BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales


FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Christian Q. Pinedo



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2.2 INFERÊNCIA LÓGICA

Os argumentos estudados na seção anterior servem para fazer “inferências”; isto é, para executar uma dedução ou demonstração.

Logo, se de uma o mais proposições (premissas) deduzimos a afirmação de certa proposição (conclusão) então teremos construído uma inferência.

Uma inferência é válida se, e somente se, a conjunção das premissas implica a conclusão. Logo as inferências lógicas obedecem a princípios tautológicos.

Os princípios lógicos (tautológicos) utilizados para a obtenção de inferências lógicas geralmente são implicativos e são denominados regras de inferência lógica.

Os argumentos fundamentais da Seção 2.1 deste capítulo são usados para fazer inferências, isto é, executar os passos de uma dedução ou demonstração.

2.2.1 Regras de inferência.

Os argumentos baseados em tautologias representam métodos de raciocínio universal válido. Sua validade depende somente do modo em que as proposições intervierem e não dos valores de verdade que elas acusam. Estes argumentos são chamados de regras de inferência. As regras de inferência permitem relacionar dois ou mais tautologias ou hipóteses em uma demonstração.

Determine se o argumento do exemplo a continuação é válido.

Exemplo 2.15

Se você investe no mercado de valores, então você ficará rico.

Se você fica rico, então você será feliz.

Portanto, se você investe no mercado de valores, então você será feliz.

Solução

Seja:

p : você investe no mercado de valores, p  q

q : você ficará rico, q  r

r : você será feliz.  p  r

De modo que este enunciado podemos representar com notação lógica do seguinte modo:

Aplicando silogismo hipotético, concluímos que este argumento é válido.

2.2.2 Principais regras de inferência lógica.

2.2.3.1. Principio da adição.

Dada uma proposição p, dela podemos deduzir sua disjunção com qualquer outra proposição.

Seu esquema lógico é da forma: p

 p  r

Exemplo 2.16

Premissa 1: Jorge é médico.

Portanto, Jorge é médico ou Pedro é engenheiro.

Exemplo 2.17

a) p b)  p

 p   q   p  q

c) p  q d) a  4

 (p  q)  r  a  4  a = 8

2.2.2.2. Principio da simplificação.

Dada a conjunção p  q de duas proposições p e q, podemos deduzir cada uma das proposições p ou q.

O esquema lógico para é: p  q

 p

Exemplo 2.18

Premissa 1: Jorge é médico e Pedro é engenheiro.

Portanto, Jorge é médico.

Exemplo 2.19

a) (p  q)  r b) p  ( q  q)

 (p  q)   q  q

c) x < 9  x  2 d) a  4  a = 8

 x  2  a  4

2.2.2.3. Principio do desligamento (Modus Ponens).

Conhecida também como regra de separação, permite deduzir a conclusão q a partir das premissas p  q e p.

Seu esquema é: p  q

p

 q

Exemplo 2.20

Premissa 1: Se faz calor, então a água da piscina esta quente.

Premissa 2: Faz calor.

Portanto, a água da piscina esta quente.

Esta inferência obedece à tautologia Modus Ponens ((p  q)  p)  q

Exemplo 2.21

a)

 p   q b) (p  q)  r

p  q

  q  r

c) x2 = 0  x = 0

x2 = 0 d) (a  4  a = 8)  a = 3

a  4  a = 8

 x = 0  a = 3

2.2.2.4. Principio da conjunção.

Seu esquema lógico é

a) p

q b) p

q

 (p  q)  (q  p)

2.2.2.5. Principio da contra-proposição (Modus Tollens).

Seu esquema é:

p  q

 q

  p

Exemplo 2.22

Premissa 1: Se este volume é um caderno, então é de papel.

Premissa 2: Este volume não é de papel.

Portanto, este volume, não é um caderno.

Esta inferência obedece à tautologia Modus Tollens ((p  q)   q)   p

2.2.2.6. Principio da inferência equivalente.

Seu esquema lógico é: p  q

p

 q

Exemplo 2.23

Premissa 1: 4 - 4 = 0 se, e somente se, 4 = 4.

Premissa 2: 4 - 4 = 0.

Portanto, 4 = 4.

2.2.2.7. Principio do silogismo hipotético.

Consiste em, dada duas condicionais p  q e q  r, tais que o conseqüente da primeira coincide com o antecedente da segunda, deduzir uma terceira condicional p  r (transitividade).

Seu esquema é: p  q

q  r

 p  r

Exemplo 2.24

a)  p   q

 q   r b)  p  q  r

q  r   s

  p   r   p   s

c) x2 = 0  x = 0

x=0  x + 2 = 2 d) (p  q)  r

r  (q  s)

 x^2 = 0  x+2=2  p  (q  s )

Exemplo 2.25

Mostre que o seguinte argumento é válido:

Sejam a, b, c  R, onde a  0, então a solução da equação ax2 + bx + c = 0, é dada pela expressão x =

Solução

1. p : ax2 + bx + c = 0 a  0 hipótese.

2. q : x2 + ( ) x + = 0 . . . divisão em R

3. r : x2 + 2 x + + ( )2 = ( )2 . . completando quadrados

4. s : (x+ )2 = . . . propriedade em R

5. t : x = . . . raiz quadrada em R

Portanto, o argumento ( p  q  r  s  t)  t é válido; é uma inferência.

2.2.2.8. Silogismo disjuntivo.

Permite deduzir da disjunção p  q de duas proposições e da negação  p (ou  q) de uma delas a outra proposição q (ou p). Seu esquema lógico é:

a) p  q

 p b) p  q

 q

 q  p

Exemplo 2.26

a) x^2 = 0  x^2 = 1

x^2  1 b)  (p  q)  r

  (p  q)

 x2 = 0  r

2.2.2.9. Dilema construtivo.

Nesta regra, são premissas duas condicionais e a disjunção dos seus antecedentes; a conclusão é a disjunção dos conseqüentes destas condicionais. Seu esquema é:

p  q

r  s

p  r

 q  s

Exemplo 2.27

a) (p  q)   r

s  t

(p  q)  s b) a + b = 5  a = -3

a + b  5  a > -3

a + b = 5  a + b  5

  r  t  a = - 3  a > -3

2.2.2.10. Dilema destrutivo.

Nesta regra, são premissas duas condicionais e a disjunção da negação dos seus conseqüentes; a conclusão é a disjunção da negação dos antecedentes destas condicionais. Seu esquema é:

p  q

r  s

 q   s

  p   r

Exemplo 2.28

a)  q  r

p   s

 r    s b) a + b = 5  a = -3

b - a = 11  a = 8

a  -3  a  8

   q   p  a + b  5  b - a  -3

2.2.2.11. Absorção.

Esta regra permite, dada uma condicional p  q como premissa, dela deduzir como conclusão uma outra condicional com o mesmo antecedente p e cujo conseqüente é a proposição p  q.

Seu esquema é:

p  q

p

 p  p  q

Exemplo 2.29

a) p  q

p b) p   q

p

 p  p  q  p  (p  q)

c) x2 = 0  x = 0

x2=0 d) a  4  a = 5

a  4

 x2 = 0  x2 = 0  x = 0  a  4  a  4  a = 5

2.2.2.12. Principio da substituição de variáveis.

Exemplo 2.30

Premissa 1:

Premissa 2: Todos os humanos se alimentam

Carlos é humano.

 Carlos se alimenta.

A premissa 2 é o resultado de substituir um elemento do domínio da premissa 1 por um valor específico.

2.2.3 Verificação com o uso de tabela-verdade

Para verificar se uma regra de inferência:

P1

P2

P3

.

.

.

Pn

 Q

é válida com o uso das tabelas verdade, é suficiente verificar se a fórmula (P1  P2  P3 . . .  Pn)  Q é tautologia. Lembre que Pi e Q tem que ser verdadeiras.

Exemplo 2.31

Verificar se a seguinte regra de inferência é válida:

(p  q)  (p  q)

(p  q)

 (p  q)

Solução

Tem-se que (p  q) é verdadeiro ( v ) sempre que simultaneamente p e q sejam falsas ( f ). Assim a proposição p  q) resulta ser verdadeira ( v ) conseqüentemente (p  q)  (p  q) é verdadeira.

Mediante o uso da tabela-verdade temos que o fato que todas as premissas sejam verdadeiras que a conclusão também é verdadeira verificamos na 4a linha de sua tabela-verdade.

p q ((p  q)  (p  q))  (p  q)  (p  q)

4a linha  f f v ( v ) v

Observe que a regra de inferência é válida, é tautologia.

Exemplo 2.32

Verificar se a seguinte regra de inferência é válida:

Solução

Mediante o uso da tabela-verdade temos que o fato p

p  r

 r

  q

que todas as premissas sejam verdadeiras que

a conclusão também é verdadeira verificamos na 4a linha de sua tabela-verdade.

p q r (p  (q  r)   r   q

4a linha  v f f v ( v ) v

é uma tautologia, logo a regra de inferência é válida.

Exemplo 2.33

Determine a validade do seguinte argumento:

p  q

q  r

 r

 p

Solução

Mostra-se que ((p  q)  (q  r)   r )  p é tautologia.

Portanto, o argumento (p  q), (q  r),  r ├ p é válido.

2.2.4 Verificação sem o uso de tabela-verdade.

Para a verificação de um argumento, sem o uso da tabela-verdade um dos métodos é o axiomático.

2.2.4.1 Método axiomático.

O método axiomático ou de fundamentação da ciência matemática, consiste em fixar conceitos primitivos (ou não definidos) e proposições sobre estes conceitos chamados axiomas (ou postulados) cuja verdade aceitasse convencionalmente sem demonstração, para logo efetuar outros conceitos matemáticos.

Aqueles outros conceitos matemáticos englobam a formulação de conceitos definidos e a inferência ou dedução da proposições matemáticas chamadas de teoremas cuja verdade ou falsidade tem que ser demonstrada.

Tanto a dedução de teoremas, quanto a demonstração dos mesmos, devem-se explicar utilizando princípios lógicos, isto permite o avanço seguro do moderno pensamento matemático.

Os princípios lógicos são extremadamente em abundância e adotam como estudamos as mas variadas formas. Não obstante os mas importantes, devido a seu sua maior utilização são os implicativos, isto porque facilitam as definições matemáticas e permitem conectar implicativamente os axiomas com os teoremas. Quase a totalidade dos teoremas são da forma p  q.

Logo para demonstrar que se cumpre tal implicação devemos utilizar os conceitos de tabela-verdade para a mesma. Existem duas maneiras fundamentais da teoria da demonstração:

1º. Demonstração direta.

2º. Demonstração indireta: (a) Por contraposição. (b) Por casos. (c) Por redução ao absurdo. (d) Por árvore de refutação.

Exercícios 2-1

1. Para cada um dos seguintes argumentos, determine quais são:

• Válidos e corretos (consistentes).

• Válidos e não-corretos (inconsistentes).

• Não válidos (não tem sentido).

1. X é um número menor que todos os números menores que Y.

X não é menor que X.

Portanto, X não é menor que Y.

2. João é irmão de todos os irmãos de Roberto.

João não é irmão de si mesmo.

Portanto, João não é irmão de Roberto.

3. Se hoje é 3a então amanhã será 4a.

Amanhã será 4a.

Portanto, hoje é 3a.

4. Todos tem medo de Dracula.

Dracula somente tem medo de Richard.

Portanto, Richard é Dracula.

5. Romeo ama Julieta.

Julieta é uma palavra de sete letras.

Portanto, Romeo ama uma palavra de sete letras.

6. O número 2 divide o numerador de 6/8.

6/8 = 3/4.

Portanto, 2 divide ao numerador de 3/2.

7. Todos os borogroves são kismis, se alguém tirila.

Nito tirila e Pac é um borogrove.

Portanto, Pac é um kismi.

8. Qualquer barbeiro de Itapejara, faz a barba a todos os homens de Itapejara que não se fazem a barba, e somente a eles.

Portanto, não há barbeiros em Itapejara.

9. João chegará, se o dia esta bom.

Hoje o dia não esta bom.

Portanto, João não chegará.

2. Construir a condicional associada a cada um dos seguintes argumentos:

1.  p,  q  p ├ q.

2. p  q ├  (p   q)

3. p, p  q,  q  (r  s) ├ r  s

4. a = b  a = 8, a = 5  a > c ├ a = b  a > c

3. Construir o argumento correspondente a cada uma das seguintes condicionais:

1. p  (q   p)  q 2. (p  q)  (p   q)  s

3.  (a < 5  a  b)  a  5  b = a

4. Indicar a regra de inferência que justifique a validade dos seguintes argumentos:

1. p  q ├ (p  q)   r

2. a  8, a  3 ├ a  8  a  3

3. a+b = c  b+a=c, a+b = c ├ b+a=c

4. (p  q)  ( p  r),  ( p  r ) ├ p  q

5. p  q, r   s ├ (p  q)  (r   s)

6.  p  (q  r) ├  p

7. p  q, q   r ├ p   r

8. p  q  r ├ p  p  (q  r)

9. p  (q  r ), p ├ q  r

10. x, y  R  x+y  R , x + y R ├ x , y R

11. (q  r)   p,   p ├  (q  r)

12. 4 < 7 ├ 4 < 7  4 < 3

13. a  1  a = 0, a  0 ├ a  1

14. b = 1  b > 4, b > 4  a+b > 6 ├ b = 1  a+b > 6

15.  < 3   > 4 ├  > 4

5. Verificar se são válidos os seguintes argumentos:

1. p  q ├  p   q 2. p  q ├ p

3. p  q, p  r,  q ├ r 4. p  q,  p ├  q

5.  (p  q ), (p  q )  (p  q )  r ├ (p  q)  r

6. Indicar quais, dos seguintes esquemas lógicos são regras de inferência:

1. p  q

p 2. p  q

 p 3. p  q

p  q 4. q

p  q

 q   p  q  q

7. Utilizar Modus Ponens para deduzir a conclusão de cada uma dos seguintes pares de premissas:

1. a = b  b = c 2. x, y  R  xy  R

(a = b  b = c)  a = c x, y  R

3. (a < b  b < c )  a < c 4. 4 > 2  5 > 2

a < b  b < c 4 > 2

5. a = 1 = 2 6. a + 4 = b  a = b

a = 1 = 2  b + 1 = 2 a + 4 = b

8. Demonstrar a validade das seguintes regras de inferência:

1. p  q

 q 2. p  q

p 3. p  q

q  r 4. p  q

r   p

  p  q   r  q

9. Utilizar Modus Tollens para deduzir a conclusão de cada uma dos seguintes pares de premissas:

1. a = 6  a+b = b 2. a = c  a = 0

a+b  b a  0

3. (p  q )   (r  s) 4. 4 > 2  4 > 1

  (r  s) 4  1 4 > 2

10. Verificar se são válidos os seguintes argumentos:

1. Se eu fosse matemático, seria inteligente; não sou matemático, logo não sou inteligente.

2. Não é verdade que eu gosto de churrasco e de batatas; eu gosto de churrasco e batatas ou não estudo ou se gosto de churrasco não gosto de batata. Segue-se que eu estudo ou se gosto de churrasco, então, gosto de batata.

3. Se eu gosto de açúcar, então, entendo matemática. Eu gosto de açúcar ou vou a dançar. Não entendo matemática. Logo, vou a dançar.

4. Se estudo aprendo lógica. Se não estudo, divirto-me. Logo, se não aprendo lógica, divirto-me.

5. O aluno é aprovado se, e somente se, é estudioso. Se o aluno tem tempo e não é estudioso, então, não é reprovado. Se o aluno é estudioso e não tem tempo, então, ele é aprovado ou não. Segue-se que se o aluno tem tempo, então, ele é estudioso.

6. Se Pedro é competente, então, se o serviço é bem feito ele será aceito. O serviço não é aceito. Segue-se que se o serviço é bem feito, então, Pedro não é competente.

11. Traduzir ao simbolismo lógico e verificar a validade do seguinte argumento: Se o ingresso nacional é farto, as arrecadações por imposto são fartas. As arrecadações por imposto são baixas este ano. Portanto, o ingresso nacional deve ser baixo.

12. Demonstrar se o seguinte argumento é ou não uma regra de inferência válida: Se este é um bom livro vale a pena ler, A matemática é fácil, ou este livro não vale a pena ler. Porém a matemática não é fácil. Portanto, este é um bom livro.

13. Verificar a validade dos seguintes argumentos, supondo as premissas verdadeiras.

1. Quem é sensato estuda Lógica. Nenhum insensato pode servir no júri. Os seus filhos não estudam Lógica. Segue-se que seus filhos não podem servir no júri.

2. Se Pedro é experiente, não é incompetente. Pedro erra sempre . Pessoa competente não erra sempre. Logo, Pedro não é experiente.

3. Ninguém lê o Diário do Povo, se não é bem instruído. Nenhum ouriço sabe ler. Os que não sabem ler são bem instruídos. Segue-se que ouriço não lee o Diário do Povo.

14. Escreva uma conclusão não trivial, a partir das premissas verdadeiras, a fim de obter um argumento válido.

1. Burros são ilógicos. Ninguém é desprezado, se pode dirigir um jacaré. Animais ilógicos são desprezados.

2. Patos não dançam valsa. Oficiais valsam. As, minhas aves são patos.

3. Os nomes desta lista são convenientes para aprovar a exame. Nomes começados com vocal são repetentes. Se um nome começa com consoante, não é conveniente para aprovar o exame.

15. Verdade e falsidade são atributos das proposições, não dos argumentos. Enquanto proposições são verdadeiras ou falsas, argumentos são válidos (corretos) ou não . Exiba alguns exemplos de argumentos que sejam válidos mas que tenham conclusões falsas e de argumentos que não sejam válidos e que tenham conclusões verdadeiras.

16. A lógica ocupa-se da correção dos argumentos, e não com a verdade ou falsidade das premissas e da conclusão. Aceitando uma tal "definição", explique o que ela significa.

17. Explique (talvez dando exemplos) o motivo pelo qual qualquer uma das três combinações abaixo é possível em argumentos válidos:

1. Premissas verdadeiras e conclusão verdadeira;

2. Algumas ou todas as premissas falsas e conclusão verdadeira;

3. Algumas ou todas as premissas falsas e conclusão falsa.

18. Os argumentos são válidos (consistentes ou inconsistentes) em função da sua forma, e não de seu conteúdo. Explique o que isto significa.


 

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