BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales


FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Christian Q. Pinedo



Esta página muestra parte del texto pero sin formato.

Puede bajarse el libro completo en PDF comprimido ZIP (264 páginas, 1.49 Mb) pulsando aquí

 

 

6.3 LEIS DE COMPOSIÇÃO

6.3.1 Lei de composição interna.

Definição 6.13

Dizemos lei de composição interna sobre um conjunto A, à relação que a cada par ordenado (a, b)  A  A associa outro elemento c  A

O elemento c  A diz-se composto de a e b .

Para indicar uma lei de composição interna podemos utilizar, por exemplo, o sinal * , e escreve-se a * b = c .

Uma lei de composição interna é pois uma aplicação f :A  A  A de modo que f(a, b) = c .

Exemplo 6.11

No conjunto N, a lei de composição interna chamada multiplicação associa ao par (2, 5) o número 10 e escreve-se 2  5 = 10 ou 2 .5 = 10 .

6.3.1.1 Propriedades da lei de composição interna.

Propriedade 6.1 Comutativa.

Uma lei de composição interna sobre um conjunto A , diz-se comutativa quando temos:

a * b = b * a para todo a, b  A

Exemplo 6.12

No conjunto N, a adição é comutativa: a + b = b + a para todo a, b  N.

Propriedade 6.2 Associativa.

Uma lei de composição interna sobre um conjunto A , diz-se associativa quando temos:

(a * b)*c = a * (b*c) ; a, b, c  A

Exemplo 6.13

No conjunto N, a multiplicação é associativa:

(a  b)  c = a  (b  c)  a, b, c  N

Definição 6.14 Regularidade.

Uma elemento a  A , diz-se regular para a lei de composição interna * , quando para todo x, y  A temos:

a * x = a * y e x * a = y * a  x = y

Isto significa que na igualdade a * x = a * b por exemplo, podemos simplificar o elemento a .

Exemplo 6.14

Todo número natural é regular em relação à adição:

a + x = a + y  x = y

Definição 6.15 Elemento neutro.

Um elemento e  A diz-se elemento neutro para a lei de composição interna * , quando para todo x  A temos: a*e = e*a = a

Exemplo 6.15

No conjunto dos números naturais N , o número 1 é o elemento neutro para a multiplicação: n  1 = 1  n = n  n  N.

Definição 6.16 Elemento simétrico.

Seja * uma lei de composição interna sobre um conjunto A , possuindo um elemento neutro e . Diz-se que o elemento x'  A é simétrico de outro elemento x  A , quando temos x * x' = x' * x = e

Exemplo 6.16

No conjunto dos números inteiros Z, os números -3 e 3 são simétricos em relação à adição, isto pelo fato de (5)+(-5) = (-5)+(5) = 0 .

Definição 6.17 Distributividade.

Sejam * e  duas leis de composição interna definidas sobre um conjunto A . Diz-se que a lei * é distributiva em relação à lei  quando temos: a * (b c) = a * b  a * c  a, b, c  N.

Exemplo 6.17

No conjunto dos números naturais N, a lei de multiplicação é distributiva em relação à lei de adição: a  (b+c) = a  b + a  c  a, b  N.

6.3.2 Isomorfismo.

Sejam dois conjuntos A e B , sendo A munido de uma lei de composição interna * e B de outra lei interna , denotamos (A, *) e (B, ).

Definição 6.18 Isomorfismo.

Chama-se isomorfismo de (A, *) sobre (B, ) a uma aplicação biunívoca f de A em B tal que para a, b  A , temos:

f(a * b ) = f(a)  f(b)

Logo, dizemos que dois conjuntos ordenados são isomorfos, se existe entre seus elementos uma correspondência biunívoca que preserva a relação de ordem.

Quando um conjunto ordenado A é isomorfo a um conjunto ordenado B , denotamos A  B.

Portanto, se existe uma aplicação f:A  B injetiva e sobrejetiva que tem a propriedade de que,  a, b A, a b se, e somente se, f(a) f(b) .

Dizemos que a aplicação f é uma “aplicação isomorfa” ou simplesmente “f é isomorfismo de A em B”.

Exemplo 6.18

Consideremos o conjunto dos números reais positivos R+ , onde a lei  é a multiplicação, e o conjunto R onde a lei interna é a adição + .

A aplicação x  log x , isto é f(x) = log x é um isomorfismo, isto pelo fato de log (x  y ) = log x + log y e a aplicação é biunívoca, pois log u = log v  u = v

Exemplo 6.19

Seja o conjunto A = { 1, 2, 6, 8 } ordenado pela relação “x divide a y”, e o conjunto B = { a, b, c, d } ordenado pelo diagrama da Figura (6.3).

Figura 6.3: Figura 6.4:

Um diagrama para o conjunto A mostra-se na Figura (6.4). Então A  B , pois a aplicação f: A  B é isomorfismo de A em B , observe que f = { (8, a), (6, b), (2, c), (1, d) } é uma correspondência biunívoca preservando a relação de ordem.

Note que g = { (8, b), (6, a), (2, c), (1, d)} também é um isomorfismo de A em B .

6.3.3 Lei de composição externa.

Definição 6.19 Lei de composição externa.

Dados dois conjuntos A e B, diz-se que existe sobre A uma lei de composição externa, quando a cada elemento m  A e a cada elemento   B se associa o elemento m  A

Os elementos do conjunto A dizem-se operadores; assim o elemento m  A opera sobre o elemento   B, transformando-o no elemento  m  A .

Uma tal lei de composição externa é uma aplicação do conjunto A  B no conjunto A.

Exemplo 6.20

Se A for o conjunto dos números reais R , e B o conjunto de vetores de R2 , isto é = (a, b)  R2, ao par (m, )  RR2 fazemos corresponder o vetor m , sendo a lei a multiplicação de um escalar por um vetor definido por m = (ma, mb)  R2.


 

Grupo EUMEDNET de la Universidad de Málaga Mensajes cristianos

Venta, Reparación y Liberación de Teléfonos Móviles
Enciclopedia Virtual
Biblioteca Virtual
Servicios
 
Todo en eumed.net:

Congresos Internacionales


¿Qué son?
 ¿Cómo funcionan?

 

15 al 29 de
julio
X Congreso EUMEDNET sobre
Turismo y Desarrollo




Aún está a tiempo de inscribirse en el congreso como participante-espectador.


Próximos congresos

 

06 al 20 de
octubre
I Congreso EUMEDNET sobre
Políticas públicas ante la crisis de las commodities

10 al 25 de
noviembre
I Congreso EUMEDNET sobre
Migración y Desarrollo

12 al 30 de
diciembre
I Congreso EUMEDNET sobre
Economía y Cambio Climático

 

 

 

 

Encuentros de economia internacionales a traves de internet


Este sitio web está mantenido por el grupo de investigación eumednet con el apoyo de Servicios Académicos Internacionales S.C.

Volver a la página principal de eumednet