EL SECTOR PRIMARI A LES TERRES DE L'EBRE

1.2. Caracterització dels valors centrals

Pel que es refereix a la caracterització del valor central, veurem que G. Udny Yule, estadístic anglès, en la seva Introducció a la Teoria de l'Estadística, ha precisat les condicions que ha de complir una bona caracterització del valor central d'una sèrie1 . En resum, són les següents:

  a) La característica del valor central ha d'ésser definida objectivament a partir de les dades de la sèrie, sense que hagi lloc a intervenir cap apreciació subjectiva de l'estadístic.

  b) Ha de dependre de totes les observacions de la sèrie, a ser possible. Assenyalem que, nogensmenys, hi ha vegades que es planteja el problema de decidir si s'ha de tenir en compte una observació que és notòriament diferent de totes les altres del seu conjunt (outlier), o bé si pot ésser rebutjada per considerar que tal observació té caràcter excepcional, degut a algun factor fortuït o estrany a la sèrie com, per exemple, una errada d'observació.

  c) Ha de tenir, en la major mesura possible, una significació concreta, senzilla i fàcil de comprendre. Si es té en compte que molts dels valors centrals de les sèries han de ser utilitzats per persones generalment poc familiaritzades amb la ciència Estadística, es comprèn la preferència que en la realitat s'ha donat a la mitjana aritmètica com a característica del valor central, que gaudeix aquesta propietat d'una interpretació senzilla.

  d) Ha de ser de càlcul fàcil i ràpid.
 
e) Ha de ser poc sensible a les fluctuacions del mostreig. Freqüentment les observacions s'efectuen, no precisament sobre el conjunt complet d'elements a estudiar o univers, sinó només sobre una part d'aquests que reben el nom de mostra. Les observacions fetes sobre els elements components de la mostra constitueixen la sèrie estadística de la qual es determina el valor central. És evident que, "a priori" no pot assegurar-se que el valor central corresponent a la mostra adoptada coincideixi exactament amb el valor central que s'obtindria si es fes una sèrie estadística que abastés tot el conjunt complet o població d'elements a estudiar, ni que coincideixin, si més no, amb els corresponents a diferents mostres que s'escollissin a l'atzar. Ara bé, tenint en compte que en la pràctica es procedeix gairebé sempre per tècniques de mostreig probabilístic, convé que la característica escollida del valor central sigui de tal naturalesa que aquest valor central sigui sensiblement el mateix per a les diferents mostres 2.

f) Ha de ser adequada als càlculs algebraics posteriors. Es comprèn fàcilment la importància de tal condició si tan sols pensem en el cas molt freqüent de tractar de determinar el valor central que correspon a una sèrie global, resultat d'aplegar vàries sèries estadístiques parcials (Franquet, 1991).

D'entre les quatre mitjanes expressades (, C, G i H) es veu immediatament que l'aritmètica és la que millor reuneix les anteriors condicions de Yule si bé, talment com les altres tres, no proporciona cap indicació quant a la repartició de les dades de les sèries o bé de les seves posicions respectives ni sobre les desviacions d'unes respecte a les altres. Es limiten, doncs, a condensar totes les dades de la sèrie en una sola, la mitjana, com a síntesi global de totes elles.
                                                                
En particular, les mitjanes aritmètiques () i quadràtica (C) donen molt relleu als elements grans de la sèrie i, segur que la segona encara més que no pas la primera. Al contrari, les mitjanes geomètrica i harmònica destaquen la influència dels valors petits i redueixen la influència dels valors grans, el qual fet s'haurà de tenir ben present en els estudis d'Anàlisi Territorial aplicats a matèries agràries, com és el cas del que aquí ens ocupa.

De fet, la relació matemàtica existent entre les mitjanes aritmètica, geomètrica, quadràtica i harmònica, per a una mateixa distribució de freqüències amb tots les seves dades positives, ha de complir la monotonia ascendent:
H £ G £  £ C
En efecte. Considerem ara el cas més senzill d’una distribució amb dos valors de la variable amb freqüències unitàries i que amb aquests valors poden calcular-se els quatre promedis abans esmentats:

Anem a demostrar, en primer lloc, que H £ G, o sigui:

Elevant al quadrat els membres de l’anterior desigualtat i operant, s’obté:

Amb això queda demostrat que H £ G. D’altra banda G £ , ja que:

Amb això es tindrà que:
0 £ (x1 – x2)2
Per tant, queda demostrat que H £ G £ . Per últim, tenint en compte la relació que lliga la mitjana quadràtica amb l’aritmètica i la variància, això és: C2 = 2 + s2 , es dedueix també que: £ C, com es volia demostrar.
Aquesta demostració endemés pot generalitzar-se per a qualsevol número de valors de la variable territorial en estudi. En qualsevol cas, la demostració de l’última desigualtat també pot realitzar-se analíticament a partir de la definició d’ambdues mitjanes, això és:


S’ha d’observar que aquesta diferència de fraccions ha de ser necessàriament positiva o nul·la. En efecte, es tracta de comparar les expressions:
             , o més concretament els seus numeradors, o sigui:
            . Com es té que el quadrat d’una diferència ofereix:

amb la qual cosa també s’acompleix que: , i a més: £ C, c.e.v.d.

Recordem, per últim, que totes les mitjanes han de calcular-se a partir de dades homogènies i nombroses, condicions ambdues inherents a qualsevulla bona estadística en matèries territorials agràries 3.