BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales


FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Christian Q. Pinedo



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Capítulo II. TEORIA DA DEMONSTRAÇÃO

B. Russell

Bertrand Artur William Russell descendente de uma família aristocrática, nasceu perto de Trelleck (País de Gales) em 18 de maio de 1872 e faleceu em 2 de fevereiro de 1970 em Penrhyndeudraeth (País de Gales.

Foi um dos mais influentes matemáticos, filósofos e lógicos que viveram no século XX. Um importante político liberal, ativista e um popularizador da filosofia. Milhões de pessoas respeitaram Russell como uma espécie de profeta da vida racional e da criatividade. A sua postura em vários temas foi controversa.

Ganhou de uma bolsa de estudos para estudar no Trinity College Cambridge, foi aluno de Whitehead (1861-1947) e distinguiu-se notavelmente em matemática e filosofia. Russell estudou filosofia na Universidade de Cambridge, tendo iniciado os estudos em 1890.

Tornou-se membro do Trinity College em 1908. Pacifista, e recusando alistar-se na Primeira Guerra Mundial, perdeu a cátedra do Trinity College e esteve preso durante seis meses. Neste período escreveu a Introdução à filosofia matemática. Em 1920, Russell viajou até à Rússia, tendo posteriormente sido professor de filosofia em Pequim por um ano.

Em 1950, Russell recebeu o prêmio Nobel da Literatura "em reconhecimento dos seus variados e significativos escritos, nos quais ele se bateu por ideais humanitários e pela liberdade do pensamento".

Além de lecionar amplamente em universidades americanas, escreveu mais de quarenta livros, entre matemática, lógica, filosofia, sociologia e educação.

Foi contemplado com muitos prêmios, como as medalhas Sylvester e De Morgan Royal Society (1934), a Ordem de Mérito (1940) e o Prêmio Nobel de Literatura (1950). Duas atitudes corajosas e francas muitas vezes envolveram-no em controvérsias. Durante a primeira Guerra Mundial foi desligado da Universidade de Cambridge e preso durante quatro meses por seus pontos de vista pacifistas e por se opor à conscrição.

Na década de 1960 liderou movimentos pacifistas pela proscrição das armas nucleares e também acabou preso, embora por pouco tempo. Homem de espírito e predicados extraordinários faleceu em 1970 mentalmente lúcido e atento, a os noventa e oito anos de idade.

Nasceu em 1872, no auge do poderio econômico e político do Reino Unido e morreu em 1970, vítima de uma gripe, quando o império se tinha desmoronado e o seu poder drenado em duas guerras vitoriosas, mas debilitantes. Até à sua morte, a sua voz deteve sempre autoridade moral, uma vez que ele foi um crítico influente das armas nucleares e da guerra americana no Vietnam.

2.1 ARGUMENTO

Intuitivamente, um argumento é:

“uma seqüência concatenada de proposições com o fim de estabelecer uma proposição definida chamada conclusão”.

Nosso principal objetivo será a investigação da validade de “argumentos”. Argumentar é apresentar uma proposição como sendo uma conseqüência de uma o mais proposições.

Definição 2.1 Argumento.

Chamamos de argumento a um conjunto de proposições operadas por conectivos lógicos, as quais uma proposição é a conclusão e as demais são premissas .

Isto é, um argumento é constituído pelas proposições p1, p2, . . . , pn chamadas premissas, nas quais nos baseamos segundo os conectivos lógicos para garantir uma proposição q chamada conclusão.

Os argumentos estão tradicionalmente divididos em dedutivos e indutivos. Nosso objetivo é o estudo dos chamados “argumentos dedutivos”', esses são na matemática aceitos por ser os mais precisos e persuasivos, provando categoricamente suas conclusões; porém esses tipos de argumentos podem ser válidos ou não-válidos.

Entenderemos como argumento válido quando, da seqüência concatenada de proposições temos a certeza da verdade ( v ) da conclusão, caso contrario quando a conclusão seja falsa ( f ) entenderemos como argumento não-válido.

2.1.1 Argumento: Dedutivo. Indutivo.

Os argumentos estão tradicionalmente divididos em dedutivos e indutivos.

Definição 2.2 Argumento dedutivo.

Diz-se que um argumento é dedutivo quando, sendo suas premissas verdadeiras, a conclusão é também verdadeira.

Premissa: “Todo homem é mortal”.

Premissa: “João é homem”.

Conclusão: “João é mortal”.

Esses argumentos serão objeto de estudo para a compreensão de teorias matemáticas.

Definição 2.3 Argumento indutivo.

Diz-se que um argumento é indutivo quando, a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão.

Premissa: “É comum após a chuva ficar nublado”.

Premissa: “Está chovendo”.

Conclusão: “Ficará nublado”.

As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade.

Argumentos dedutivos possuem três estágios: premissas, inferência e conclusão. Antes abordar estes três estágios em detalhe, precisamos examinar os alicerces de um argumento dedutivo, lembrando a seguinte definição.

Definição 2.4 Proposição.

É uma afirmação que pode ser verdadeira ( v ) ou falsa ( f ). Ela é o significado da afirmação, não um arranjo preciso das palavras para transmitir esse significado.

Por exemplo, quando dizemos:

“Existe um número primo, par e maior que dois”.

estamos nos referindo a uma proposição falsa ( f ). Porém a mesma proposição pode ser expressa de modo diferente, por exemplo:

“Um número primo, par e maior que dois existe”.

ainda assim, continua sendo uma proposição falsa ( f ), observe que infelizmente é muito fácil mudar acidentalmente o significado das palavras apenas reorganizando-as. A dicção da proposição deve ser considerada como algo significante.

É possível utilizar a lingüística formal para analisar e reformular uma afirmação sem alterar seu significado.

2.1.2 Premissas.

Os argumentos dedutivos sempre requerem um certo número de “assunções-base”. São as chamadas “premissas”; e é a partir destas premissas que os argumentos são construídos. Isto é, as premissas são as razões para aceitar-se um argumento. Entretanto, algo que é uma premissa no contexto de um argumento em particular, pode ser a conclusão de outro.

As premissas de todo argumento sempre devem ser explicitadas, esse é o princípio do “audiatur et altera pars “. A omissão das premissas comumente é encarado como algo “suspeito”, e provavelmente reduzirá as chances de aceitação do argumento.

A apresentação das premissas de um argumento geralmente é precedida pelas palavras: “Suponha que, . . .”; “É obvio que, . . .”; ‘ . . . se, e somente se, . . .” e “Demonstre que, . . .”. É imprescindível que o leitor concorde com suas premissas antes de proceder com a argumentação.

Utilizar em matemática a palavra “obvio” tem que gerar desconfiança, o que é “obvio” para um leitor, pode ser demasiado complicado para outro. Não hesite em questionar afirmações supostamente “óbvias”.

2.1.3 Inferência.

Toda vez que existir concordância sobre as premissas, o argumento procede passo a passo através do processo chamado “inferência”.

Na inferência, parte-se de uma ou mais proposições aceitas (premissas) para chegar a outras novas. Se a inferência for válida (no sentido de ser tautológica), a nova proposição também deve ser aceita. Posteriormente essa proposição poderá ser empregada em novas inferências.

Assim, inicialmente apenas podemos inferir algo a partir das premissas do argumento; ao longo da argumentação, entretanto, o número de afirmações que podem ser utilizadas aumenta.

Há vários tipos de inferências válidas, assim como também outras não-válidas. O processo de inferência é comumente identificado pelas frases “conseqüentemente. . “ ou “isto implica que, . . .”

2.1.4 Conclusão.

Finalmente chegaremos a uma proposição que consiste na “conclusão”, isto é, chegaremos a uma proposição que estamos tentando demonstrar. Esta conclusão é o resultado final do processo de inferência, e só pode ser classificada como conclusão no contexto de um argumento em particular, podendo ser a premissa de outro.

A conclusão tem respaldo nas premissas e é inferido a partir delas.

Definição 2.5 Argumento.

Um argumento é uma seqüência finita e ordenada de proposições simples ou compostas p1, p2, p3, . . . , pn chamadas premissas das quais deduzimos uma proposição q chamada conclusão.

Indicaremos um argumento de premissas p1, p2, p3, . . . , pn e conclusão q por:

p1, p2, . . . , pn ├ q

e se lê de uma das seguintes maneiras:

• q é conseqüência de p1, p2, p3, . . . , pn.

• q deduz-se de p1, p2, p3, . . . , pn.

• q infere-se de p1, p2, p3, . . . , pn.

• p1, p2, p3, . . . , pn implicam q .

Da verdade ou falsidade de um argumento, existem argumentos verdadeiros “consistentes” no sentido de manifestar um raciocínio lógico, e argumentos verdadeiros “inconsistentes” no sentido de manifestar um raciocínio duvidoso. Os argumentos falsos não manifestam nenhum raciocínio lógico (são ilógicos).

2.1.5 A Implicação em detalhes.

Evidentemente, pode-se construir um argumento verdadeiros a partir de premissas verdadeiras ( v ), neste caso a conclusão q necessariamente é verdadeira (v ). Também é possível construir argumentos verdadeiros a partir de premissas falsas ( f ), neste caso a conclusão q pode ser verdadeira ( v ) ou falsa ( f ).

Exemplo 2.1 Argumento verdadeiro inconsistente.

Premissa p1: Peixes vivem no oceano. . . . ( v )

Premissa p2: Lontras são peixes. . . . ( f )

Conclusão q: Logo, lontras vivem no oceano. . . . ( f )

Lembre, em todo argumento válido uma coisa que não pode ser feita: partir de premissas verdadeiras, inferir de modo correto, e chegar a uma conclusão falsa.

Podemos resumir esses resultados em uma tabela de “regras de implicação”.

Regras de implicação

Linha Premissa Conclusão Inferência Argumento

p q p  q

1ª. Falsa Falsa Verdadeira verdadeiro

2ª. Falsa Verdadeira Verdadeira verdadeiro inconsistente

3ª. Verdadeira Falsa Falsa falso (ilógico)

4ª. Verdadeira Verdadeira Verdadeira verdadeiro consistente

Desse modo, o fato de um argumento ser verdadeiro não significa necessariamente que sua conclusão seja verdadeira ( v ), pois pode ter partido de premissas falsas.

Argumentos consistentes obrigatoriamente chegam a conclusões verdadeiras.

Exemplo 2.2

A seguir está exemplificado um argumento verdadeiro ( v ), mas que pode ou não ser ”consistente”.

1. Premissa p1: Todo evento tem uma causa.

2. Premissa p2: O Universo teve um começo.

3. Premissa p3: Começar envolve um evento.

4. Inferência: Isso implica que o começo do universo envolveu um evento.

5. Inferência: Logo, o começo do universo teve uma causa.

6. Conclusão q: O universo teve uma causa.

A proposição da linha 4 foi inferido das linhas 2 e 3. A linha 1, então, é usada em conjunto com proposição 4, para inferir uma nova proposição (linha 5). O resultado dessa inferência é reafirmada (numa forma levemente simplificada) como a conclusão 6.

Definição 2.6 Silogismo.

É todo argumento com somente duas premissas e uma conclusão.

Os seguintes quatro exemplos são de silogismo; porem o exemplo (2.3) é de argumento consistente, os exemplos (2.4) e (2.6) são argumentos inconsistentes, e o exemplo (2.5) é argumento falso ( f ).

Exemplo 2.3 Conclusão verdadeira.

Todo ser humano é mortal. Pedro é humano.

Portanto, Pedro é mortal.

Exemplo 2.4 Conclusão falsa.

Toda ave voa. O avestruz é ave.

Portanto, o avestruz voa.

Exemplo 2.5 Conclusão verdadeira.

Todo pingüim é um animal. Meu cachorro não é pingüim.

Portanto, meu cachorro não é um animal.

Exemplo 2.6 Conclusão falsa.

Toda peixe nada. O golfinho não é peixe.

Portanto, o golfinho não nada.

2.1.6 Validade de um argumento.

Dizer que um argumento é bem fundamentado é equivalente a dizer que a conclusão q é conseqüência lógica das premissas. Logo, para cada interpretação da linguagem respeito à qual todas as premissas são verdadeiras, a conclusão será necessariamente verdadeira.

Um argumento verdadeiro ( v ) é consistente ou inconsistente, independente de sua interpretação.

Isto é bastante importante em matemática, já que as demonstrações em matemáticas são argumentos válidos consistentes. Resulta pois obvia a importância de saber se um argumento válido é consistente ou inconsistente.

Definição 2.7

Um argumento p1, p2, p3, . . . , pn ├ q válido é consistente se, a conclusão q é verdadeira ( v ) sempre que, as premissas p1, p2, p3, . . . , pn sejam verdadeiras ( v ).

Os Exemplos (2.7) e (2.8) são de argumento consistente, e os Exemplos (2.9) e (2.10) são de argumento inconsistente.

Exemplo 2.7 Conclusão verdadeira.

Todo múltiplo de 6 é múltiplo de 3. O número 12 é múltiplo de 6.

Portanto, 12 é múltiplo de 3.

Exemplo 2.8 Conclusão verdadeira.

Todo número com exatamente dois divisores é primo.

O número 4 não tem exatamente dois divisores.

Portanto, 4 não é primo.

Exemplo 2.9 Conclusão falsa.

Todo múltiplo de 4 é par. O número 5 é múltiplo de 4.

Portanto, 5 é par.

Exemplo 2.10 Conclusão falsa.

Todo múltiplo de 4 é par. O número 6 não é múltiplo de 4.

Portanto, 6 não é par.

Fica obvio que no Exemplo (2.9) o fato de ser argumento válido, necessariamente alguma das premissas deve ser falsa ( f ) com a interpretação intencional o que caracteriza este exemplo como argumento válido não-correto.

Definição 2.8 Sofisma.

Dizemos sofisma a todo argumento válido inconsistente.

É um exemplo de sofisma o Exemplo (2.9).

A seguinte conversa aconteceu em algum lugar de nosso planeta, e se apresenta a modo de exemplo de argumento válido inconsistente.

Exemplo 2.11

Senhor Bertrand: Mostre que se 3 = 2, então você é Deus.

Demonstração.

Se 3 = 2, então 2 = 1 logo 3=1.

Pai, filho, espírito santo são três pessoas distintas porém somente um Deus verdadeiro.

Bertrand é filho.

Portanto, Bertrand é Deus.

Embora temos que este argumento seja um sofisma observe que a premissa 3 = 2 é falsa, logo o argumento é correto independente da conclusão ser verdadeira o falsa.

Observação 2.1

i) Num argumento válido, a verdade das premissas é incompatível com a falsidade da conclusão.

ii) A Lógica não se preocupa com a validade dos argumentos, nem com a verdade o falsidade das premissas e conclusões.

iii) Afirmar que um argumento é consistente, significa afirmar que as premissas estão de tal modo relacionadas com a conclusão que não é possível ter a conclusão falsa se as premissas são verdadeiras.

Propriedade 2.1

Um argumento p1, p2, p3, . . . , pn ├ q é consistente se, a condicional

p1, p2, p3, . . . , pn  q (2.1)

é tautologia.

Demonstração.

Se o argumento é consistente, então as premissas p1, p2, p3, . . . , pn são verdadeiras logo a proposição p1  p2  p3  . . .  pn é verdadeira.

Sendo o argumento consistente, temos que a conclusão q é verdadeira.

Portanto a condicional (2.1) é tautologia.

Observação 2.2

Se o argumento:

P1(p, q, r, . . .), P2(p, q, r, . . ), P3(p, q, r, . . .), . . , Pn(p, q, r, . ..)  Q(p, q, r, . . . )

é válido, então o argumento da mesma forma:

P1(p, q, r, . . .), P2(p, q, r, . . ), P3(p, q, r, . . .), . . , Pn(p, q, r, . ..) Q(p, q, r, . . . )

é válido quaisquer que sejam as proposições a, b, c, . . .

Exemplo 2.12

O argumento p, q  r,  r ├  q é consistente, pois a fórmula (p  (q  r)   r)   q é uma tautologia.

Como a premissa  r tem que ser verdadeira ( v ), então r tem que ser ( f ).

A premissa q  r tem que ser verdadeira, como r é ( f ), temos que q é falsa ( f ), logo a conclusão q é verdadeira ( v ). É obvio que p tem que ser verdadeira ( v ).

O fato que todas as premissas sejam verdadeiras que a conclusão também é verdadeira verificamos na 4ª linha de sua tabela-verdade.

p q r (p  (q  r)   r)   q

4ª linha v f f v v v

Exemplo 2.13

Do argumento p ├ p  q e da expressão (2.1) segue que os seguintes argumentos são consistentes:

a) ( p  q) ├ ( p  q)  ( s  r)

b) (p  r  s ) ├ (p  r  s )  ( r  s)

Observe em (a ) que, se a premissa ( p  q) é verdadeira, a conclusão ( p  q)  ( s  r) também é verdadeira, independente ao valor lógico de ( s  r). Logo o argumento é válido e consistente.

Por um raciocínio análogo concluímos que o argumento em b) é válido e consistente.

Portanto, a verdade ( v ) de um argumento depende apenas de sua forma e não de seu conteúdo ou da verdade e falsidade das proposições que a integram.

2.1.7 Condicional associada a um argumento.

Devido à Propriedade (2.1), dado um argumento qualquer: p1, p2, p3, . . . , pn ├ q a este argumento corresponde à condicional: (p_1  p_2  p_3  . . .  p_n)  q cujo antecedente é a conjunção das premissas e cujo conseqüente é a conclusão denominada “condicional associada” ao argumento dado.

Reciprocamente, a toda condicional corresponde um argumento cujas premissas são as diferentes proposições cuja conjunção formam o antecedente e cuja conclusão é o conseqüente.

Exemplo 2.14

• A “condicional associada” ao argumento:

p   q, p   r, q   s ├  (r  s)

é a proposição: (p   q  (p   r)  ( q   s))   (r  s)

• O “argumento correspondente” à condicional:

((p  q  r)  ( s  (q  r  s)  (s  p   q)

é a proposição: p  q  r,  s, q  r  s ├ s  p   q)

2.1.8 Reconhecendo Argumentos.

O reconhecimento de argumentos é mais difícil que o das premissas ou conclusão.

Algumas vezes os argumentos não seguem os padrões descritos acima, por exemplo alguém pode dizer quais são suas conclusões, e depois justificá-las. Isso é válido, porém pode ser um pouco confuso.

Para piorar a situação, algumas afirmações parecem argumentos, porém na verdade não o são. Por exemplo, quando alguém diz:

“Se a Bíblia é verdadeira, Jesus ou foi um louco, um mentiroso, ou o Filho de Deus”.

Isso não é um argumento, é uma afirmação condicional. Não explicita as premissas necessárias para embasar as conclusões, sem mencionar que possui outras falhas.

Um argumento não equivale a uma explicação. Suponha que, tentando provar que Albert Einstein acreditava em Deus, disséssemos:

“Einstein afirmou que - Deus não joga dados - porque creia em Deus”..

Isso pode parecer um argumento relevante, mas não é; trata-se de uma explicação da afirmação de Einstein. Para perceber isso, lembre-se que uma afirmação da forma “X, pois Y” pode ser reescrita na forma “Y logo X”. O que resultaria em:

“Einstein creia em Deus, por isso afirmou que Deus não joga dados”.

Agora fica claro que a afirmação, que parecia um argumento, está afirmando a conclusão que deveria estar provando.

Ademais, Einstein não creia num Deus pessoal preocupado com assuntos humanos.

2.1.9 Argumentos consistentes fundamentais.

1. Adição.

a) p ├ p  q b) p ├ q  p

2. Simplificação.

a) (p  q) ├ p b) (p  q) ├ q

3. Conjunção.

a) p, q ├ p  q b)} p, q ├ q  p

4. Modus Ponens.

(p  q), p ├ q

5. Modus Tollens.

( q  p),  p ├ q

6. Equivalência.

p  q, p ├ q

7. Silogismo hipotético.

(p  q), (q  r) ├ (p  r)

8. Silogismo disjuntivo.

a) (p  q),  p ├ q b) (p  q),  q ├ p

9. Dilema construtivo.

(p  q), (r  s), (p  r) ├ q  s

10. Dilema destrutivo.

(p  q), (r  s),  q   s ├  p   r

11. Absorção.

p  q ├ p  (p  q )

A validade destes argumentos, é conseqüência imediata das tautologias elementares do Capítulo I página

A maneira direta de demonstrar que um argumento é válido e consistente, consiste em supor verdadeiras todas as premissas (com respeito a alguma interpretação), sem considerar a interpretação intencional, nem nenhuma interpretação em particular.


 

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