2.5 Teoría de Juegos

Como lo indica Anzil (2005), la teoría de los juegos es una rama de la Matemática con aplicaciones en la Economía, Sociología, Biología y Psicología, que analiza las interacciones entre individuos que toman decisiones en un marco de incentivos formalizados (juegos).

Además, Aguado (2007) comenta que en un juego, varios agentes buscan maximizar su utilidad eligiendo determinados cursos de acción. La utilidad final obtenida por cada individuo depende de los cursos de acción escogidos por el resto de los individuos.

2.5.1 Juegos Cooperativos

Aguado (2007) nos dice que la Teoría de Juegos Cooperativos estudia como los individuos racionales actúan recíprocamente entre sí en un esfuerzo por lograr metas interdependientes con la finalidad de maximizar los intereses particulares de cada uno a través del logro de metas compartidas, establecidas con base en el consenso (La maximización de los intereses particulares significa en este caso el mayor valor a lograr, en conjunto con la otra parte, y no es necesariamente el mayor valor a conseguir dentro del juego).

2.5.2 Juegos No Cooperativos

Así mismo, Aguado (2007) comenta que La Teoría de Juegos No-Cooperativos, que estudia cómo los individuos racionales actúan recíprocamente entre sí en un esfuerzo por lograr maximizar sus propias metas (La maximización de las metas particulares significa en este caso el mayor valor a lograr, y generalmente coincide con el mayor valor a conseguir dentro del juego).

John F. Nash realiza una destacada introducción de la distinción entre juegos cooperativos, en los que son posibles los acuerdos vinculantes y juegos no cooperativos donde estos acuerdos no son posibles. En la teoría de los juegos no cooperativos la noción central de la introducción por Nash es la de equilibrio, dentro de la teoría de los juegos cooperativos, este trabajo de Nash es una de las referencias básicas, y la central en el caso de la literatura relacionada con el problema de negociación. (Vega, 2000, pp. 27)

2.5.3 Modelo de Negociación Stahl-Rubinstein

Este tipo de Modelo de Negociación propuesto por Stahl-Rubinstein (Vega, 2000) es un tipo de juego no cooperativo. Se plantea que las negociaciones de tipo compra-venta se realizan a través de este tipo de juegos. Esta teoría fundamenta el análisis del modelo que se propone en esta investigación. El modelo de Stahl-Rubinstein se explica de la siguiente manera:

Dos jugadores, 1 y 2 deben repartirse un premio cuyo tamaño se normaliza a 1 (es decir, lo que se tiene que repartir se toma como una cantidad igual a 1). El proceso de negociación se lleva a cabo en un máximo de T periodos, t es el tiempo de cada postura monetaria del comprador o el vendedor (el periodo T es el último periodo u oferta monetaria en que puede haber negociación). Si t=T entonces se acaba el proceso y cada jugador recibe la porción del premio negociado.

Proceso de negociación. (Gibbons, 1997, p. 66)

 Si t es impar el jugador 1 ofrece una repartición (x(t), 1-x(t)), donde x(t) es la porción del premio que propone el jugador 1 al jugador 2. Es decir, cuánto gana el jugador 1 (x(t) y cuanto el jugador 2, (1-x(t) ).

 El jugador 2 puede aceptar o rechazar la oferta.

 Si el jugador 2 acepta la oferta el juego termina con resultado (x, 1-x).

 Si el jugador 2 rechaza la oferta pasamos a t+1.

 Si t es par el jugador 2 ofrece una repartición (x(t), 1-x(t)), donde x(t) es la porción del premio que propone el jugador 2 al jugador 1.

 El jugador 1 puede aceptar o rechazar la oferta.

 Si el jugador 1 acepta la oferta el juego termina con resultado (x, 1-x).

 Si el jugador 1 rechaza la oferta pasamos a t+1.

 El juego continúa con el jugador 1 planteando ofertas en los periodos impares y el jugador 2 haciendo ofertas en los periodos pares, y el objeto negociado se reduce (se pierde el acumulado de las reducciones de todas las posturas que se representa por δ ) periodo tras periodo, teniendo un tamaño de δ t−1 en el periodo t.

 Si cualquiera de los jugadores ya sea jugador 1 o jugador 2 acepta en el periodo t, los jugadores se reparten la porción del premio negociado. En seguida se presenta la ecuación para cada jugador, que se obtiene después de llegar a un acuerdo.

o Si en el periodo t se llega a un acuerdo, el jugador 1 obtiene δ t-1 x(t).

Dónde δ t-1 es un factor descuento o la pérdida que obtiene el jugador 1 en ese periodo. Y por otra parte, x(t) es la porción del premio que se propone en ese periodo.

o El jugador 2 obtiene δ t-1 (1-x(t)). Dónde δ t-1 es un factor descuento o la pérdida que obtiene el jugador 2 en ese periodo.

Además (1-x(t)) es la porción del premio que le corresponde al jugador 2.

Así es como queda la siguiente ecuación al término de la negociación:

(δ t-1 x(t), δ t−1 (1− x(t))).

En la figura 2.4 se tiene el proceso de negociación con ofertas alternadas, el jugador 1 comienza con su propuesta y el jugador 2 tiene la opción de aceptarla o rechazarla, si la rechaza el jugador 2 tiene que realizar un propuesta para que el jugador 1 acepte o rechace esa oferta, de esta manera se lleva a cabo la negociación. Ver figura 2.4.

 Fernández (2002) explica lo siguiente en el caso de que T=1, se tiene el único equilibrio perfecto en subjuegos en donde el jugador 1 propone (1, 0) y el jugador 2 acepta cualquier propuesta. (Ver figura 2.5).

 Si T=2

Sabemos que en t=2 todo el excedente iría al jugador 2, (el jugador que propone en ese momento). El jugador 2 propondría (0, 1). En esta posibilidad se debe tomar en cuenta el descuento que conlleva esta oferta, y ese factor descuento se representa con δ.

 Si T=3

En una negociación con T=3 periodos, el análisis de los periodos 2 y 3 es idéntico al análisis de los dos periodos del modelo con T=2. Estar en el periodo 2 de un modelo de 3 periodos es equivalente a estar en el primer periodo de un modelo de 2 periodos; en ambos casos se está en el penúltimo periodo de un modelo de negociación.

Al conducirse por inducción hacia atrás se llega a la conclusión que en el periodo 2 el jugador 2 propone quedarse con 1-x2=1- δ. En el periodo 1 la estrategia del jugador 2 es aceptar la oferta que satisfaga 1-x1>= δ(1- δ). En el periodo 1 el jugador 1 propone x1=1- δ+ δ2.

Por lo tanto cuando T tiende a infinito, se presenta de la siguiente manera (ver figura 2.6).

En seguida se presenta un ejemplo para poder entender el funcionamiento del Modelo de Negociación Stahl-Rubinstein. El ejemplo es la realización de la venta de un bien con un costo de $100, el vendedor es el jugador 1 y el comprador es el jugador 2. Cada uno de ellos realiza sus ofertas en los periodos que les corresponden (vendedor en periodos impares y comprador en periodos pares). En cada periodo, que los jugadores proponen una oferta, se van observando las pérdidas que cada uno de ellos tiene con la oferta actual (Ver tabla 2.7). Al finalizar se suman los valores de delta δ (factor descuento), para ver cuánto perdieron en el transcurso de la negociación.

Se puede observar que el vendedor tuvo una pérdida acumulada de $35 a partir de su primera oferta ($100), sin embargo, él se lleva el dinero que es de $65. El comprador tiene una pérdida acumulada de $65, pero él se lleva el bien negociado.

Esta teoría ayuda a entender como negocian por ejemplo las empresas y los sindicatos. Cada uno parte de sus intereses máximos contrapuestos para llegar al punto medio negociado. Si hay ruptura, los dos pueden perder. Si llegan a un acuerdo los dos pueden ganar, (aumento de producción, beneficios, salarios, etc.). (Vega, 2000).

El problema del que Rubinstein se ocupa es muy sencillo; este tipo de juego esta modelado como un juego no cooperativo, que se desarrolla a lo largo del tiempo, en forma estratégica. Cada período consiste en una propuesta efectuada por uno de los jugadores, seguida de la aceptación o del rechazo de la misma por parte del otro jugador. El juego termina en cuanto un jugador acepte la oferta del otro. El valor de un resultado para un jugador depende de lo que reciba y del período de tiempo en el que se haya alcanzado el acuerdo. El juego es cooperativo en el sentido de que si un jugador formula una oferta y el otro acepta, la oferta es un acuerdo vinculante para ambos. (Friedman, 1991).

Rubinstein parte de un supuesto que dice cuanto más bajo sea el factor de descuento, es decir, cuanto más impaciente sea el agente, menos poder negociador tiene, pues más prisa tiene en conseguir un acuerdo, aún a costa de obtener un peor resultado posible. El único equilibrio de perfección en subjuegos consiste en que, en la primera ronda el jugador 1 ofrece (1-x) y jugador 2 acepta, el juego acaba ahí por lo tanto esta es la ruta de equilibrio. (Sánchez, 2009).

2.5.4 Modelo de Negociación propuesto

En seguida se mencionan los ajustes que se le han hecho al Modelo de Negociación Stahl-Rubinstein, para dar origen a una propuesta de negociación diferente.

La expresión 1, representa las pérdidas de cada uno de los negociadores para juegos de negociación no cooperativos, ésta se ve afectada debido a que los valores de delta (factor descuento) son disminuidos por el uso del Modelo de Negociación propuesto. Delta representa el cambio de valor propuesto entre una oferta y la siguiente del mismo negociador. Este cambio se afecta por el factor de tácticas de negociación que son sugeridas por el sistema de apoyo al Modelo de Negociación.

La propuesta que se realiza en este trabajo es que en la expresión (1) que es la base del Modelo de Negociación Stahl-Rubinstein se afecta en cuanto a las pérdidas esperadas para el negociador que use el Modelo de Negociación Tácticas de Negociación sugeridas como producto del Lenguaje Corporal analizado, expresadas como el Factor de Tácticas basadas en el Lenguaje Corporal (FTLC), mostrado durante la Negociación.

De esta manera (2) constituye el resultado de manejar el Modelo de Negociación con la herramienta de apoyo, el cual es un factor que afecta las pérdidas (disminuyéndolas) obtenidas del primer negociador, suponiendo que es él quien posee el software. El factor FTLC se puede calcular durante la negociación, y en el análisis a posteriori, donde se pueden analizar las ofertas resultantes después de haber usado la táctica sugerida por el software se obtiene el acumulado de pérdidas por todas las posturas.

En el siguiente Capítulo Marco Metodológico se muestra la metodología que se siguió en el transcurso de esta investigación.