APLICACIONES DEL C?LCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL EN LA ECONOM?A

6- COSTOS

Costo total (CT): representa el gasto monetario total mínimo necesario para obtener cada nivel de producción Q. Aumenta a medida que aumenta Q.

Siempre, por definición CT = CF+CV, donde

Costo fijo (CF): representa el gasto monetario total en que se incurre aunque no se produzca nada. No resulta afectado por las variaciones de la cantidad de producción.

Costo variable (CV): representa los gastos que varían con el nivel de producción- como las materias primas, los salarios y el combustible- y comprende todos los costos que no son fijos.

Costo medio o unitario (Cme): es uno de los conceptos de costo más importantes pues cuando se compara con el precio o el ingreso medio, permite saber si la empresa está obteniendo o no un beneficio. Es el costo total dividido por el número de unidades producidas.

Cme = CT/Q

Costo fijo medio (CFMe): es el costo fijo dividido por Q. Al aumentar la producción el valor del CFMe disminuye.

CFMe = CF/Q

Costo variable medio (CVMe): es el costo variable dividido por el nivel de producción Q.

CVMe =CV/Q

Costo marginal de producción (CM): es el costo adicional en que se incurre al producir una unidad adicional.

El estudio de los costos de elaboración de un producto X brindó los siguientes resultados:

Producción Q Costo total CT (pesos) Costo marginal CM (pesos)

0 55

1 85 30

2 110 25

3 130 20

4 160 30

5 210 50

O en el caso que se conozca la función de costo total, CM = (CT)’.

- Incremento de los costos marginales:

Si el incremento del CM es mayor que 1, la producción de una unidad adicional trae consigo un aumento mayor a la unidad en los costos totales.

Si el incremento es igual a 1, el cambio en los costos totales es proporcional al aumento de la producción.

Si el incremento es menor que 1, el incremento en el costo es menor que el incremento de la producción.

Elasticidad de los costos: indica cómo se adaptan los costos cuando varía la cantidad producida. Específicamente se define como la variación porcentual de los costos dividida por la variación porcentual de las cantidades producidas.

- Elasticidad del costo total (N): N =CM/Cme

- Elasticidad del costo medio (N*): N* = CM/Cme –1= N-1

- Elasticidad del costo variable (Nv): Nv = CM/CVMe

Ejemplo 14 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

La función de costos de una unidad productora de helados ha sido estimada como:

C(x)= 0.4x²+11x+260, donde C(x) es el costo total de electricidad por hora en pesos y x la cantidad de helado producido en tanquetas.

a-) Determinar el costo marginal para x =20 y x =80.

b-) ¿Considera que un incremento en la producción de helados trae consigo un incremento proporcional en el consumo de energía eléctrica? ¿Por qué?

Solución:

a-) CM = (CT)’ Para x =20 Para x =80

CM =(0.4x²+11x+260)’ CM = 0.8*20+11 CM =0.8*80+11

CM = 0.8x+11 CM =27 CM =75

Rta: Cuando la producción es de 20 tanquetas el costo de producir una unidad adicional es de $27.00, mientras que cuando la producción es de 80 tanquetas el costo de producir una más es de $75.00.

b-) Un incremento en la producción de helados no trae consigo un incremento proporcional en el consumo de energía eléctrica porque el incremento de los costos marginales es menor que 1 (es 0.8).

Ejemplo 15 (Aplicación de la derivada de funciones de una variable)

Dada la función de costos de una pieza de automóviles de una empresa nacional

C(Q)= 3Q³-2Q²-10Q+200.

a-) Obtener cuál será la reacción en los costos totales, medios y variables cuando se producen 10 piezas.

Solución:

N = CM/Cme CM = C’(Q)

N= (9Q²-4Q-10)/(3Q²-2Q-10+200/Q) CM= (3Q³-2Q²-10Q+200)’

N= (9*10²-4*10-10)/(3*10²-2*10-10+200/10) CM= 9Q²-4Q-10

N= 2.93

Cme= CT/Q

Cme=(3Q³-2Q²-Q+200)/Q

Cme= 3Q²-2Q-10+200/Q

N*= N-1

N*=2.93-1

N*= 1.93

Nv= CM/CVMe CVMe= CV/Q

Nv= (9Q²-4Q-10)/( 3Q²-2Q-10) CVMe= (3Q³-2Q²-10Q)/Q

Nv= (9*10²-4*10-10)/(3*10²-2*10-10) CVMe= 3Q²-2Q-10

Nv= 3.15

Rta: Al aumentar la producción en un 1% de piezas, los costos totales aumentan en un 2.93%, los costos medios en un 1.93% y los costos variables medios en un 3.15 %.

Ejemplo 16 (Aplicación de la integral indefinida)

Si la función de costo marginal de una fábrica está dada por CMq = 6q2 –3q+10 y el costo total es de 40 unidades monetarias cuando la producción es 2 unidades.

a-) Hallar la función de costo total.

Solución:

CTq = ∫ CMq *dq

= ∫ (6q2 –3q+10) dq

= 2q3-3/2q2+10q + C

CT(2) = 2*23-3/2*22+10*2+C

40 = 22 + C

C = 18

Rta: La función de costo total está dada por la expresión CTq = 2q3-3/2q2+10q + 18.