NÚMEROS COMPLEXOS: HISTÓRIA, TEORIA E PRÁTICA

NÚMEROS COMPLEXOS: HISTÓRIA, TEORIA E PRÁTICA

Marcelo Santos Chaves (CV)
Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia do Pará

Volver al índice

2.15 RAÍZES ENÉSIMAS DE NÚMEROS COMPLEXOS (RADICIAÇÃO)

Dado um numero complexo Z e um numero natural n, n > 1, definimos em C:
A raiz enésima de Z é um numero complexo ω tal que ωn = Z.”
Exemplo:
1º) 2, -2, 2i e -2i são as raízes quartas do numero complexo 16.
2, pois 24 = 16
-2, pois (-2)4 = 16
2i, pois (2i)4 = 16
-2i, pois (-2i)4 = 16
Existe, portanto, em C, quatro raízes quartas de 16.
2º) i e –i são as raízes quadradas do numero complexo -1.
i, pois i² = -1
-i, pois (-i)² = -1
Existe, portanto, em C, duas raízes quadradas de -1.
3º) 3 e -3 são raízes quadradas do números complexo 9.
3, pois 3² = 9
-3, pois (-3)² = 9
Existe, portanto, em C, duas raízes quadradas de 9.
4º) 1, -1, i e –i são raízes quartas do numero complexo 1.
1, pois 14 = 1
-1, pois (-1)4 = 1
i, pois i4 = 1
-i, pois (-i)4 = 1
Existe, portanto, em C, quatro raízes quadradas de 1.
5º) A única raiz quinta de 0 é 0, pois 0 é o único numero complexo tal que       05 = 0.
Nestes termos, quantas são as raízes enésimas de um numero complexo Z ≠ 0 e como podemos determina-las? Observe:
Consideremos o numero complexo Z ≠ 0 tal que . Encontrar as raízes enésimas de Z significa determinar todos os números complexos distintos do tipo:

De modo que , para n > 1, ou seja, procurar números ω tal que:

Aplicando a 1º Regra de De Moivre, temos:

Fazendo a igualdade:

Vem , e
De , temos  (sempre real positivo).
De e , temos:
 (com kϵ Z)
Mas, para que , é necessário que .
Assim, concluímos que:

Após k = n – 1, os valores começam a se repetir. Então, de 0 a n – 1, temos n raízes distintas.
Observemos que essa formula também pode ser escrita dessa forma:

Assim, qualquer numero complexo Z, não-nulo, admite n raízes enésimas distintas. Todas elas têm módulo igual a  e seus argumentos formam uma progressão aritmética de primeiro termo  e razão .
Geometricamente, as n raízes são vértices de um polígono regular de n lados. Logo, sabendo uma delas e sabendo quantas são no total, é possível obter as n – 1 raízes desconhecidas.
Exemplo:
Determine as raízes cúbicas de –i e interprete as mesmas geometricamente.
Resolução:
Escrevendo Z na forma trigonométrica, temos:

Portanto:

Usando a 2º Regra de De Moivre, vem:
 (real positivo)
Como n = 3, então k poderá ser 0, 1 ou 2. Assim temos:
- Para k = 0

- Para k = 1

- Para k = 2

Note que  é uma PA de razão .
Dessa forma, as raízes cúbicas de –i são:

Interpretando geometricamente, as três raízes cúbicas estão sobre uma circunferência de raio e dividem a circunferência em três arcos congruentes de , formando um triangulo equilátero de vértices P0, P1 e P2. Se calculássemos , encontraríamos  e P3 coincidiria com P0. E assim por diante: , etc.