MEMORIA DEL XXI COLOQUIO MEXICANO DE ECONOM�A MATEM�TICA Y ECONOMETR�A. TOMO II

El Problema de incorporar la matemática al análisis económico

M. en C. Raymundo Flores Chávez

Resumen. Este trabajo se introduce, explicando el propósito de reflexionar sobre el pro- blema metodológico existente en la zona de interacción entre la economía y la matemáti- ca y de su necesaria relación, con el método general de la actividad científica. Así tam- bién, una observación: sobre la necesidad de clarificar en teoría y práctica, el estatuto de ciencia en el quehacer didáctico y de investigación de la economía. En la Sección (1), se examinan algunas notas y citas de libros, como aparente rodeo, para llegar a establecer la conjetura de que: La incorporación de la matemática a una ciencia, depende de que ésta se haya constituido, en el sentido del estatuto de ciencia. Continúa el examen del conteni- do de notas y citas, cuya reflexión, conduce a la recuperación del método general de la actividad científica. Luego, retomamos productos teóricos sobre los conceptos de Ciencia matemática y de metodología matemática, que en un marco teórico, son compatibles al método general. Finalmente, el análisis de los argumentos de conjunto y los productos parciales, permiten proponer un esquema de orientación a efecto de abordar el problema de incorporar la matemática al análisis económico.

Introducción. En este trabajo, se hace una reflexión sobre el problema que surge al incorporar tanto el contenido como los métodos matemáticos al análisis econó- mico. Nos referimos aquí, no tanto a los problemas de manejo técnico, sino sobre todo, al problema general del método y a la orientación metodológica específica que de manera compatible, operaría en la frontera de estas dos disciplinas científi- cas. Tal reflexión en su primera versión, fue escrita al intentar el diseño sobre un Seminario en economía ῀ matemática. Pues tal diseño exigiría en principio, la justi- ficación de un concepto metodológico que ha de surgir o aplicarse en dicha fronte- ra y que a su vez, debe orientar la interacción de los contenidos y métodos de am- bas disciplinas. En el plano didáctico y desde la disciplina emergente de matemáti- ca educativa, esta reflexión buscaría, en este caso, que desde el contenido y mé-  todos matemáticos escolares, además de un concepto de metodología matemáti-ca, se perfilaran en cómo afectar constructivamente al contenido y métodos de la economía. Pero, dentro de un marco teórico ampliado, se tendría que considerar esta afectación constructiva, también en un plano de investigación. Y en este últi- mo, opera lo que suele llamarse: la matemática aplicada y la matemática teórica, que constituyen tan sólo dos momentos dentro de un mismo proceso de interac- ción de la ciencia matemática con otra disciplina científica; y ello, a partir del (los) problema(s) que plantea la disciplina en cuestión, dentro de un contexto práctico y concreto, o también, sobre un objeto teórico que deriva del problema práctico.
Dicho de este modo, el problema no parece nada sencillo. Así, mientras pode- mos afirmar que se cuenta con un concepto y la respectiva definición de ciencia matemática, su objeto de estudio, sus métodos y criterio de validez; para mí resul- ta complicado entender y manejar lo análogo para el caso de la economía. Pues bien, para tener una ilustración de lo que estamos diciendo, consideremos el mis- mo epígrafe a partir del cual, inicia su documento el profesor ῀ investigador Sergio Martín Moreno, (1985). Y en donde, dice textualmente:
«En 1969 fue establecido el premio Nobel para la “ciencia económica”, un aconteci- miento que finalmente permite a los economistas tomar su lugar al lado de los físicos, quí- micos y biólogos. Al justificar el nuevo galardón en nombre del Comité Nobel, el profesor Erik Lunderberg señaló que “la ciencia económica se ha desarrollado crecientemente en la dirección de una especificación matemática y cuantificación estadística de contextos económicos”. Las técnicas de análisis matemático y estadístico dijo Lunderberg, han pro- bado su éxito y han dejado muy atrás el estilo vago, más bien literario, de la economía… El premio inicial fue concedido a dos economistas europeos cuya meta ha sido “dar a la teoría económica concreción matemática, y producirla en (tal) forma (que) permita la cuantificación empírica y la prueba estadística de hipótesis”.
Theodore Roszak en la introducción a E. F. Schumacher, Small is Beautiful, New York, Harper and Row, 19751».
Ante tanta pobreza y cantidad de pobres en el mundo occidental, generados por los proyectos y modelos sucesivos del Capital, con el adjetivo de “progresistas”; y ahora, con un agregado de millones de inmigrantes y desplazados de guerra, con- secuencia directa del modelo económico neoliberal actual con su propia crisis in- terna; por lo menos, existe el derecho de cuestionar sobre la validez de las afirma- ciones contenidas en el epígrafe, observando desde luego, el contexto donde se expresaron y quién las dice.

Así, en primer lugar y no con exactitud matemática, pero sí con la precisión y el rigor necesarios, propios de la definición de un concepto: ¿a qué se le llama cien- cia económica? Nótese que desde el principio del párrafo, esto aparece entre co- millas. En segundo lugar y según lo dicho, que “las técnicas de análisis matemáti- co y estadístico hayan probado su éxito y dejado muy atrás el estilo vago, más bien literario, de la economía…”, desde entonces y a la fecha, ¿a qué le llaman prueba exitosa de tales técnicas en la aplicación de la economía? En tercer lugar y según lo dicho por los primeros dos economistas premiados con el Nobel, “dar a la teoría económica concreción matemática, y producirla en (tal) forma (que) permita la cuantificación empírica y la prueba estadística de hipótesis”. Constituye desde luego, la síntesis de una visión metodológica que se aplica en la “interacción” de la matemática y la teoría económica. Pero en esta interacción, ¿sobre qué clase de problemas se aplica la matemática a la teoría económica?, ¿cuáles son los objeti- vos de tal aplicación?, ¿en beneficio de quién(es)? En este discurso de la econo- mía, ¿acaso existen objetivos, de amplios beneficios sociales? Finalmente,
¿qué resultados ha tenido en (y qué destino le depara a) las clases sociales mayorita- rias, con la aplicación de la matemática a la teoría económica? Pues bien, todo pa- rece indicar que son más las cuestiones por contestar que las incógnitas ya des- pejadas.

(1). El examen de algunas Notas sobre el tema, como un aparente rodeo.
En la Nota de A. Valle, (1984)2  se muestra con claridad, que los clásicos de la teoría económica hicieron una incorporación mecánica de la matemática a la eco- nomía. Bajo la influencia de la filosofía positiva de Augusto Comte, los clásicos de la teoría económica marginalista separaron tajantemente ciencia y arte, esto es, la ciencia de la aplicación de los conocimientos científicos. Para ilustrar esto, el autor de esta primera Nota, cita a L. Walras, (…):
«La preocupación primaria del economista no es la de proveerle un ingreso satisfacto- rio al pueblo o suministrarle al gobierno una renta adecuada, sino la de perseguir y adue- ñarse de verdades científicas puras, (pág.
52)3»
Sin mencionar las implicaciones que en política económica tendría esta tesis, es notorio el conflicto metodológico en el que se encuentra, precisamente como el au- tor de la nota lo señala. Luego cita a W.S. Jevons, donde exhibe los argumentos que hacen ver precisamente, la adopción mecánica del modelo newtoniano de la física pero ahora, para el tratamiento de los problemas económico ῀ sociales.
«La teoría económica… presentó una estrecha analogía con la ciencia de la mecánica estática; y las leyes del intercambio, se ha encontrado, que recuerdan a las leyes del equi- librio de la palanca4».
En donde no queda claro, si la analogía se aplica, bien como un principio de los procedimientos heurísticos dentro de un proceso de modelación matemática a par- tir de los problemas económicos, o sólo en base a la observación de similitudes muy generales y superficiales. Veamos también, la siguiente cita del mismo W.S. Jevons:
«La teoría consiste en aplicar el Cálculo Diferencial a las familiares nociones de rique- za, utilidad, valor, demanda, oferta … Como la teoría completa de casi cualquier ciencia involucra el uso del Cálculo, nosotros no podemos tener una teoría verdadera de la eco- nomía sin su ayuda».
Es comúnmente aceptado que una ciencia llega a su estado de madurez, cuan- do logra aplicar apropiadamente, el contenido y los métodos matemáticos. Pero, en el contenido del párrafo, no se explica la forma metodológica en que éstos se articulan a los modelos que surgen de los problemas económicos, a los conceptos y las leyes de la economía. Esta forma de razonar, indicaría en todo caso, que la racionalidad del Cálculo Diferencial se está aplicando en una forma vertical sobre los problemas, conceptos y leyes de la economía. Razonamientos que el autor de la nota los presenta en una forma esquemática, citando a W.S. Jevons:
«Como la teoría económica trata con cantidades, con magnitudes que pueden va- riar, las leyes y relaciones deben ser matemáticas en su naturaleza5».
De lo cual, finalmente, A. Valle señala que, tales razones son insustanciales. Y concluye este punto como sigue:

«En la economía, y creemos que en todas las ciencias sociales, …las matemáticas se incorporaron partiendo de una fetichización del método de las ciencias naturales6».
Este autor hace una observación importante. Dice con acierto que, para com- prender cómo se incorporó la matemática a la física, es necesario considerar el estudio de su desarrollo histórico, esto es, de una epistemología de la física. Tal propósito aparentemente fuera de la posibilidad del curriculum de economía ayu- daría, sin embargo, a dilucidar cómo se configuró una metodología que hiciera po- sible la articulación disciplinaria en la frontera de los contenidos de la física y la matemática. Así, en base a una reflexión sobre el desarrollo conceptual histórico de la física, es como el autor de la Nota, busca una explicación del por qué la ma- temática se incorporó a la física; llegando a la conclusión siguiente:

«Porque la física logra definir sus categorías básicas, incorpora el pensamiento ma- temático; porque inició su constitución como ciencia, usó las matemáticas7».
Lo que en otras palabras, dice que, cuando una ciencia evoluciona y se constitu- ye: definiendo su objeto de estudio, su campo de problemas y sus métodos de tra- bajo, entonces, en la medida de su desarrollo, incorpora el pensamiento matemáti- co y con ello, su contenido y sus métodos.
En el documento, A. Valle, trae de la historia un punto de discusión entre Platón y Aristóteles. Mientras el primero de estos filósofos, intentó incorporar la matemáti- ca a la física, el segundo desechó tal posibilidad, porque, argumentaba:
«… la naturaleza del ser físico es cualitativa y vaga8».
Tal vez, el contenido de esta breve cita no aclare lo suficiente, pero en combina- ción con la anterior, dibuja una línea de reflexión. Así, por ejemplo, Ana Rioja (2002), al contrastar la física aristotélica con la física galileana, dice lo siguiente:
«La física (aristotélica) nada tiene que ver, pues, con la construcción de artefactos, aparatos o máquinas, en la medida en que estos son seres fabricados. Por decirlo breve- mente y de manera anacrónica en relación a la época de Aristóteles, el físico ha de procu- rar una explicación de las causas de los movimientos celestes y terrestres, de los planetas y de las piedras, pero no del modo de(l) funcionamiento de las máquinas9».
Y más delante agrega:
«De ahí que la física (aristotélica) tenga por objeto el análisis de los movimientos “naturales” al margen de toda interferencia externa, pues se trata de llegar a saber qué ti- po de acciones son capaces de realizar los cuerpos por sí mismos (los cuerpos pesados tienden siempre a caer sobre el centro del mundo, los ligeros al contrario, etc.). En cam- bio, cuando son “violentados” o “forzados” a hacer algo a lo que por naturaleza no tienden (una piedra, por ejemplo, no asciende espontáneamente sino que ha de ser lanzada), su tratamiento corresponde a la mecánica. Así, mientras que la ciencia moderna galileana concede el mismo estatuto a la caída de los graves (movimiento natural o espontáneo desde la perspectiva aristotélica) que al desplazamiento de los proyectiles (movimiento violento), en la física aristotélica son claramente asimétricos».
Queda claro cómo la diferencia en la delimitación del campo de fenómenos en la física aristotélica y en la física de Galileo, se debe a los diferentes conceptos que tienen de la misma. En la física de Galileo, es otro el modo de interrogar a los fe- nómenos de la naturaleza. Galileo diseña artefactos como planos inclinados y su- perficies planas pulidas, en ambos casos, para hacer rodar esferas; péndulos sim- ples, compases geométricos, imanes o termoscopios y aun telescopios, etc. Todos ellos, para ser utilizados en la investigación de los movimientos de los cuerpos en caída libre, el desplazamiento horizontal con desprecio de la fricción, el movimien- to pendular, el lanzamiento de proyectiles, la observación del movimiento de los astros ya no sólo a simple vista. Y así, estos artefactos y aparatos mecánicos que recuerdan a las máquinas simples de Arquímedes, juegan un papel de mediación en el estudio de dichos movimientos, logrando tener influencia o interferencia des- de lo externo sobre los fenómenos naturales del movimiento físico de los cuerpos. Lo que precisamente está fuera del concepto de la física en Aristóteles.
Esta forma de interrogar a la naturaleza por Galileo, obteniendo los respectivos registros experimentales, lo conduce al análisis de los procesos de modelación matemática de dichos fenómenos, encontrando en un caso particular, la expresión matemática:
s = (½) g t2 ,
llamada, la ley de “caída libre de los cuerpos”. En donde s es la distancia recorrida por el cuerpo que cae, g es la aceleración de la gravedad y t el tiempo empleado en el recorrido de caída. Este nuevo paradigma de la física en su trabajo completo, lo conduce finalmente, a afirmar que:
“La naturaleza está escrita en el lenguaje de las matemáticas…”
Mientras en la física de Aristóteles el método de trabajo es la observación y la reflexión cualitativa de los movimientos naturales de los cuerpos sin interferencia externa; en la física de Galileo en cambio, el método de trabajo es lo suficiente- mente amplio, para ser considerado como el que da inicio a la ciencia moderna de la naturaleza. Destacando, la incorporación de la matemática a la física, y desde entonces, la física ya no tuvo un desarrollo por sí misma.
Hasta aquí, el ejemplo que ilustra aquel punto de reflexión donde A. Valle pre- guntaba el por qué la matemática se incorporó a la física. Y con la plausibilidad de esta reflexión, es posible establecer el primer punto de una conjetura:
La incorporación de la matemática a una ciencia que se encuentra en estado de desarrollo, sí depende de que ésta se haya constituido.

De manera que al constituirse: define su objeto de estudio, el campo de proble- mas, sus métodos de trabajo y el criterio de validez. Además, de que, en sus mé- todos, no sólo existan procesos de razonamiento de orden cualitativo sino tam- bién, razonamientos dinámicos de orden cuantitativo. Estos son, los de carácter matemático y estadístico que en forma metodológica, se habrían de incorporar en este caso particular, al análisis de los problemas económicos. Así, un buen ejerci- cio de reflexión en esta dirección, podría ser el desarrollo de estas categorías bási- cas que buscan constituir a una ciencia, y en todo caso, aplicadas a las tres es- cuelas o corrientes del pensamiento económico que, aun con matices o asegunes, clasifica Sergio Martín Moreno, (1985, págs. 201-202), a saber, las escuelas: mar- xista, poskeynesiana y neoclásica. Y así también, con las diferencias internas exis- tentes en cada caso, que el mismo profesor señala. Pues bien, a cada escuela o corriente se le preguntaría:
¿Es la economía una ciencia constituida?, ¿cuál es su objeto de estudio?, ¿cuál es el campo de los problemas que aborda?, ¿cuáles son sus métodos de trabajo? y ¿cuál es su criterio de verdad? El resultado si fuera posible que ocurriera, podría permitir observar y evaluar en teoría y práctica: cuál es la escuela o corriente del pensamiento económico que reúne los elementos del (o se aproxima más al) esta- tuto de ciencia.
(2). Reflexión que conduce a la noción y recuperación del método general.
En el contenido de la Nota que se examina, el autor, señala que la importancia de las matemáticas desde los orígenes de la física sigue siendo polémica. A este respecto, se considera la cita siguiente, a la que recurre este autor. Dice que Gali- leo afirmaba lo siguiente, aunque más bien parece un cuestionamiento:
«Decidid quien razonó mejor: Platón que dijo que sin matemáticas no se podría a- prender filosofía, o Aristóteles, que hizo a este mismo Platón el reproche de haber estu- diado demasiada geometría10».
Donde a primera vista parece, que ambos filósofos no se enfocan exactamente al mismo punto. Es decir, existe un matiz o sutileza del punto en discusión, aunque el tema es el mismo. Hoy sabemos que la filosofía, como máxima generalización, abreva del desarrollo de todas las disciplinas científicas, y simultáneamente, orien- ta el trabajo específico en cada una de ellas. Es en esta relación donde se mira el argumento de Platón, tal vez, con un poco de magnificencia, pero esto no es fácil de discernir. En cambio, el supuesto reproche de Aristóteles a Platón, de haber es- tudiado demasiada geometría, pudiera más bien estar orientado a la concepción y definición de la propia matemática por Platón, en donde se hace predominar la di- mensión o propiedad del potencial de abstracción de la misma, con respecto a su naturaleza (origen). Propiciando con ello, un concepto de esta disciplina (…), con un fácil acceso a una concepción idealista. De alguna forma, el contenido de la ci- ta anterior y su interpretación, se enlazan con el contenido de otras que se expo- nen a continuación, tanto en el concepto del objeto de la matemática como en su interacción metodológica con otras ciencias. Y esto, en el mismo sentido polémico de la incorporación de la matemática a la física y en general a la ciencia. A conti- nuación, transcribimos una cita de un libro de A. Rosenblueth, (1994):
«La opinión del filósofo norteamericano Northrop, que dijo que el excesivo afán de matematizar ocasionó la decadencia de la ciencia griega y favoreció el desarrollo del espí- ritu oscurantista medieval, es una opinión falsa, por ligera, de una persona que no conoce de ciencia y de su historia lo suficiente. Hypatia y sus predecesores alejandrinos, no re- presentan una decadencia por haber dado énfasis excesivo a las matemáticas, sino por- que no reconocieron que las matemáticas, en la ciencia, no dictan normas a la naturaleza sino que deben ajustarse a ella11».
Así mientras Northrop critica la excesiva matematización de la ciencia griega, si- tuado en la periferia del problema, Rosenblueth en cambio, acude a las causas de una concepción equívoca sobre la naturaleza de la matemática y a la necesidad de una metodología correcta en su interacción con las demás ciencias. Esto le permite decir que:
«…no reconocieron que las matemáticas, en la ciencia, no dictan normas a la naturale- za sino que deben ajustarse a ella».
Esta afirmación como parte de una tesis, se refiere o contiene un fundamento conceptual de carácter materialista aplicado a la interacción de la matemática con las ciencias naturales, pero que tiene su análogo o dicho desde la óptica de la filo- sofía, tiene su extensión conceptual, cuando se trata de la interacción con las cien- cias sociales, incluida la economía.
¿Qué otro alcance o consecuencia puede tener el contenido de la afirmación de Rosenblueth, que fue separada de la cita? Que la matemática, por más abstraccio- nes que pudiera alcanzar en una rama determinada, siempre deberá cumplir no sólo el criterio de validez formal (su coherencia lógica interna, sin contradicción) si- no también, explicar o resolver válidamente las cuestiones de los problemas o fe- nómenos naturales, sin imponerles una racionalidad matemática a los hechos de dichos fenómenos, que no haya partido de una investigación de los mismos.

En otro párrafo del libro de Rosenblueth, la afirmación anterior, encuentra su marco filosófico, a saber:
«Como ya señalé, los pasos de lo concreto a lo abstracto, y de lo abstracto a lo concre- to, son características esenciales de la actividad científica. Los hechos iniciales sugieren un modelo teórico, y este modelo no es satisfactorio, sino cuando es aplicable a hechos ulteriores. Así, aun cuando la ciencia es esencialmente una construcción abstracta, em- pieza y acaba en lo concreto, en los hechos12».
El modelo teórico referido aquí, es como la ley de un fenómeno natural que ha sido descubierta. Ley que es susceptible de expresarse en forma matemática. De este modo, el contenido matemático específico se encuentra integrado en ese mo- delo teórico. Y en apariencia, la única práctica matemática que existe es la que se puede “remolcar” por este modelo teórico en alguna de las ciencias naturales, di- gamos la física. Pero por las características de la matemática, el trabajo teórico crea una tensión en el modelo matemático (que representa al problema concreto o fenómeno), cuando de éste, se aísla el objeto matemático respectivo del contenido de su realidad. Incursionando de esta forma, en el mundo de los procesos forma- les y de mayores abstracciones. Y en acuerdo a la tesis del contenido de la cita anterior, los resultados de estos últimos procesos, también deben acabar en lo concreto. Así, en la visión de este marco filosófico de las ciencias naturales, el de- sarrollo matemático que ocurra en su introspección analítico῀ deductiva, debe te- ner un significado real en la medida, que tenga presente las condiciones o los lími- tes de existencia concreta de la ley descubierta y modelada.
En relación a este punto, presentamos una cita de F. Engels, un clásico de la fi- losofía marxista:
«Conviene, ante todo, puntualizar que no tratamos ni remotamente de defender el pun- to de vista de que arranca Hegel, el de que el espíritu, el pensamiento, la idea es lo prima- rio y el mundo real un simple reflejo de la idea. Este punto de vista fue abandonado ya por Feuerbach. Hoy, todos estamos de acuerdo en que la ciencia, cualquiera que ella sea, na- tural o histórica, tiene necesariamente que partir de los hechos dados y, por tanto, tratán- dose de ciencias naturales, de las diversas formas objetivas de movimiento de la materia; estamos de acuerdo, por consiguiente, en que en las ciencias naturales teóricas no vale construir concatenaciones para imponérselas a los hechos, sino que hay que descubrirlas en éstos y, una vez descubiertas, y siempre y cuando que ello sea posible, demostrarlas sobre la experiencia13».
El contenido de este párrafo, es parte del debate de lo que Engels llamó: “poner de pié” la dialéctica de Hegel, y que él mismo atribuye a C. Marx. Ambos constru- yeron lo que desde entonces, se ha llamado el materialismo dialéctico: De la prác- tica de los hechos a la abstracción, y de aquí, de nuevo a la experiencia, para su verificación práctica y desarrollo. Lo cual, es compatible o se enmarca conceptual- mente, en las siguientes, de las Tesis sobre Feuerbach:
«Tesis VIII: Toda vida social es esencialmente práctica. Todos los misterios que inducen [veranlassen] a la teoría al misticismo encuentran su solución racional en la praxis huma- na y en la comprensión [Begreifen] de esta praxis14».
Y a continuación la:
«Tesis II: La cuestión de si al pensamiento humano le corresponde [zukomme] una ver- dad objetiva [gegenstӓndliche] no es una cuestión de la teoría sino una cuestión práctica. En la praxis debe el hombre demostrar la verdad, esto es, la realidad y el poder [Macht], la terrenalidad [Diesseitigkeit] de su pensamiento. La disputa sobre la realidad o irrealidad [Nichtwirklichkeit] del pensamiento   que está aislado de la praxis   es una cuestión pura- mente escolástica15».
Estas tesis, están precedidas por las tesis I, V y parte intermedia de la I. Estando en el orden, que Bolívar Echeverría (2011), las agrupó con la letra “A”, en el ensa- yo: “El materialismo de Marx” (Discurso crítico y revolución)16.
(3). Ciencia matemática y el concepto de metodología matemática.
El fundamento matemático de Platón. En esencia y en relación al objeto de la matemática, el fundamento se puede escribir como sigue: La matemática trabaja sólo a partir de premisas teóricas, en total independencia de su objeto real y con- creto, en atención sólo a las formas espaciales y relaciones cuantitativas en total abstracción, y por aplicación de sus métodos de razonamiento y demostración for- mal (lógico-deductivos)17.
Notar que es el fundamento de la matemática en Platón, pero no de la Ciencia Matemática. Concepto tal, que en la dirección de total separación del mundo real, es llevado al extremo en la exposición siguiente.
E. Duhring:
«En la matemática pura, el entendimiento tiene que ocuparse “de sus propias libres creaciones e imaginaciones”; los conceptos de número y figura son “su objeto suficiente, producible por él mismo”, y con ello tiene la matemática “una validez independiente de la experiencia particular y del real contenido del mundo” 18».

Concepto de la matemática del Sr. Duhring, citado por el propio Engels, expo- niendo sistemáticamente una crítica puntual, en un debate que desde entonces, hasta los tiempos de A. D. Aleksandrov, rebasa los ciento treinta años. En un frag- mento del libro: Engels, (1962). “Anti-dϋhring”, dirige una respuesta argumentada, donde dicho concepto fue refutado en los términos que siguen.
F. Engels:
«Claro que la matemática pura tiene una validez independiente de la experiencia parti- cular de cada individuo;…Pero lo que no es verdad es que en la matemática pura el en- tendímiento se ocupe exclusivamente de sus propias creaciones e imaginaciones. Los conceptos de número y figura no han sido tomados sino del mundo real. Los diez dedos con los cuales los hombres han aprendido a contar, a realizar la primera operación aritmé- tica, no son ni mucho menos una libre creación del entendimiento. Para contar hacen falta no sólo objetos contables, enumerables, sino también la capacidad de prescindir, al consi- derar esos objetos, de todas sus demás cualidades que no sean el número, y esta capaci- dad es resultado de una larga evolución histórica y de experiencia. También el concepto de figura, igual que el de número, está tomado exclusivamente del mundo externo, y no ha nacido en la cabeza, del pensamiento puro. Tenía que haber cosas que tuvieran figura y cuyas figuras fueran comparadas, antes de que se pudiera llegar al concepto de figura. La matemática pura tiene como objeto las formas espaciales y las relaciones cuantitativas del mundo real, es decir, una materia muy real. El hecho de que esa materia aparece en la matemática de un modo sumamente abstracto no puede ocultar sino superficialmente su origen en el mundo externo. Para poder estudiar esas formas y relaciones en toda su pureza hay, empero, que separarlas totalmente de su contenido, poner éste aparte como indiferente;…19».
Hemos subrayado, la definición científica del objeto de estudio de la matemática, que por primera vez, fue sintetizada en la historia. Engels, la enuncia en un debate que lo llevó a escribir el libro ya citado. Esta definición, es escasamente considera- da, tal vez, por su fuerte carga filosófica. Pero téngase presente, que no surgió en un contexto escolar a partir de un problema pedagógico o de una exposición di- dáctica del concepto, sino que surge en un contexto de debate en el plano filosófi- co y fuera de las escuelas. Aunque en estricto sentido, toda definición del objeto de estudio de una ciencia tiene carga filosófica. De lo cual pudiera seguir, el inten- to por lograr una transducción didáctica de cada una de esas definiciones.
Lo curioso del caso, es que en pleno dominio filosófico de Platón y Aristóteles, y dominio conceptual de la matemática dentro del paradigma axiomático-deductivo por Euclides; surgió Arquímedes de Siracusa, logrando hacer una praxis científica de la matemática, sin contar ni remotamente, con una definición como la que muy posteriormente aportó Engels. Pero sin olvidar, que Arquímedes diseñó un método que aplicó creativamente en su obra científica.
En el mismo libro, Engels, más delante agrega:
«Como todas las demás ciencias, la matemática ha nacido de las necesidades de los hombres: de la medición de tierras y capacidades de los recipientes, de la medición del tiempo y de la mecánica. Pero, como en todos los ámbitos del pensamiento, al llegar a cierto nivel de evolución se separan del mundo real las leyes abstraídas del mismo, se le contraponen como algo independiente, como leyes que le llegaran de afuera y según las cuales tiene que disponerse el mundo. Así ha ocurrido en la sociedad y en el Estado, y así precisamente, se aplica luego al mundo la matemática pura, aunque ha sido tomada sen- cillamente de ese mundo y no representa más que una parte de las formas de conexión del mismo, única razón por la cual es aplicable20».
En base al contenido de las últimas dos citas, tenemos por una parte que, el ob- jeto de estudio de la matemática: las formas espaciales y las relaciones cuantitati- vas del mundo real, está instalado (“anclado”) en los problemas y fenómenos del mundo real y concreto. Y por otra parte, para llevar a cabo el estudio del aspecto cuantitativo-espacial de esos problemas y fenómenos del mundo real y poder re- solver las cuestiones de los mismos; la matemática aísla o abstrae del objeto con- creto mismo, primero el modelo y de este último con mayor abstracción, el objeto matemático, hasta evolucionar en una ley general y abstracta del mismo. Este pro- ducto abstracto se obtiene, dicho en general, por la resolución de la contradicción fundamental específica de esta ciencia, a partir de cada objeto concreto, transfor- mándose en matemática pura. Esta aunque aplicable, no puede hacerse corres- ponder, sino regresando a (o recorriendo el proceso desde) el objeto de estudio concreto. Lo cual, proporciona la dirección para el estudio de esta disciplina, que en el proceso mismo de su aprendizaje procure el cumplimiento de su estatuto de ciencia, esto es, el de su validez tanto en el aspecto lógico-formal como en el nivel objetivo real. Lo que a continuación se delinea en forma descriptiva, para aproxi- mar una transducción de la definición de matemática en tanto Ciencia:
«La matemática en tanto Ciencia (no en su aspecto puro), no se estudia en total inde- pendencia, sino a partir o incluyendo el origen de su objeto de estudio concreto como fun- damento objetivo, en una definición que lo integra al estudio de sus formas espaciales y relaciones cuantitativas en la dimensión abstracta, por aplicación
de sus métodos de razo- namiento y demostración formal (su fundamento lógico-racional) 21».
El concepto de metodología matemática22. Sin desarrollar el proceso de su (re)- construcción, sólo diremos que el concepto, consiste, en articular los procesos de: modelación ῀aplicación matemática, desarrollo conceptual y formalización teórica. O bien, consiste, en la articulación metodológica de la matemática como cuerpo teórico y como modelo. Más en concreto y en la dirección de una interpretación del método de Arquímedes: Las definiciones y los procedimientos formales, evolucio- nan por la investigación de los problemas prácticos.
Tal concepto de metodología matemática, es posible aplicarlo tanto en un pro- yecto de investigación teórica o aplicada de la matemática. Y así también, en la transducción didáctica de un ejercicio metodológico sobre la interacción de los contenidos y métodos matemáticos con los contenidos y métodos de otra discipli- na científica, a través de los problemas de ésta última.
(4). Desglose de una conjetura, como un esquema de orientación.
En base a la reflexión realizada en las secciones anteriores, a los argumentos de conjunto y a los productos parciales, en donde algunos de ellos sólo tienen cierto grado de plausibilidad; se elabora un esquema de orientación que se propone co- mo guía de conducta para abordar: El problema de incorporar la matemática al análisis económico, ya sea en casos concretos, o bien teóricos, o mejor aún, en su articulación. En este sentido, desglosamos los elementos del esquema de orienta- ción anunciado.
(i). La incorporación de la matemática a una ciencia que se encuentra en estado de desarrollo, sí depende de que ésta se haya constituido.
(ii). Plano didáctico: Supone el desarrollo de un Curso determinado, en el cual se estudia un modelo económico-social con su representación matemática y el res- pectivo marco teórico. Plano de investigación: Supone la realización de un proceso de problematización que culmine con su producto: el problema de investigación de carácter económico-social. Desde luego, por los tiempos que se viven, en algunos o muchos casos se plantearán problemas de carácter económico-empresarial. En cualquiera de estos dos planos, una vez definido o formulado el problema (didácti- co o de investigación) y encontrado el modelo económico-matemático que lo re- presenta, se propone el ejercicio de identificar críticamente, en qué escuela o co- rriente del pensamiento económico se ubica el problema con su respectivo mode- lo: marxista, poskeynesiana o neoclásica, o en alguna de sus modalidades inter- nas. Y para la escuela o corriente identificada, contestar las cuestiones, ya antes planteadas:
¿Representa esta escuela del pensamiento económico una ciencia constituida?, ¿cuál es el objeto de estudio de esta escuela o corriente?, ¿cuál es el campo de los problemas que aborda?, ¿cuáles son sus métodos de trabajo? y ¿cuál es su criterio de verdad?
(iii). Si en el punto anterior, existe dificultad para construir el modelo económico-matemático que representa al problema de investigación, considere algún progra- ma heurístico que sea afín al proceso de modelación
῀aplicación matemática, enfo- que, que es una parte integrante del concepto de metodología matemática.
(iv). Los registros y el resultado integral de los puntos (ii) y (iii), si es posible, po- drían permitir la observación y evaluación en teoría y práctica, si la escuela del pensamiento económico donde se ubica el problema con el modelo económico- matemático respectivo, reúne los elementos del (o se aproxima al) estatuto de ciencia. (v). Se propone la consideración del concepto de metodología matemática, en su articulación de los tres enfoques, tal y como fue descrito en la sección (3) de este trabajo. En el marco teórico, este concepto es compatible, tanto al concepto de ciencia matemática como al de metodología general de la actividad científica, y en este último caso, tal y como lo dice el Dr. A. Rosenblueth (1994).
(vi). Los puntos anteriores son de gran importancia, porque estamos hablando de una metodología que surge o se aplica en la zona de interacción entre dos Ciencias: economía y matemáticas. Al hablar de una metodología en la zona de transición de una ciencia a otra, se hace presente de manera inevitable y además necesaria, la filosofía de la ciencia.
(vii). Desde el punto de vista curricular, el concepto de metodología matemática, reúne elementos para que los profesores de matemáticas de nivel superior (des- pués del tronco común), lo consideren en forma crítica en los seminarios de titula- ción para los egresados que opten por un tema que incluya modelos económico-matemáticos, su resolución e interpretación y tal vez, algún desarrollo teórico.

Fuentes Bibliográficas y NOTAS
1 Sergio Martín moreno, (1985). Notas sobre la Aplicación de la Matemática a la Investiga- ción Económica. Investigación Económica 174, octubre–diciembre de 1985, pp. 199-214. [El autor del documento, mantiene en el epígrafe los datos de la fuente original].

2 Alejandro Valle Baeza, (1984). “Una nota sobre la matematización de la teoría económi- ca y la docencia”. Revista Ensayos [economía, política e historia], Vol. 1/ Núm. 3/ 1984. DEP, Facultad de Economía, UNAM.
3   L. Walras, (…). Elements of pure Economics, p. 52.
4   W. S. Jevons, (…). The Theory of Political Economy, p. VII y p. 3.
5   Ibid, W. S. Jevons.
6   A. Valle, (1984), p. 18.
7   Ibid, A. Valle, (1984), p. 19.
8   Ibid, A. Valle, (1984), p. 19.
9    Ana Rioja, (2002). Génesis del Método Científico. Universidad Complutense de Madrid. Págs. 13-40, en particular, las págs. 16-18, y 25-28. En el libro: Juan Antonio Valor, (Edi- tor), (2002). Introducción a la Metodología. Mínimo Tránsito, A. Machado Libros, S. A. Ma- drid, España.
10    A. Koyré, (…). “Galileo y la revolución científica”. Estudios de historia del pensamiento científico; p.
184. El autor de la Nota, incluye la fuente de esta cita.
11    A. Rosenblueth, (1994). MENTE y CEREBRO seguido de, EL MÉTODO CIENTÍFICO. Siglo XXI editores, S. A. México, D. F. Págs. 202-203. El autor de la Nota, no incluye el contenido de la cita de este libro; sólo presenta una interpretación de la misma.
12   Ibid, A. Rosenblueth, (1994). Pág. 198.
13 F. Engels, (1961). Dialéctica de la Naturaleza. Editorial Grijalbo, S.A. México, D.F. p. 27.
14  Bolívar Echeverría, (2011). “El materialismo de Marx” (discurso crítico y revolución). En torno a las
Tesis sobre Feuerbach, de Karl Marx. Editorial Ítaca, S.A. México, D. F. Págs. 18-19.
15 Ibid, Bolívar Echeverría, (2011). Pág. 19.
16  Bolívar Echeverría, (2011). “El materialismo de Marx” (discurso crítico y revolución). En torno a las Tesis sobre Feuerbach, de Karl Marx. Es la última versión sobre este tema, que inició con: “Apuntes para un comentario de las Tesis sobre Feuerbach”, y que a su vez, corresponde al tema de tesis con la que obtuvo el título de Licenciado en filosofía, en 1974, en la Facultad de Filosofía y letras de la UNAM. La traducción al español del origi- nal en alemán, en la edición póstuma; así como los subrayados, corresponden a este filó- sofo. El contenido de esta edición, versa sobre los tres comentarios a las Tesis sobre Feuerbach, de Karl Marx; y una conferencia de abril de 2010, en la que se hace referencia a dichas tesis con relación a la historia y la situación actual de la filosofía.
17  Raymundo Flores Chávez, (2008). Breve Informe: “Sobre algunas actividades realiza- das, proyectos que están en proceso y programas de especialidad de realización poten- cial”. Documento interno, Secretaría de Investigación y Posgrado, UAN. El fundamento matemático de Platón escrito aquí, es la transcripción del párrafo respectivo, que se en- cuentra en la síntesis del marco teórico, en este breve informe.
18 F. Engels, (1962). Anti-dϋhring. Editorial Grijalbo, S.A. México, D.F. Citado, en la p. 24.
19 F. Engels, (1962). Págs. 24 y 25.
20 F. Engels, (1962). Págs. 25 y 26.
21 Raymundo Flores Chávez, (2008). Párrafo incluido también en el Breve Informe (2008).
22  Raymundo Flores Chávez, (1994). “Una metodología para el desarrollo curricular en la enseñanza- aprendizaje de la matemática a nivel superior”. Tesis de Maestría, Departa- mento de Matemática Educativa del CINVESTAV ῀ IPN. El concepto de metodología ma- temática, también se encuentra en el diseño de los Diplomados (1,2 y 3) en Matemática Educativa, (2002, …, 2004), en el Proyecto de Investigación: “El Concepto de Límite y su enseñanza ῀ aprendizaje”, (actualizado en 2007),…, y en el Breve Informe (2008).