3.2. Firmas:

Cada firma representativa maximiza su beneficio y obtiene las siguientes condiciones de primer orden –los detalles técnicos se puede ver en el anexo A.3.:

CPO:

En términos per-cápita:

(2.7)

(2.8)

3.3. Equilibrio del mercado de bienes:

El equilibrio del mercado de bienes requiere que la demanda de bienes en cada período sea igual a la oferta, o alternamente, que la inversión sea igual al ahorro –Anexo A.4.- :

(2.9)

3.4. Dinámicas y estado estacionario:

Como el ahorro del período t es igual a la inversión del futuro, se determina el comportamiento dinámico de la economía –detalles en el anexo A.5.-, con un sistema de dos ecuaciones en diferencias –de at y kt-:

Comportamiento del capital:

La evolución dinámica del capital, queda determinada por esta ecuación en diferencias:

(2.10)

(2.11)

Evolución del medioambiente:

La evolución dinámica del medioambiente, queda determinada por esta ecuación en diferencias:

(2.12)

(2.13)

Crecimiento Poblacional:

(2.14)

El crecimiento poblacional, para la mayor parte del análisis, se considera nulo, y la población estacionaria. Sin embargo, se realiza simulaciones numéricas para el caso de crecimiento poblacional positivo –anexo B. 2-.

3.5. Estado estacionario:

Para encontrar una solución analítica, se considera una población estacionaria N, con una tasa de crecimiento cero (n=0) –detalles técnicos en el anexo A.6.-. En estado estacionario, se tiene: y .Este problema es matemáticamente complejo pero si se considera que, por definición, que b está entre 0 y 1. Entonces, con una población –N estacionaria- suficientemente grande se tiene que:

.

Para un valor de , que sea cercano a los niveles de consumo per-cápita. Se debe recordar, que por la definición del índice ambiental, puede tomar cualquier valor no negativo . En el caso de fijar N en 1, eliminamos el problema de la tragedia de los comunes. Alternativamente, se puede ver como un gobierno que vive dos períodos (John & Pecchenino, 1994). En este caso, la solución puede ser encontrada sólo por métodos numéricos –anexo B-. Cuándo N es suficientemente alta el estado estacionario está determinado por un sistema de dos ecuaciones no lineales, en las variables a* y k*:

Se tiene el sistema:

. (2.15)

. (2.16)

Este sistema tiene dos soluciones, la primera es trivial:

.

Y la segunda solución es:

Estos resultados dicen que el efecto de la población sobre el nivel de k estacionario es casi nulo, en cambio sobre el nivel de a –calidad ambiental per-cápita- es negativo. Se puede decir, que el control de la población es positivo para el medioambiente pero tiene pocos efectos sobre el nivel de capital físico. Se debe reconocer, que el crecimiento poblacional no se considera aquí, y tampoco se endogeniza la población. Por este motivo, no se tiene un caso fuerte para políticas de control poblacional. De las simulaciones numéricas, -realizadas en el apéndice B-. Se puede ver que aún con altos niveles de crecimiento poblacional –geométrico-, se puede tener una economía que persiste en el tiempo aunque no tiene un estado estacionario, si las tecnologías de abatimiento son suficientemente altas –anexo B.2-. En casos extremos, se puede llegar al colapso de la economía. A pesar de esto, un nivel poblacional alto empeora el problema de los comunes y aumenta el efecto de las externalidades intergeneracionales .

El efecto del parámero w es positivo sobre la calidad ambiental y ambiguo sobre el nivel de capital. Es decir, una economía con una mejor tecnología de abatimiento, o un rendimiento natural alto, tiene un mayor nivel de calidad ambiental, como era de esperarse. El parámetro e, que demuestra el nivel de limpieza de la producción o su eficiencia termodinámica –en uso de materia y energía-. Aunque, está limitado por la resilencia del medioambiente-, tiene un efecto negativo sobre el nivel de capital y sobre la calidad ambiental. En otros términos una economía con tecnologías limpias es más rica y tiene mayor bienestar.

Estos dos parámetros –w y e- son muy importantes en el modelo ya que si tienen cierta relación pueden causar el colapso de la economía. Para que un estado estacionario de k diferente de cero exista, se requiere que . Es claro, que si k* existe –es positivo-, a* será positivo, ya que se cumple . Estos dos parámetros pueden ser afectados por políticas que busquen mejorar las tecnologías para hacerlas más limpias y con menos impacto ambiental. También, se puede pensar en políticas de desmaterialización de la economía (Bartelmus, 2003).

El parámetro , que es la participación del capital en el producto, tiene un efecto negativo sobre el nivel de capital estacionario y sobre el nivel de calidad ambiental. Este resultado, se explica debido a que la producción industrial es contaminante –por la especificación de la función de contaminación-. Es decir, mientras mayor sea la participación del capital mayor será la contaminación, lo que implica gastos en mantenimiento ambiental. Entonces, existe un caso para incentivar las actividades de servicios, como el turismo. Se debe aclarar, que un tratamiento más profundo de este punto, requeriría incluir capital humano y varios sectores. Este es el caso, del sector agrícola tradicional, que puede ser intensivo en trabajo pero que tiene efectos negativos fuertes sobre el medio ambiente.

Sin embargo, se debe aclarar que estos parámetros –w y e- están limitados por factores naturales que están fuera del alcance de estas políticas, como el rendimiento natural y la resilencia. Además, por las leyes de la termodinámica el parámetro e nunca puede ser cero (Georgescu-Roegen, 1971; Chóliz, 1999). Cómo se estableció en los supuestos del modelo, w y e en un caso más genereral pueden ser vistos como funciones. No obstante, un análisis riguroso requerirá un conocimiento del sistema natural, lo que correspondería a la economía ecológica.

Las preferencias también juegan un rol imporante, si son más verdes, es decir, es alto, tenemos un menor nivel de k estacionario. Sin embargo, el efecto sobre el nivel ambiental per-cápita es indeterminado pues, preferencias más verdes incentivan a mantener el medio ambiente pero una economía pobre tendrá menos recursos para hacerlo. Alternativamente, bajos ingresos incentivan la explotación del medio ambiente. La pobreza ha sido mencionada como una fuente de degradación ambiental (Duraiappah, 1998). Sin embargo, la relación es compleja y depende de los demás parámetros. Una economía consumista, con un alto nivel de , tiene un menor nivel de calidad ambiental –y tiene un efecto casi nulo sobre el capital-.

La impaciencia también tiene un papel importante en la determinación del estado estacionario y afecta negativamente a los niveles de capital y también de medioambiente. La tasa de impaciencia determina la intensidad de las externalidades intergeneracionales. Este resultado, es de interés ya que los tratamientos similares de generaciones traslapadas consideran economías que no consumen ni ambiente ni bienes en el primer período –sólo trabajan-. Estos agentes sólo consumen en la vejez (John & Pecchenino, 1994; Jouvet et al., 2000). Esto en realidad implica un caso extremo, en el cual se otorga un peso de cero al consumo del presente. Se puede ver que la relajación de este supuesto no es trivial.

Estos dos últimos resultados, tienen implicaciones sobre las políticas de concienciación sobre el medio ambiente. Se puede ver, que aunque los individuos valoren más el medio ambiente no pueden lograr un nivel mayor de calidad ambiental. El problema de los comunes, evita que lo logren. Este resultado es un caso de la llamada paradoja del aislamiento. En la cual, aunque todos los individuos deseen lograr una mejor calidad ambiental no pueden hacerlo. Es decir, se produce la tragedia de los comunes (Hardin, 1968). Este resultado contradice los hallazgos de John & Pecchenino (1994), que no considera el problema de la tragedia de los comunes.

Por otro lado, concuerda con los hallazgos de Jouvet, Michel, & Vidal (2000), que si lo hace. Así, las preferencias intertemporales, representadas por la impaciencia de los consumidores, tiene un efecto negativo sobre los niveles de estado estacionario. Se puede sugerir entonces, campañas enfocadas en el cuidado del futuro de la humanidad, el altruismo intergeneracional y otras que tengan el objetivo de disminuir la impaciencia por el consumo en la juventud. Esto permite aumentar los niveles de mantenimiento ambiental y ahorro y lograr un estado estacionario con mejores niveles de k y a –aunque no se logre la eficiencia o la optimalidad en el sentido de pareto-.

Esta solución puede ser directamente extendida al caso, en que exista un factor tecnológico que multiplica a la función de producción:

El factor tecnológico, es tomado como exógeno en el presente problema. La economía en estado estacionario crece o decrece respecto a variaciones de este parámetro. También se pueden introducir choques externos por este factor. Sin embargo, el tratamiento exógeno ha sido uno de los puntos más criticados de los modelos de crecimiento estándar (P. M. Romer, 1990). Se realizará una extensión del presente modelo para el caso de externalidades positivas en la producción. Este modelo, no se soluciona analíticamente pero se presentan simulaciones numéricas –Anexo B.-. El hallazgo más importante, es que bajo ciertos parámetros, aún con crecimiento endógeno, no se puede garantizar crecimiento indefido y en casos más extremos no se puede evitar el colapso de la economía. También existen escenarios en los cuáles el crecimiento del capital –y del producto- es positivo, mientras el medioambiente es estable. Esto se explica, porque la economía produce suficiente para cubrir el daño ambiental causado por la contaminación de su producto creciente.