6.3 LEIS DE COMPOSIÇÃO

6.3.1 Lei de composição interna.

Definição 6.13

Dizemos lei de composição interna sobre um conjunto A, à relação que a cada par ordenado (a, b)  A  A associa outro elemento c  A

O elemento c  A diz-se composto de a e b .

Para indicar uma lei de composição interna podemos utilizar, por exemplo, o sinal * , e escreve-se a * b = c .

Uma lei de composição interna é pois uma aplicação f :A  A  A de modo que f(a, b) = c .

Exemplo 6.11

No conjunto N, a lei de composição interna chamada multiplicação associa ao par (2, 5) o número 10 e escreve-se 2  5 = 10 ou 2 .5 = 10 .

6.3.1.1 Propriedades da lei de composição interna.

Propriedade 6.1 Comutativa.

Uma lei de composição interna sobre um conjunto A , diz-se comutativa quando temos:

a * b = b * a para todo a, b  A

Exemplo 6.12

No conjunto N, a adição é comutativa: a + b = b + a para todo a, b  N.

Propriedade 6.2 Associativa.

Uma lei de composição interna sobre um conjunto A , diz-se associativa quando temos:

(a * b)*c = a * (b*c) ; a, b, c  A

Exemplo 6.13

No conjunto N, a multiplicação é associativa:

(a  b)  c = a  (b  c)  a, b, c  N

Definição 6.14 Regularidade.

Uma elemento a  A , diz-se regular para a lei de composição interna * , quando para todo x, y  A temos:

a * x = a * y e x * a = y * a  x = y

Isto significa que na igualdade a * x = a * b por exemplo, podemos simplificar o elemento a .

Exemplo 6.14

Todo número natural é regular em relação à adição:

a + x = a + y  x = y

Definição 6.15 Elemento neutro.

Um elemento e  A diz-se elemento neutro para a lei de composição interna * , quando para todo x  A temos: a*e = e*a = a

Exemplo 6.15

No conjunto dos números naturais N , o número 1 é o elemento neutro para a multiplicação: n  1 = 1  n = n  n  N.

Definição 6.16 Elemento simétrico.

Seja * uma lei de composição interna sobre um conjunto A , possuindo um elemento neutro e . Diz-se que o elemento x'  A é simétrico de outro elemento x  A , quando temos x * x' = x' * x = e

Exemplo 6.16

No conjunto dos números inteiros Z, os números -3 e 3 são simétricos em relação à adição, isto pelo fato de (5)+(-5) = (-5)+(5) = 0 .

Definição 6.17 Distributividade.

Sejam * e  duas leis de composição interna definidas sobre um conjunto A . Diz-se que a lei * é distributiva em relação à lei  quando temos: a * (b c) = a * b  a * c  a, b, c  N.

Exemplo 6.17

No conjunto dos números naturais N, a lei de multiplicação é distributiva em relação à lei de adição: a  (b+c) = a  b + a  c  a, b  N.

6.3.2 Isomorfismo.

Sejam dois conjuntos A e B , sendo A munido de uma lei de composição interna * e B de outra lei interna , denotamos (A, *) e (B, ).

Definição 6.18 Isomorfismo.

Chama-se isomorfismo de (A, *) sobre (B, ) a uma aplicação biunívoca f de A em B tal que para a, b  A , temos:

f(a * b ) = f(a)  f(b)

Logo, dizemos que dois conjuntos ordenados são isomorfos, se existe entre seus elementos uma correspondência biunívoca que preserva a relação de ordem.

Quando um conjunto ordenado A é isomorfo a um conjunto ordenado B , denotamos A  B.

Portanto, se existe uma aplicação f:A  B injetiva e sobrejetiva que tem a propriedade de que,  a, b A, a b se, e somente se, f(a) f(b) .

Dizemos que a aplicação f é uma “aplicação isomorfa” ou simplesmente “f é isomorfismo de A em B”.

Exemplo 6.18

Consideremos o conjunto dos números reais positivos R+ , onde a lei  é a multiplicação, e o conjunto R onde a lei interna é a adição + .

A aplicação x  log x , isto é f(x) = log x é um isomorfismo, isto pelo fato de log (x  y ) = log x + log y e a aplicação é biunívoca, pois log u = log v  u = v

Exemplo 6.19

Seja o conjunto A = { 1, 2, 6, 8 } ordenado pela relação “x divide a y”, e o conjunto B = { a, b, c, d } ordenado pelo diagrama da Figura (6.3).

Figura 6.3: Figura 6.4:

Um diagrama para o conjunto A mostra-se na Figura (6.4). Então A  B , pois a aplicação f: A  B é isomorfismo de A em B , observe que f = { (8, a), (6, b), (2, c), (1, d) } é uma correspondência biunívoca preservando a relação de ordem.

Note que g = { (8, b), (6, a), (2, c), (1, d)} também é um isomorfismo de A em B .

6.3.3 Lei de composição externa.

Definição 6.19 Lei de composição externa.

Dados dois conjuntos A e B, diz-se que existe sobre A uma lei de composição externa, quando a cada elemento m  A e a cada elemento   B se associa o elemento m  A

Os elementos do conjunto A dizem-se operadores; assim o elemento m  A opera sobre o elemento   B, transformando-o no elemento  m  A .

Uma tal lei de composição externa é uma aplicação do conjunto A  B no conjunto A.

Exemplo 6.20

Se A for o conjunto dos números reais R , e B o conjunto de vetores de R2 , isto é = (a, b)  R2, ao par (m, )  RR2 fazemos corresponder o vetor m , sendo a lei a multiplicação de um escalar por um vetor definido por m = (ma, mb)  R2.