OPTIMIZACIÓN DE TRAYECTORIAS APLICADO EN UN CUADRICÓPTERO MODELADO

Ing. Víctor Arturo Meza Uribe
Universidad Politécnica de Aguascalientes
Aguascalientes, Ags., México
E-mail: victor.meza@upa.edu.mx

M.C: Luis Guillermo Guerrero Díaz de León
Departamento de Mecatrónica, Universidad Politécnica de Aguascalientes, México
E-mail: guillermo.guerrero@upa.edu.mx

 

Resumen

En el presente trabajo de investigación se analiza la literatura existente sobre modelos matemáticos de cuadricópteros, así como los controladores que son aplicados con mayor frecuencia en cuadricópteros para el recorrido de trayectorias y evasión de obstáculos, teniendo como objetivo principal seleccionar aquel que sea más óptimo e implementarlo en un ambiente de simulación, evaluar así su efectividad y en caso de deficiencias, convertirlas en ventajas. Además se muestra el entorno de realidad virtual en el cual se pretende realizar la simulación por medio de Matlab/Simulink 3D Animation.

Keywords: Cuadricóptero-trayectorias-control-PID-LQR

Abtract

In the present research the literature on mathematical models cuadricópteros is analyzed, and the drivers that are applied most frequently in cuadricópteros for travel paths and obstacle avoidance, with the main aim to select one that is most optimal and implement a simulation environment, and assess their effectiveness and, if deficiencies, turn them into advantages. Besides the virtual reality environment in which it is intended to perform the simulation using Matlab / Simulink 3D Animation shown.

Keywords: Quadricopter-path-control-PID-LQR

 

1 PROBLEMÁTICA

La autonomía está relacionada con los algoritmos de control que poseen estos vehículos para responder de manera satisfactoria al encontrarse en eventos inesperados o aleatorios en el desarrollo de una trayectoria. Para ello, en primera instancia, el vehículo debe contar con un sistema de control acoplado, para la estabilidad y orientación del Cuadricóptero (este último conocido como control de actitud) el cual constituye la base de los movimientos del vehículo y por medio de este trabajo se logrará comprobar su funcionamiento a través de simulación.

En este trabajo se propone un controlador que permitirá que la aeronave realice un recorrido de manera autónoma para una ruta establecida. Este controlador será probado de manera simulada, esperando que en una investigación futura se pueda llevar a la práctica.

2 ANTECEDENTES

En los últimos años se ha generado un gran interés en el desarrollo de nuevos UAV’s (Unmanned Aerial Vehicles), ya que poseen características únicas como: tamaño pequeño, gran maniobrabilidad y tienen un costo relativamente bajo, haciéndolos más atractivos para uso tanto militar como comercial en áreas como vigilancia, reconocimiento e inspección en ambientes complejos o peligrosos. (Carmona Fernández, 2013)

Existen diversos tipos de configuraciones para esta clase de aeronaves: a un solo rotor, coaxial, tándem, entre otros; y cada uno de ellos tiene sus propias ventajas y desventajas. Una de las principales configuraciones utilizadas es la del cuadrirotor, la cual ha ido teniendo un mayor campo de estudio al brindar mayores ventajas.

El uso y desarrollo de un UAV representa un crecimiento en el área de la ingeniería aeroespacial, ya que involucra diversas disciplinas tales como la electrónica, mecánica e ingeniería de control. Lograr que un UAV sea autónomo implica un gran reto, debido a que se necesita tener un alto nivel de maniobrabilidad y robustez al mismo tiempo bajo los efectos de diferentes perturbaciones inesperadas, como el viento y/o turbulencias, entre otras. Para ello es importante incorporar a su hardware principalmente un microprocesador, un sistema de posicionamiento global (GPS), acelerómetro, una unidad de medición inercial (IMU), y un sistema de visión como componentes principales.

Para fines de este trabajo se estudiará el comportamiento de la configuración cuadrirotor, mejor conocida como Cuadricóptero. Esta nave motorizada es clasificada como una aeronave de despegue y aterrizaje vertical (VTOL) de cuatro rotores alineados de manera simétrica alrededor de su centro de gravedad. Este diseño lo hace capaz de realizar vuelos hacia adelante, atrás, y como se mencionó anteriormente, de despegar y aterrizar de manera vertical. Sus características y principios de funcionamiento se describirán más adelante.

Aunque en el campo de estudio de los cuadricópteros ya se han elaborado bastantes aplicaciones, es un gran reto lograr que este tipo de aeronaves realicen vuelos totalmente autónomos para el desempeño de diversas tareas que se puedan suscitar. Además de un conjunto de sensores integrados en la estructura de la aeronave, es necesario implementar algoritmos de control. Para diseñar el sistema de control, es necesario tener un completo entendimiento sobre la dinámica de vuelo del Cuadricóptero.

2.1 Cuadricóptero

Este tipo de vehículos utilizan un sistema de control electrónico, así como sensores que permiten estabilizar la aeronave. Al poseer un tamaño pequeño y una gran maniobrabilidad, estos cuadricópteros pueden volar tanto en interiores como exteriores. La razón por la que estos vehículos son tan atractivos es porque tienen características únicas, tales como una mayor capacidad de carga en comparación con helicópteros convencionales de escala pequeña. Otra característica importante es la simplicidad de su control, ya que sólo se depende del ajuste de velocidad de cada uno de sus rotores para lograr controlar la altura y velocidad lineal.

Las ventajas que presenta un Cuadricóptero en comparación a otras configuraciones, se pueden resumir en la siguiente lista:

• Simplificación mecánica de los rotores (Menor mantenimiento)
• Efectos giroscópicos reducidos
• Simplicidad en su sistema de control
• Mejor estabilidad
• Altamente maniobrables

Algunas desventajas del Cuadricóptero ante otras configuraciones son:

• Incremento de peso del vehículo
• Alto consumo de energía
• Acoplamiento entre la dinámica de motor y la controlabilidad

2.1.1 Principios de operación de un Cuadricóptero

En la configuración de esta aeronave se tienen cuatro rotores alineados en forma de cruz. Los rotores delantero (R1) y trasero (R3) giran en sentido anti horario, mientras que los rotores laterales (R2 y R4) giran en sentido contrario a los otros dos para balancear el torque total del sistema, tal como se muestra en la figura 1. Cabe mencionar que cada rotor tiene solamente un grado de libertad (GL) alrededor de su eje rotacional.

Un cuadricóptero es un sistema que posee seis grados de libertad (x, y, z, , , ), multivariable, fuertemente acoplado y subactuado. El comportamiento de un vehículo es su orientación con respecto a un marco de referencia. A fin de establecer un ángulo de yaw, pitch y roll deseado, es necesario un control de comportamiento el cual implica el control sobre la orientación de un objeto con respecto a un sistema inercial.

• Control de altitud: Se logra manipulando las fuerzas de empuje de los rotores, así como balanceando el torque entre ellos. Para suspenderlo en el aire, todos los rotores aplican una fuerza constante como se muestra en la figura 2(a). Para controlar el movimiento vertical, la velocidad de los motores se incrementa o decrementa simultáneamente. De este modo se obtiene una mayor o menor fuerza de empuje, pero sin afectar el balance.

• Control yaw (): El movimiento yaw permite al cuadricóptero girar sobre su eje vertical (z). Su control se logra manipulando el balance del torque (aumentando la velocidad en un par de rotores con el mismo sentido de giro y disminuyéndola en igual magnitud en el otro par). La fuerza total de empuje permanece balanceada por lo que la altitud se conserva, como se puede ver en la figura 2(b).

• Control pitch (): Este tipo de movimiento consiste en permitir al cuadricóptero desplazarse hacia adelante o hacia atrás (giro sobre el eje x del sistema de referencia), puede ser manipulado aplicando empuje diferencial en rotores opuestos, como se ilustra en la figura 2(c).

• Control roll (): Describe el movimiento angular sobre el eje y, que permite al cuadricóptero realizar movimientos hacia la izquierda o a la derecha tal como se observa en la figura 2(d), (Solanki, 2013).

2.2 Perturbaciones

Una perturbación puede definirse, según (Ogata, 1998), como una señal que tiende a afectar de manera negativa el valor de la salida de un sistema. Si la perturbación es generada dentro del sistema se denomina interna, en tanto que una perturbación externa será aquella que se produzca fuera del sistema y se considerará como entrada.

Las perturbaciones tienden a agregar inestabilidad a los procesos que se desean controlar, es por ello que el control a diseñar debe ser lo suficientemente robusto como para lograr que el proceso sea controlado a pesar de las perturbaciones.

Para cuestiones específicas, las perturbaciones que se pueden observar en el uso de cuadricópteros son principalmente el viento y su velocidad, ya que son variables que no son posibles de controlar y que interactúan de manera directa y permanente en todo vuelo realizado por el cuadricóptero.

2.3 Trabajos relacionados

Dentro de la literatura, distintas técnicas de modelos dinámicos y de control no lineal han sido propuestas para los cuadricópteros. (Mistler, Benallegue, & M'Sirdi, 2001) presenta un modelo dinámico no lineal basado en las leyes de Newton sobre el centro de masa de la aeronave. En él se desarrolló una linealización para poder aplicar un control con retroalimentación dinámica desacoplada. Por medio de simulación se estudió la ley de control propuesta para observar la estabilidad y robustez en presencia del viento, turbulencias y parámetros no definidos.

Tomando como punto de partida el modelo dinámico del cuadricóptero mediante Lagrange, (Castillo, Lozano, & Dzul, 2004) propone un control basado en el análisis de Lyapunov para realizar despegues, vuelo estacionario y aterrizaje de manera autónoma, en donde obtuvieron resultados satisfactorios de manera experimental.

Algunos efectos aerodinámicos a los que los cuadricópteros están sujetos son presentados por (Huang, Hoffman, Waslander, & Tomlin, 2009), tales como el aleteo de las hélices y la variación del empuje en los vuelos de traslación. En su trabajo se muestra que dichos efectos generan algunas perturbaciones, como desequilibrio u oscilaciones, las cuales pueden ser exitosamente evitadas mediante el uso de los controladores apropiados.  Para ello utilizaron un controlador PID, el cual se encarga de controlar la actitud (estabilización y orientación) y altitud del cuadricóptero.

El concepto de control lineal-cuadrático gaussiano (LQG) es mostrado por (van der Berg, Wilkie, Guy, Niethammer, & Manocha, 2012), donde presentan un nuevo concepto en el que se combina el uso de un control lineal-cuadrático (LQR) retroalimentado con la evasión de colisión. En su trabajo presentan resultados en los que por medio del controlador propuesto logran recorrer una trayectoria con obstáculos. Sin embargo, el modelo presenta algunas desventajas que pueden ser tomadas en cuenta para mejorar sus resultados. Entre ellas se encuentran que se necesita conocer previamente la geometría de los obstáculos, además de que debe ser simple (circulares, esféricos), otra desventaja que muestra es que el control sólo funciona en sistemas no lineales si la dinámica linealizada del cuadricóptero es controlable. Por lo que esta técnica no resulta la más óptima, ni la única para lograr evadir obstáculos, sin embargo, aporta información relevante para determinar los puntos débiles en este tipo de trabajos.

En aeronáutica, la actitud de un cuerpo rígido, con respecto a un sistema de referencia, se puede describir a través de los ángulos de Euler. De acuerdo con (Reyes-Valeria, Enriquez-Caldera, Camacho-Lara, & Guichard, 2013), se pueden sustituir los ángulos de Euler por quaterniones para controlar la actitud del cuadricóptero. Para elaborar el modelo dinámico emplearon el método de Newton-Euler, al cual posteriormente linealizaron en espacio de estados y le aplicaron un controlador LQR con ganancias programadas. De esta manera se logra aumentar la precisión en la respuesta para el seguimiento de trayectorias, reduciendo el sobre-impulso que pudiera existir a la salida.

Revisando las respuestas otorgadas por controladores PID y LQR en la actitud de cuadricópteros, en ambos se obtienen resultados satisfactorios. Cada uno ofrece características particulares, por lo que es difícil determinar cuál controlador es mejor. Si se hace una combinación de ambos controladores, es decir, un PID sintonizado mediante retroalimentación LQR, se presenta un desempeño menor (mayor tiempo de respuesta) comparado con los otros dos. Sin embargo, este pequeño retraso no implica que el sistema funcione de manera correcta, al contrario, es una excelente opción robusta, versátil y fácil de implementar (Argentim, Rezende, Santos, & Aguiar, 2013).

Un controlador que utiliza una estructura mixta de un controlador proporcional-derivativo (PD) adaptativo, es propuesto por (Ballesteros, Luviano, & Chairez, 2014) para solucionar el problema de seguimiento de trayectorias, además del uso de un algoritmo de super-twisting (STA) como un observador/diferenciador robusto (RED) el cual recupera la información de la velocidad de la aeronave, dando un mejor desempeño para controladores aplicados en sistemas de segundo orden cuando la única información disponible es la señal de salida. Esta condición fue comprobada mediante una clase especial de función de Lyapunov que se adecuó para producir las ganancias adaptativas del controlador PD así como la convergencia del STA utilizado como RED, lo cual garantiza la solución de regulación para el seguimiento de trayectoria del cuadricóptero.

(Hernandez, Murcia, Copot, & De Keyser, 2014) propone el diseño e implementación de un Control de Autoadaptación Predictivo Extendido (EPSAC) para obtener un mejor desempeño en respuesta (mayor velocidad) sin sobre-impulso, lo cual es indispensable para obtener un recorrido deseado de mayor precisión. En su trabajo se muestran comparaciones entre la técnica propuesta y controladores PD, en donde su propuesta resulta más efectiva al obtener una mejor respuesta tanto en tiempo, como en precisión disminuyendo los sobre-impulsos. Esta técnica es recomendada para aplicaciones en interiores o lugares confinados.
           
A partir del modelo dinámico del cuadricóptero, (Santiaguillo-Salinas & Aranda-Bricaire, 2014) dicen que mediante una estrategia de control lineal se puede controlar los ángulos de roll y pitch, siendo una desventaja. El error observado en su trabajo puede considerarse aceptable ya que se debe a efectos no lineales que se presentan al desbalanceo y deformaciones en las hélices, ejes y engranes de la aeronave.

En (Benitez-Morales, Rodríguez-Cortés, & Castro-Linares, 2014) se utiliza la técnica de seguimiento de ruta, en el cual es posible estabilizar asintóticamente a la dinámica interna del sistema. Esto se logra a través de parametrizar la trayectoria deseada con dos escalares independientes; estos escalares son considerados como nuevos estados del sistema y su derivada de mayor orden es considera una nueva entrada de control en la dinámica interna.

3 JUSTIFICACIÓN

El principal problema de los modelos comerciales de cuadricópteros es que poseen una arquitectura cerrada, por lo cual no presentan la flexibilidad necesaria para su uso en la investigación. Existen muy pocos modelos analizados que pueden brindar arquitectura abierta y lamentablemente al no encontrarse aún en una etapa de uso masivo, al seguir trabajando para alcanzar una autonomía total por parte de los cuadricópteros se podrán encontrar mayores y novedosas aplicaciones para este tipo de vehículos, dejando atrás las aplicaciones convencionales como fotografías y celaje aéreos. 

Es por eso que el principal porqué de este trabajo es diseñar un algoritmo a partir de una ley de control para 6 GL’s de un cuadricóptero considerando un modelo matemático que describa de manera exacta todos sus movimientos funcionales. Es así, que por medio de este algoritmo se lograrán optimizar las trayectorias y se evadirá al personal que se interponga en la ruta del cuadricóptero, obteniendo como resultado la reducción de tiempo y energía utilizada.

4 OBJETIVOS

4.1 Objetivo general

• Diseñar un algoritmo para la optimización de trayectorias aplicado en un cuadricóptero modelado.

4.2 Objetivos particulares

• Seleccionar un modelo dinámico de un cuadricóptero.
• Seleccionar un sistema de control que determine la orientación y posición de un cuadricóptero de manera autónoma para la optimización de la trayectoria.
• Desarrollar un ambiente de simulación en el entorno Matlab/Simulink 3D Animation para comprobar que el cuadricóptero pueda recorrer una ruta específica.
• Lograr que el cuadricóptero pueda evadir personas que se interpongan en la trayectoria establecida a través de la manipulación de los sistemas de control seleccionados.

5 PREGUNTAS DE INVESTIGACIÓN

• ¿Es posible mejorar la velocidad de respuesta de un cuadricóptero aportando una mejora en algún controlador?
• ¿Qué controladores pueden ser útiles para lograr optimizar una trayectoria de un cuadricóptero?
• ¿Es factible encontrar un equilibrio entre mayor velocidad de vuelo y menor consumo de energía?

6 HIPÓTESIS DE LA INVESTIGACIÓN
Mediante el uso de un controlador PID-LQR mejorado es posible optimizar el recorrido de un cuadricóptero reduciendo el tiempo de vuelo y a su vez equilibrando el consumo de energía.

7 FUNDAMENTACIÓN TEÓRICA

7.1 Modelo Dinámico de un Cuadricóptero

Para obtener el modelo matemático del cuadricóptero se toman en cuenta las siguientes consideraciones:

• Es un cuerpo sólido den tres dimensiones, sujeto a una fuerza principal  y tres momentos ,,.
• Su centro de masa  se localiza en el centro del vehículo en un sistema de referencia.
• Debido al sentido de giro de sus hélices, los efectos giroscópicos y momentos aerodinámicos tienden a cancelarse.
• Como se mencionó anteriormente, los grados de libertad o coordenadas generales del modelo del cuadricóptero están dadas por:

                                  
Donde denota la posición del centro de masa del cuadricóptero con respecto a Tierra y  son los ángulos de Euler e indican la orientación del cuadricóptero de acuerdo al sistema. Las velocidades lineales de la aeronave están dadas por, y que representan las velocidades angulares.

Tal como lo expresa (Luque Vega, 2010), teniendo un sistema de ejes en Tierra, el cuadricóptero al girar sobre el ángulo yaw alineará el cuerpo sobre un eje intermedio, del cual su matriz de rotación resulta:

En el eje intermedio se rota con respecto al ángulo pitch () a algún otro eje intermedio, por lo que se obtiene:

Por último el segundo eje intermedio rota sobre el ángulo roll () hacia el eje del cuerpo, teniendo:

Resumiendo, al llevar a cabo el producto  se obtiene la matriz de rotación desde el centro de masa del cuadricóptero hacia el cuerpo inercial respecto a Tierra:

La matriz rotacional  al ser ortogonal, se tiene que, por lo que se deduce la matriz de rotación desde Tierra hacia el centro de masa del cuadricóptero.

Para obtener el modelo se utiliza el método de Euler-Lagrange, que permite relacionar la energía cinética de un cuerpo con su energía potencial. Por tanto, la energía cinética de traslación del cuadricóptero viene dada por:

Donde se tiene que es la masa del cuadricóptero y  es la velocidad lineal de cada uno de los ejes.

La energía rotacional está dada por:

7.2 Sistemas de Control

7.2.1 Controlador PID

La ley de control PID consiste en aplicar correctamente la suma de tres tipos de acciones de control: una acción proporcional, una acción integral y una acción derivativa, que serán explicadas a continuación.
P: acción de control proporcional, da una salida del controlador que es proporcional al error, es decir:

Donde  es una ganancia proporcional ajustable.
I: acción de control integral: da una salida del controlador que es proporcional al error acumulado, lo que implica que es un modo de controlar lento.
Mientras la acción proporcional está basada en el valor actual del error de control y la acción integral está basada los valores pasados del error de control, la acción derivativa se basa en la predicción de los valores futuros del error de control. La ley derivativa de control puede expresarse como:

PID: acción de control proporcional-integral-derivativa, esta acción combinada reúne las ventajas de cada una de las tres acciones de control individuales (Hernández Gaviño, 2010). La ecuación de un controlador con esta acción combinada se obtiene mediante:

Y su función de transferencia resulta:

7.2.2 Controlador LQR

El método de control LQR (Regulador Cuadrático Lineal), es la solución óptima a un problema de minimización con lo cual asegura la estabilidad del sistema en lazo cerrado, además su cómputo es fácil. Esto significa que la configuración de un (regulación) controlador de gobierno sea una máquina o proceso (en este caso el cuadricóptero) se encuentran utilizando un algoritmo matemático que minimiza una función de coste con factores de ponderación suministrados por un humano. La función a menudo se define como la suma de las diferencias de las mediciones clave de sus valores deseados. En efecto este algoritmo encuentra esos parámetros del controlador que minimicen las desviaciones no deseadas, como las desviaciones de altitud deseada o la temperatura del proceso.

A menudo, la magnitud de la acción de control en sí está incluido en esta suma con el fin de mantener la energía gastada por la acción de control en sí limitado.

Considerando un sistema lineal en el tiempo en espacio de estados

y el criterio de desempeño

Entonces el control óptimo que minimiza  está dado por la ley lineal de realimentación de estado,      , donde.

Donde P es la única solución definida positiva de la matriz Ecuación Algebraica de Riccati (EAR)

8 MATERIALES Y MÉTODOS

Para el desarrollo de este trabajo, los materiales y/o equipo principal a utilizar es una computadora en la cual se tenga instalado el software de Matlab y el toolbox Simulink 3D Animation.

De la literatura revisada se hace evidente que el vehículo aéreo a estudiar se trata de un sistema no lineal, inestable y complejo, dada su naturaleza e interacción con el entorno, por lo que se pretende obtener un modelo linealizado en un punto de equilibrio inestable pero estabilizable modificando las entradas del sistema (velocidades de los motores).

La metodología que se pretende llevar a cabo es la siguiente:

• Elaborar un cuadro comparativo en el que se muestren las características de los distintos controladores encontrados en el estado del arte.
• Elegir el controlador que posea un mejor seguimiento de trayectoria y de ser posible, que además posea algunas características extra que lo hagan más robusto (velocidad de respuesta, mejor estabilidad, etc.).
• Implementar el controlador seleccionado en la simulación.
• Elaborar una nueva tabla comparativa para verificar los resultados obtenidos con los ya existentes y determinar la funcionalidad del nuevo controlador.

9 RESULTADOS

En seguida se muestra en la tabla 1 una comparativa entre los distintos trabajos relacionados al tema de investigación, en ella se pueden observar diversas características y ventajas que poseen algunas técnicas con respecto a otras.

La solución que se propone para reunir la mayoría de ventajas es que a partir de un controlador PID-LQR, que es el que posee mejores cualidades, se comiencen a realizar diferentes pruebas manipulando sus ganancias kpw, kiw y kdw mediante métodos numéricos. Debido a que las características físicas del cuadricóptero pueden influir en gran medida para la controlabilidad del mismo, se pretende realizar una comparativa extra sobre las diferencias físicas entre los cuadricópteros utilizados por diversos autores y el propuesto para este trabajo. En la figura 3.1, presentada a continuación, se muestra un diagrama a bloques en el que se puede representar la solución propuesta.

Quizá como una posible mejora para la sintonización del PID, además del control LQR se es posible agregar algún algoritmo evolutivo que permita reducir cada vez más el error que pudiese existir a la salida, dando una ventaja extra al desempeño del cuadricóptero.

En la figura 4 se muestra el entorno de simulación a utilizar para comprobar el funcionamiento del controlador mediante Simulink 3D Animation de Matlab.

10 TRABAJOS FUTUROS

En este trabajo se analizaron distintas técnicas de control que brindan al cuadricóptero una buena actitud (estabilidad y orientación), así como una mejora en el seguimiento de trayectorias. Se pudo observar que en muchas ocasiones es posible obtener grandes ventajas, tales como una mejor precisión, pero a costa de aumentar el tiempo de respuesta. Es por eso que con el desarrollo de este trabajo se ha logrado encontrar un punto de equilibrio en el que se alcanzó una buena velocidad de respuesta, y a su vez, un seguimiento de trayectoria altamente efectivo.

Es importante tomar en cuenta que los resultados obtenidos pertenecerán sólo a una simulación, por lo que queda una gran labor para el trabajo a futuro, que sería llevar a la práctica el controlador diseñado y así tener un mejor sustento en el funcionamiento del mismo. Aunque los algoritmos de control presentados son aparentemente simples, el buen desempeño obtenido permite quedar a la espera de mejores comportamientos al utilizar esquemas de control más sofisticados.

Como trabajos futuros se pretende llevar a la práctica el uso del controlador propuesto, para de esta manera poder implementar el uso de un cuadricóptero en instituciones de educación para enviar documentos entre departamentos, evitando así que el personal de la institución pierda tiempo en trasladarse a otros edificios, aprovechando ese tiempo para continuar con el resto de sus labores de oficina y/o académicas.

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