BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales


FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Christian Q. Pinedo



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1.2 UMA CLASSIFICAÇÃO DA LÓGICA

1.2.1 Lógica Indutiva.

Útil no estudo da teoria da probabilidade, não será abordada.

1.2.2 Lógica Dedutiva.

Que pode ser dividida em:

 Lógica Clássica: Considerada como o núcleo da lógica dedutiva. É o que chamamos hoje de “Cálculo de predicados de primeira ordem”' com ou sem igualdade e de alguns de seus subsistemas. Três princípios (entre outros) regem a lógica clássica: Da identidade. Da contradição; e. Do terceiro excluído os quais serão abordados mais adiante.

 Lógicas Complementares da Clássica: Complementam de algum modo a lógica clássica estendendo o seu domínio. Estas são: lógica modal, lógica deôntica, lógica epistêmica entre outras.

 Lógicas Não-clássicas: Assim caracterizadas por desconsiderar algum ou alguns dos princípios da lógica clássica. Sendo estas: lógica paracompleta e lógica intuicionista (desconsideram o princípio do terceiro excluído); lógica paraconsistente (desconsidera o princípio da contradição); lógica não-alética (desconsidera o terceiro excluído e o da contradição); lógica não-reflexiva (desconsidera o princípio da identidade); lógica probabilística, lógica polivalente, lógica fuzzy entre outras.

1.2.3 O que a lógica não é.

Vale fazer alguns comentários sobre o que a lógica não é.

Primeiro: A lógica não é uma lei absoluta que governa o universo. Muitas pessoas, no passado, concluíram que se algo era logicamente impossível (dada a ciência da época), então seria sempre literalmente impossível. Acreditava-se também que a geometria euclidiana era uma lei universal; afinal, era logicamente consistente. Mas sabemos que tais regras geométricas não são universais.

Segundo: A lógica não é um conjunto de regras que governa o comportamento humano. Pessoas podem possuir objetivos logicamente conflitantes. Por exemplo:

 Pedro quer falar com o Coordenador do Curso de Matemática.

 O Coordenador é Carlos.

 Logo, Pedro quer falar com Carlos.

Infelizmente, pode ser que Pedro também deseje, por outros motivos, evitar contato com Carlos, tornando seu objetivo conflitante. Isso significa que a resposta lógica nem sempre é praticável.

1.2.4 O que é a lógica matemática?

Tem-se tentado caracterizar a matemática ao longo dos tempos, quer quanto a seu conteúdo, ou a sua forma e métodos; acontece que a matemática constantemente está evoluindo com novas teorias, assim é mais proveitoso caracterizar estes conhecimentos matemáticos quanto à natureza de seus conteúdos.

No inicio do século XIX tentou-se caracterizar as matemáticas como uma ciência da quantidade, embora esta concepção ainda perdure na mente da maioria das pessoas esta errada. Com o desenvolvimento de novas teorias como, por exemplo: Teorias algébricas ou de ordens; estruturas topológicas, a moderna teoria da medida, a teoria dos conjuntos, etc. Todas estas novas teorias foram se impondo de modo natural, de modo que a fines do século XIX muitas disciplinas matemáticas são denominadas pela idéia de estrutura de tal modo que desde que N. Bourbaki começou a publicar seu tratado Éléments de Mathématique em 1939, a matemática é concebida como a ciência das estruturas.

Os lógicos profissionais preferem desenvolver e aplicar a lógica matemática a defini-la, mas, quando instados, encaram sua atividade como relativa essencialmente a um ou a outro dos aspectos seguintes:

Aspecto explicativo: A lógica matemática é um sofisticado instrumento da análise e ulterior formalização de fragmentos dos discursos coloquiais das ciências, em particular na matemática (competindo parcialmente com a lingüística geral).

Aspecto calculativo: A lógica matemática considerada como instrumento do cálculo formal destinado a substituir a argumentação indutiva e formal que consiste na:

a) Demonstração de uma proposição q a partir de certas hipóteses p?

b) Não demonstração de q a partir de p?

c) Indecibilidade do problema da demonstrabilidade de q a partir de p?

Os ramos da lógica matemática, organizam-se pelo seus aspectos em cinco ramos com suas especificações próprias interligados entre sim a saber: i) Teoria da demonstração; ii) Teoria dos conjuntos; iii) Teoria dos modelos; iv) Teoria da computabilidade; v) Lógica matemática intuicinista/construtivista.


 

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