EL SECTOR PRIMARI A LES TERRES DE L'EBRE

4.11. Resolució gràfica d'un problema simplificat

Un pagès cerealista de la Terra Alta posseeix 10 Hes. de terreny de regadiu i disposa de 1.000 jornals horaris anuals. Aquest agricultor pot implantar dos tipus de cultiu diferents (d’estiu o d’hivern), el primer amb un rendiment de producte de 10.000 Kg./Ha. (blat de moro, panís, moresc) i amb una necessitat de mà d’obra de 200 jornals per any i Ha. El segon tipus de cultiu planteja una necessitat de mà d’obra de només 50 jornals per Ha. i any, i el seu rendiment és de 4.000 Kg. per hectàrea (ordi cerveser). Els preus respectius esperables a percebre pel pagès dels productes agrícoles esmentats són respectivament: p1 = 0’21 €/Kg. i p2 = 0’18 €/Kg., amb el gra net i comercial, amb una humitat del 14%.

Es demana establir el plantejament econòmic de l’explotació agrícola que faria el pagès. S’ha d’utilitzar l’anàlisi de la programació lineal, indicant també el “problema dual” de l’exercici.

SOLUCIÓ:

a) Problema PRIMAL.

Els ingressos de l’agricultor són: I = 10.000 t1 · p1 + 4.000 t2 · p2, que ha d’intentar fer màxims, amb les restriccions inequacionals següents:
 
t1 + t2 £ 10
                                                           " t1, t2 ³ 0.
200 t1 + 50 t2 £ 1.000

Aplicant preus i simplificant, el problema quedarà reduït a:

p1 = 0’21 €/Kg.;  p2 = 0’18 €/Kg.; [MAX] I = 2.100 t1 + 720 t2 = =  , amb les equacions condicionants o restriccions:

          t1 + t2 £ 10
          200 t1 + 50 t2 £ 1.000 ® 4 t1 + t2 £ 20   

que expressat en forma matricial és:

La funció econòmica o objectiu a optimitzar (maximitzar) quedarà determinada pels dos punts de la recta:

2.100 t1 + 720 t2 = 0 ;  17’5 t1 + 6 t2 = 0

                    (0, 0)  ;           (1, -2’92)

que es desplaçarà paral·lelament a si mateixa.

El màxim cercat, que serà necessàriament un punt extrem del polígon convex, estarà en el punt de tall de les rectes (com es pot veure gràficament):

        t1 + t2 = 10
        4 t1 + t2 = 20

3 t1 = 10 Þ  t1 = 10/3 Ha. ; t2 = 30/3 -10/3 = 20/3 Ha.

L’ingrés màxim seria, doncs:

I = 2.100 ´ 10/3 + 720 ´ 20/3 = 11.800 €, tot utilitzant una mà d’obra de:

200 ´ 10/3 + 50 ´ 20/3 = 1.000 jornals horaris anuals.

La resolució gràfica o geomètrica d’aquest problema pot veure’s a la figura adjunta.

FIG. 7.4. Resolució gràfica del programa lineal en 2D.

b) Problema DUAL.

Comencem, a l’igual que allò que fan els matemàtics, observant que existeix el que en principi sembla ser un problema purament artificial que correspon a cada problema de programació lineal, i que es coneix pel seu dual. Alternativament, l’existència del dual converteix el problema originari en el problema primal.

Està clar que resulta extremadament senzill, un cop s’ha adquirit certa pràctica en aquesta matèria, escriure el dual d’un problema de programació lineal qualsevol.

Si reflexionem una mica, veurem de seguida que allò que en cada cas es considera com el “primal”, i el que es considera com el “dual”, esdevé completament arbitrari. Dels dos problemes, si un és considerat el “primal”, perquè l’haguem trobat en primer lloc, l’altre serà sempre el “dual”. I el trobar primer a un o a l’altre és simplement qüestió de casualitat.

Els programes lineals que es transcriuen a continuació :

 (I)

i l’altre:

 (II)

se’n diu que són “duals”, un respecte de l’altre, i posseeixen les següents propietats:

• max g = min f.

• Anomenem els costos marginals zj – cj ³ 0, dels programes en el seu valor òptim, com segueix:

    gk – ck per al programa I
- (fk – bk) per al programa II

Numerem ara d’1 a n, les variables efectives del programa I, o sigui: x1, x2, ..., xn, i de n+1 a n+m, les variables de folgança, o sigui: xn+1, xn+2, ..., xn+m; però en allò que concerneix al programa II, numerem les variables efectives de n+1 a n+m, o sigui: yn+1, yn+2, ..., yn+m, i les variables de folgança d’1 a n, o sigui: y1, y2, ..., yn. Aquesta numeració no té altre objectiu que el de facilitar les explicacions escaients.

Els costos marginals del programa I donen llavors la solució del II, i els costos marginals del II donen la solució del programa I.

Així, doncs, s’acompleix que:
                    gk – ck = yk ,   yk ³  0, " k = n + 1, n + 2, ..., n + m.
                    bk – fk = xk ,   xk ³  0, " k = 1, 2, ..., n.

El “problema dual”, consistiria, en el nostre cas, en calcular el salari w dels treballadors, i la renda de la terra r, que hauria d’imputar el pagès als seus factors de producció i que fan mínims els costos:

[MIN] C = 1.000·w + 10·r =

 amb les restriccions següents,

        200 w + r ³ 10.000·p1
        50 w + r ³ 4.000·p2         , " w, r ³ 0, o el que és el mateix:

        200 w + r ³ 2.100
        50 w + r ³ 720           , o bé expressant-lo en forma matricial:

.

Delimitació gràfica del polígon (conjunt) convex:

        200 w + r = 2.100 ;           w = 10’5 ;  r = 0     ;  (10’5, 0)
                                                 w = 10 ;     r = 100 ;  (10, 100)

        50 w + r = 720 ;                w = 14 ;     r = 20   ;  (14, 20)
                                                 w = 13’5 ;  r = 45   ;  (13’5, 45)

La funció objectiu, com sempre, es desplaçarà paral·lelament a la recta d’equació:

C = 1.000 w + 10 r = 0, o també:
100 w + r = 0.

Vegem que es troba l’òptim (mínim, en aquest cas) al punt extrem o vèrtex del polígon convex de coordenades cartesianes rectangulars:

        150 w = 1.380, d’on:
                                                 r = 720 – 50 ´ 9’2 = 260 €/Ha.
        w = 9’2 €/jornal horari
       
Amb això, la funció objectiu de cost mínim assolirà el valor:

C = 1.000 ´ 9’2 + 10 ´ 260 = 9.200 + 2.600 = 11.800 €,  c.e.v.d.,
que coincideix exactament amb el problema PRIMAL abans resolt, amb la qual cosa s’acompleix el teorema de la dualitat anteriorment enunciat.