cq5, Cq6 , Cq6q´, Cq6q´ 2 , Cq6q´ 3 , Cq6q´ 4 ,C q6 q´ 5

- La primera renta es una variable geométrica de razón 1,06 y cuyo primer capital es de 1.000.000 €, con una duración de siete términos siendo el último pago de, C7 = 1.000.000 • 1,066 = 1.418.519 €.

- La segunda renta es una variable geométrica, con una duración de cinco periodos, cuya razón es 100 % - 3 % = 97 %, es decir q = 0,97. el primer capital será el último de la renta anterior modificado por la nueva razón: C8 = C7 • q´ = 1.418.519 • 0,97 = 1.375.964 €

El valor actual será la suma de las dos rentas, sabiendo que la segunda al iniciarse en (7) habrá que actualizarla, por lo tanto:

Va = 1.000.000 • + 1.375.964 • • (1 + 0,05) - 7

Va = 6.860.195 + 3.999.000 = 10.859.195 €.

b) En el último caso, la variación de capitales, al ser éstos y la razón semestrales junto con el tanto de interés, no es una renta fraccionada, por lo tanto el desglose de los capitales será:

C, C+d, C+2d, ............, C+7d, (C+7d) - d´, (C+7d) - 2d´, ........... , (C+5d) - 6d´

- La primera renta es una variable aritmética de razón 10.000 € y cuyo primer capital es de 800.000 €, con una duración de ocho términos, siendo su último capital, C8 = (C+7d) = (800.000 + 7 • 10.000) = 870.000 €.

- La segunda renta es una variable aritmética, con una duración de seis periodos, cuyo primer capital será el último anterior modificado con la nueva razón: C9 = (C8-d´) = 870.000 – 3.000 = 867.000 €

El valor actual será la suma de las dos rentas, actualizando ocho periodos la segunda:

Va = ( (800.000 + + 10.000 • 8) a 8 0,02 - ) +

( (867.000 - - 3.000 • 6) • a 6 0,02 + ) (1 + 0,02) – 8

Va = 6.109.164 + 4.109.898 = 10.219.062 €.

Actividad nº 13:

Se pide calcular a un tanto del 8 % anual, el beneficio actualizado del siguiente negocio:

• Gastos de explotación: En el primer año se estiman en 5.000.000 €, con incremento anual del 3 % en los primeros seis años y del 5 % en los cuatro restantes.

• Ingresos de explotación: Ingresos en el primer año de 15.000.000 €, con un incremento anual del 5 % en los siete primeros años y decreciente en un 2 % anual en los tres restantes.

Solución:

• Respecto a los gastos de explotación, estamos ante dos rentas variables originadas por un cambio en la ley de variación, formadas por los siguientes capitales:

- La primera renta es una variable geométrica de razón 1,03 y cuyo primer capital es de 5.000.000 €, con una duración de seis periodos, siendo su último capital de C6 = (5.000.000 • 1,03 5 = 5.796.370,37 €.

- La segunda renta es otra variable geométrica de razón 1,05 con una duración de cuatro periodos, y cuyo primer capital será el anterior por la nueva razón: C 7 = 5.796.370,37 • 1,05 = 6.086.188,89 €.

El valor de los gastos de explotación será la suma de las dos rentas, actualizando la segunda seis periodos, por lo tanto:

Va = 5.000.000 + 6.086.188,89 (1 + 0,08) - 6

Va = 24.754.450,98 + 13.623.945,64 = 38.378.396,62 €.

• Respecto a los ingresos de explotación, estamos también ante otras dos rentas variables originadas por un cambio en la ley de variación, cuya relación de capitales es la siguiente:

- La primera renta es una variable geométrica de razón 1,05 y cuyo primer capital es de 15.000.000 €, con una duración de siete periodos, siendo el último capital: C7 = 15.000.000 • 1,05 6 = 20.101.434,61 €.

- La segunda renta es otra variable geométrica de razón 100 % - 2 % = 98 %, es decir q = 0,98 con una duración de tres periodos, y cuyo primer capital es el anterior por la nueva razón: C 8 = 20.101.434,61 • 0,98 = 19.699.405,92 €.

El valor de los gastos de explotación será la suma de las dos rentas, actualizando la segunda siete periodos, por lo tanto:

Va = 15.000.000 + 19.699.405,92 (1 + 0,08) - 7

Va = 89.485.209,10 + 29.063.792,31 = 118.549.001,42 €.

El beneficio actualizado será de: 118.549.001,42 - 38.378.395,92 = 80.170.605,50 €

Actividad nº 14:

Los gastos de explotación de un negocio suponen unos gastos anuales de 800.000 € en el primer año con un crecimiento anual de 20.000 € en los ocho primeros años y de 50.000 € en los cuatro últimos. Si la operación se valora al 8 % anual, calcular el valor actualizado de dichos gastos.

Solución:

 Al igual que en el caso anterior estamos ante dos rentas originadas por un cambio en la ley de variación, con los siguientes capitales:

C , C + d , C + 2d , C + 3d , C + 4d , C + 5d , C + 6d , C + 7d ,

(C + 7d) + d´, (C + 7d) + 2 d´, (C + 7d) + 3 d´, (C + 7d) + 4 d´

- La primera renta es una variable aritmética de primer capital 800.000 €, de ocho años de duración, con razón de 20.000 € siendo su último capital: C8 = 800.000 + (7 • 20.000) = 940.000 €.

- La segunda es también una variable aritmética de razón 50.000 €, con cuatro años de duración y cuyo primer capital será el anterior más la nueva razón: C 9 = 940.000 + 50.000 = 990.000 €

 El valor de los gastos de explotación será la suma de las dos rentas, por lo tanto:

V a = ( (800.000 + + 20.000 • 8) a 8 0,08 - ) +

( (990.000 + + 50.000 • 4) a 4 0,08 - ) • (1 + 0,08) - 8

V a = 4.953.433,12 + 1.897.159,71 = 6.850.592,83 €

 Operaciones de rentas variables con más de un tanto de interés.

Continuamos con el análisis de operaciones formadas por más de una renta, en este caso no por modificación el las leyes de variación, sino por variación en los tantos. Su procedimiento de cálculo será el mismo, es decir habrá que comprobar el número de rentas resultantes al ir modificando las leyes de variación e ir identificando tanto su inicio o final, según se solicite calcular el valor actual o final de la operación, e identificar y calcular el primer término de cada una de ellas.

Actividad nº 15:

Una empresa estima que sus ingresos por las ventas que realice tendrán un crecimiento semestral del 3 %, siendo los del primer semestre de 15.000.000 €. Si dichos ingresos se depositan en una entidad financiera que valora la operación a un 5,5 % nominal anual en los tres primeros años y un 5 % nominal en los tres siguientes. ¿Cuál será el valor actualizado de la corriente de ingresos?

Solución:

• Al estar valorada la operación a más de un tanto, sucederá lo mismo que lo estudiado con las rentas constantes, es decir la existencia de tres tantos dará lugar a tres rentas variables de términos, crecimiento y rédito semestral, de las que necesitamos conocer sus primeros capitales, que según el esquema de la operación serían

El primer capital de la primera renta es, C1 = 15.000.000 €

El primero de la segunda, C7 = 15.000.000 • 1,036 = 17.910.784,45 €

Por lo tanto la suma de dos rentas variables geométricas, de razón q = 1,03, nos dará el dato buscado, actualizando la segunda seis periodos semestrales al 2,75 %:

Va = 15.000.000 + 17.910.784,4 (1 + 0,0275)-6

Va = 88.125.765,90 + 90.188.134,68 = 178.313.900, 58 €

Actividad nº 16:

Se ha obtenido un préstamo a pagar mediante términos que variarán trimestralmente a razón de 50 €, ascendiendo el primer pago a 500 €. Si la entidad financiera valora la operación a un 6 % nominal anual en los tres primeros años y a un 5 % nominal en los cuatro siguientes

¿Cuál es la cuantía del préstamo recibido?

Solución:

• Al estar valorada la operación a dos tantos, dará lugar a dos rentas variables, de las que necesitamos conocer sus primeros capitales procediendo del mismo modo que hemos hecho en el problema anterior:

El primer capital de la primera renta es, C1 = 500 €

El primero de la segunda es el decimotercero, C13 = 500 + (13-1) 50 = 1.100 €

Tenemos la suma de dos rentas variables aritméticas, de razón d = 50, cuyos capitales, tantos de valoración y crecimiento están expresados en la misma unidad.

Va = ( (500 + + 50 • 12) • a 12 0,015 - ) +

( (1.100 + + 50 • 16) • a 16 0,0125 + ) • (1 + 0,015)- 12

Va = 8.356,61 + 17.630,82 = 25.987,43 €

 Operaciones formadas por rentas variables y constantes.

Vamos a concluir el análisis de operaciones formadas por varias rentas, con ejercicios donde una operación estará formada por rentas variables y constantes mezcladas. Su resolución seguirá el mismo esquema utilizado en los apartados anteriores. Una diferencia que se analizará es la duración, que dada una condición, tendrá una de las rentas variables que componen la operación.

Actividad nº 17:

Una empresa prevé unos ingresos de 900.000 € en el primer año con un crecimiento no acumulativo del 12 % anual hasta alcanzar la máxima facturación prevista en 1.224.000 €. Si la operación se valora a un tanto de mercado del 8 % anual, calcular el valor actualizado de los ingresos

Solución:

 Es una operación donde los ingresos van creciendo hasta alcanzar un tope máximo, por lo que habrá que calcular el tiempo que tarda en alcanzar la máxima facturación prevista. La razón es de d = 900.000 • 0,12 = 108.000 €, y el tiempo que tarda en alcanzarla es de:

1.224.000 = 900.000 + (n - 1) • 108.000 , operando n = 4 años

Por lo que estamos ante dos rentas, la primera variable en progresión aritmética de cuatro años de duración y la segunda constante de 1.224 millones, al no variar más, y duración de seis años. El valor actual de la operación será la suma de ambas, como la segunda se inicia en (5) habrá que actualizarla cuatro periodos:

Va = ( (900.000 + + 10.800 • 4) a 4 0,08 - ) +

+ 1224.000 • a 6 0,08 • (1 + 0,08) - 4

Va = 3.483.124,18 + 4.159.096,38 = 7.642.220,56 €

Actividad nº 18:

Una sociedad va a iniciar su actividad industrial con la fabricación de 50.000 unidades de producto, siendo su capacidad máxima de producción de 75.000 unidades, esperando que el ritmo de producción se incrementa en un 5 % anual. El estudio se realiza para un periodo de 15 años valorándose al 6 % anual.¿Cuál sería el valor actual de la producción si su precio de venta es de 800 €?.

Solución:

Como podemos comprobar existen tramos diferentes debido al tope máximo en la capacidad de fabricación, lo que dará lugar a rentas distintas, analizando una por una tendremos:

• Una primera renta variable en progresión geométrica de razón q = 1,05, cuyo primer capital es de 50.000 • 800 = 4.000.000 €. Como el valor máximo a alcanzar es de 75.000 unidades, la duración de esta renta será de:

75.000 = 50.000 • 1,05 n-1 operando n = 9,3 años

Es decir en el noveno año alcanzaría el máximo porque en el décimo la superaría.

• El segundo tramo lo conforma una renta constante al no producirse más aumento en la producción, de seis años de duración siendo la cuantía del capital la producción máxima alcanzada por su precio 75.000 • 800 = 6.000.000 €.

El valor actual de los ingresos será la suma de las dos rentas, sabiendo que la segunda está diferida nueve años:

Va = 4.000.000 • + 6.000.000 • • (1 + 0,06) - 9

Va = 32.708.485,01 + 17.463.340,28 = 50.171.825,29 €

Actividad nº 19:

Los ingresos previstos de una instalación lúdica se estima que ascenderán a 50.000.000 € en el primer año, con un crecimiento lineal esperado del 6 % anual hasta facturar un total de 68.000.000 €, en los tres siguientes años los ingresos se estiman constantes. ¿Cuál sería el valor actual de dichos ingresos si se valora la operación a un 5 % anual?

Solución:

Al igual que en el caso anterior se conforman tramos diferentes:

• La primera será una renta variable en progresión aritmética con variación anual, d = 50.000.000 • 0,06 = 3.000.000 €, como el valor máximo a alcanzar es de 68.000.000 €, la duración de la renta será de:

68.000.000 = 50.000.000 + (n – 1) 3.000.000 operando n = 7 años

• El segundo tramo lo conforma una renta constante, de tres años de duración siendo la cuantía del capital el valor máximo alcanzado en el tramo anterior, es decir 68.000.000 €.

El valor actual de los ingresos será la suma de las dos rentas, sabiendo que la segunda está habrá que actualizarla al iniciarse en (7), por lo tanto:

Va = (50.000.000 + + 3.000.000 • 7) a 7 0,05 - + 68.000.000

• (1 + 0,05) - 7 = 338.014.915,06 + 131.604.584,16 = 206.410.339,22 €

Actividad nº 20:

Los ingresos previstos que va a obtener una sociedad por su actividad en los próximos dieciséis años se estiman en: Los cinco primeros años 60.000.000 € anuales y en los ocho siguientes crecerán a un ritmo del 10 % anual ¿Cuál sería el valor actual de dichos ingresos si se valora la operación a un 5 % anual?

Solución:

Estamos ante una operación conformada por las siguientes rentas:

• La primera será una renta constante de 60.000.000 €, durante cinco años.

• El segundo tramo lo conforma una renta variable en progresión geométrica de razón q = 1,1, cuyo primer capital será el anterior ya incrementado: C6 = 60.000.000 • 1,1 = 66.000.000 € y con ocho años de duración, siendo su último capital de: C8 = 66.000.000 • 1,1 7 = 128.615.328,6 €.

El valor actual de los ingresos será la suma de las dos rentas, sabiendo que la segunda está diferida cinco años:

Va = 60.000.000 • + 66.000.000 • (1 + 0,05) - 5 +

Va = 259.768.600,24 + 466.309.465,35 = 726.078.065,59 €

Actividad nº 21:

Una sociedad que va a iniciar el lanzamiento de un nuevo producto y estima que los costes de fabricación tendrían hoy un valor actual de 1.250 millones. La producción estimada para los próximos diez años será la siguiente: Durante los primeros cuatro años se podrán fabricar 12.000 unidades anuales con un incremento anual del 10 %. Durante los tres siguientes la producción se mantendrá constante sobre el máximo alcanzado en el cuarto año. En los tres siguientes la producción se mantendrá en 12.000 unidades anuales.

¿Cuál será el precio de venta si el margen de beneficio es del 25 % sobre el coste unitario, siendo el tanto de valoración del 8 % en los 7 primeros años y del 5 % en los últimos?

Solución:

Los tramos que nos encontramos ahora serán:

• El primero lo conforma una renta variable en progresión geométrica con variación anual de q = 1,1, de cuatro años de duración, cuyo primer capital es de 12.000 unidades y el último de: C4 = 12.000 • 1,13 = 15.972 unidades.

• El segundo tramo lo conforma una renta constante, de tres años de duración siendo la cuantía del capital el valor máximo alcanzado en el tramo anterior, 15.972 unidades.

• Y el tercer tramo está formado por una renta constante de 12.000 unidades.

El valor actual de la producción será la suma de las tres rentas, sabiendo que la segunda está diferida cuatro años y la tercera siete años respecto el momento actual:

Va = 12.000 • + 15.972 • • (1 + 0,08) - 4 + 12.000 •

• (1 + 0,08) – 7 = 45.694,32 + 30.254,85 + 30.314,50 = 106.263,67 u.

El coste unitario será: 1250.000.000 : 106.263,67 = 11.763,2 €/u.

El precio de venta será: 11.763,2 €/u • 1,25 = 14.704 €/u.