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FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Christian Q. Pinedo



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Capítulo I. LÓGICA MATEMÁTICA

Aristóteles

Aristóteles nasceu em Estagira em 384a.C. e faleceu em Calcis (Eubea), em 322a.C. Estudou com Platão durante vinte anos e lecionou na Academia que Platão fundou.

Depois de viajar por vários países, voltou a Atenas, onde abriu uma escola de Filosofia, que competiu com seriedade e exito com a Academia de seu mestre.

Esteve bastante ligado com Alexandre o Grande (356-323a.C.), de quem havia sido conselheiro, razão pela qual, à morte de este, teve que abandonar Atenas, onde não pode mais ingressar.

Aristóteles representa o ponto máximo da ciência e filosofia clássica, as quais contribuiu como pensador excepcional e como pesquisador audacioso e sistemático. É daí que praticamente todas suas obras estão relacionadas com a ciência da natureza, além da lógica, da metafísica, da ética, da política, da retórica e da poética, algo assim como uma enciclopédia do saber de sua época.

1.1 EVOLUÇÃO DA LÓGICA

1.1.1 Introdução.

Podemos pensar a lógica como o estudo do raciocínio correto. O raciocínio é o processo de obter conclusões a partir de suposições ou fatos. O raciocínio correto é o raciocínio onde as conclusões seguem-se necessária e inevitavelmente das suposições ou fatos.

A lógica procura estudar as coisas da mente, e não as coisas reais. Por exemplo, quando dizemos: arco-íris bonito, sol distante, praia suave são classificações que damos às coisas. Aplicamos lógica na filosofia, matemática, computação, física entre outros.

Na filosofia para determinar se um certo raciocínio é válido ou não, pois uma frase pode ter diferentes interpretações, não obstante a lógica permite saber o significado correto. Nas matemáticas para demonstrar teoremas e inferir resultados corretos que podam ser aplicados nas pesquisas. Na computação para determinar se um determinado “programa” é correto ou não, na física para obter conclusões de experimentos. Em geral a lógica aplicamos nas tarefas do dia-dia, qualquer trabalho que realizarmos tem um procedimento lógico.

A lógica é somente mais uma teoria do pensamento; Aristóteles é considerado o criador da lógica, porem o nome “lógica” veio bem depois. No início ela não tinha um nome. Para Aristóteles, a lógica seria um modo a ser usado para as pessoas poderem raciocinar com segurança (evitando errar).

Observe um exemplo da lógica dedutiva de Aristóteles:

 Todo planeta é quadrado.

 A Terra é um planeta.

 Logo, a Terra é quadrada.

É lógica dedutiva pelo fato que ao começar com algumas informações, pode-se chegar a uma conclusão (deduzir!); esta investigação é chamada de Silogismo.

Esta lógica não se preocupa com o fato de a Terra ser quadrada, mesmo que se saiba que ela é redonda. Pouco importa, ela aceita a informação que lhe foi dada. Mas exige que o raciocínio esteja correto. Preocupa-se com a forma: A = B, então, B = A. Ela não presta atenção ao conteúdo: A ou B podem ser planetas, burros, plantas, etc. Por isso, esta lógica é formal (de forma) e dedutiva (de dedução).

A nossa lógica formal dedutiva funciona assim: a partir de uma seqüência de orações verdadeiras chegamos a uma conclusão verdadeira; a lógica sempre utiliza uma linguagem exata (símbolos, sinais). Isso simplifica e facilita seu estudo.

Aristóteles também elaborou a argumentação lógica indutiva.

 A baleia, o homem e o cãozinho são mamíferos.

 A baleia, o homem e o cãozinho mamam.

 Logo, os mamíferos mamam.

Ou seja, de enunciados singulares chegamos a um universal.

Mais tarde, Bacon e Stuart Mill aprofundaram esses ensinamentos e dividiram a lógica em três áreas:

1. Formal: Aquela que acabamos de explicar.

2. Transcendental: Esta lógica estuda as condições que dão base ao nosso conhecimento. Kant explicou que o intelecto tende a colocar todo em ordem, cada tijolinho no lugar. Aliás, cada pessoa já possui uma lógica natural ao interpretar e classificar o que ela vivencia.

3. Matemática: Os filósofos desenvolveram a lógica matemática há pouco tempo (Frege, Pea no, Russell e outros). Ela origina fórmulas de outras fórmulas, é puro raciocinio. São regras e mais regras inventadas, como jogos de cartas.

Hegel, no entanto, achava que a lógica referia-se ao pensamento e à realidade; disse que:

“todo o que é racional é real, e todo o que é real é racional”.

A lógica é uma ciência, uma arte, um jogo; todo se passa como em um tabuleiro de xadrez.

Mas vejamos também um outro tipo de lógica, a que considera a verdade (o conteúdo). Ela considera o desconhecido, a dúvida, a opinião, a certeza.

É chamada de lógica material. Ela não aceita o fato se alguém diz que a Terra é quadrada. Temos alguns conceitos nesta lógica:

 “Ignorância” é a falta do conhecimento.

 “Dúvida” é a indecisão entre uma afirmação e uma negação.

 “Opinião” é uma opção que envolve a dúvida.

 “Certeza” é um firme apego à verdade.

A verdade pode gerar muita discussão e barulho. Afinal, como podemos saber o que é mesmo a verdade? Os “céticos”, por exemplo, acham que não podemos afirmar nada; pois todo é incerto.

Já quem segue o dogmatismo considera que a razão humana pode conhecer a verdade. E há muitas outras posições sobre a verdade: positivistas, idealistas e outras.

O importante é saber que a verdade varia conforme os muitos sistemas filosóficos. Isso pode ser poético. Existem verdades e a lógica utiliza a que deseja utilizar. A lógica material defende a verdade na qual acredita de perigos como o “sofisma”.

“Sofisma” é um raciocínio errado com a aparência de verdadeiro, tem a intenção de conduzir ao erro; observe o raciocínio:

 Maria Alice é bonita.

 Maria Clara é bonita.

 Logo, todas as Marias são bonitas.

Você já imaginou o que seria se não existisse lógica nas coisas? Já imaginou se nada fizesse sentido? Hoje, a lógica é fundamental em nossa sociedade. Dizemos que ela está na informática, no ensino, na matemática, na medicina, etc.

Logo, o resumo de todo isto, é que podemos considerar como sendo válida a seguinte definição.

Definição 1.1 Lógica.

Define-se lógica como “a ciência da argumentação, prova, reflexão ou inferência”. Ela lhe permitirá analisar um argumento ou raciocínio e deliberar sobre sua veracidade. A lógica não é um pressuposto para a argumentação, é claro; mas conhecendo-a, mesmo que superficialmente, torna-se mais fácil evidenciar argumentos inválidos.

1.1.2 Evolução da lógica.

1.1.2.1 Período Aristotélico (  390 a.C. a  1.840 d.C.)

A história da lógica tem início com o filósofo grego Aristóteles de Estagira (384 - 322a.C.) (hoje Estavo) na Macedônia. Aristóteles criou a ciência da lógica cuja essência era a teoria do silogismo (certa forma de argumento válido). Seus escritos foram reunidos na obra denominada “Organon'' ( “Instrumento da Ciência''). Na Grécia, distinguiram-se duas grandes escolas de lógica, a:

 Peripatética que derivava da escola fundada por Aristóteles, e a;

 Estóica fundada por Zenão (326-264a.C.).

A escola Estóica foi desenvolvida por Crisipo (280-250a.C.) a partir da escola Megária fundada por Euclides, (seguidor de Sócrates). Segundo Kneale (“O Desenvolvimento da lógica”), houve durante muitos anos certa rivalidade entre os Peripatéticos e os Megários, isto talvez tenha prejudicado o desenvolvimento da lógica, embora na verdade as teorias destas escolas fossem complementares.

Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX.

1.1.2.2 Período Booleano ( 1840 a  1910)

Inicia-se com George Boole (1815-1864) e Augustus de Morgam (1806-1871). Publicaram os fundamentos da chamada ”Álgebra da lógica” respectivamente com “Mathematical Analysis of Logic”' e “Formal Logic”. Gotlob Frege (1848-1925) um grande passo no desenvolvimento da lógica com a obra “Begriffsschrift” de 1879. As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu. Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda a simbologia da matemática se deve a essa escola italiana.

1.1.2.3 Período Atual (1910- . . . )

Com Bertrand Russell (1872-1970) e Alfred North Whitehead (1861-1947) se inicia o período atual da lógica, com a obra “Principia Mathematica”. David Hilbert (1862-1943) e sua escola alemã com Von Neuman, Bernays, Ackerman e outros. Kurt Gödel (1906-1978) e Alfred Tarski (1902-1983) com suas importantes contribuições. Surgem as lógicas não-clássicas: N.C.A. da Costa (Universidade de São Paulo) com as lógicas paraconsistentes, L. A. Zadeh (Universidade de Berkeley-USA) com a lógica ``fuzzy'' e as contribuições dessas lógicas para a Informática, no campo da “Inteligência Artificial” com os “Sistemas Especialistas”.

Hoje as especialidades se multiplicam e as pesquisas em lógica englobam muitas áreas do conhecimento.


 

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