BIBLIOTECA VIRTUAL de Derecho, Economía y Ciencias Sociales


FUNDAMENTOS DA MATEMÁTICA

Christian Q. Pinedo



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1.3 ENUNCIADOS. PROPOSIÇÕES

Todos nós usamos a lógica no dia-dia, às vezes sem nos darmos conta disso.

Exemplo 1.1

Seu pai lhe diz:

“Se você tirar dez em Física e Matemática, lhe darei um presente. Você sabe que não basta tirar 10 apenas em Física ou apenas em Matemática. Para ganhar o presente, é necessário tirar dez nas duas disciplinas”.

Se por outro lado ele dissesse:

“Se você tirar dez em Física ou Matemática, lhe darei um presente; aí bastaria tirar dez em uma das matérias”.

Esse foi um exemplo simples da utilização da lógica. Muitos outros poderiam ser listados.

O que os matemáticos fizeram foi dar um aspecto matemático à lógica, além de aprimorá-la. Mas a idéia fundamental é antiga.

As, pessoas, em geral, pretendem raciocinar agir “logicamente”, no dia-dia, nos estudos, falando de política, futebol, de seus projetos ou do futuro da humanidade.

No entanto, a lógica que fundamenta os raciocínios e as ações raramente é explicada ou submetida a críticas. Ela é incorporada de forma inconsciente a partir, sobretudo, do aprendizado da língua natural e parece tão bem partilhado por todos que poucos se julguem carentes de lógica ou considerem necessário estudá-la.

Por outro lado, é muito freqüente ouvirmos dizer que estudar matemática desenvolve o raciocínio lógico. Apesar de esta relação não ser totalmente certa, a percepção da estreita relação entre a matemática e lógica, entre a lógica e linguagem, entre a linguagem e o pensamento contribui bastante para esclarecer muitas razões pelas quais estudamos certos assuntos sobre todo matemática.

Na linguagem natural utilizamos frases de vários tipos:

Declarativas:

 Fredy é escritor.

 Todos os gatos são pardos.

 Existem estrelas maiores que o Sol.

Imperativas:

 Segure firme!

 Não faça isso.

 Procure a entrada.

Interrogativas:

 Quando será a prova de Fundamentos?

 Quantos peruanos trabalham na Coordenação de Matemática?

Exclamativas:

 Que loira bem gelada!

 Parabéns a você!

Não serão objeto de estudo as sentenças imperativas, interrogativas ou exclamativas.

1.3.1 Noção de raciocínio.

A noção de raciocínio está presente em todos os estudos da lógica

Freqüentemente quando falamos de lógica, pensamos em razão. Segundo a definição de nossa linguagem, a razão é a faculdade que tem o ser humano de avaliar, julgar e ponderar idéias universais.

Entendemos como raciocinar ao fato de utilizar da razão para conhecer, para julgar da relação das coisas. Assim, raciocínio é o ato ou efeito de raciocinar.

O raciocínio argúi as premissas que inferem resultados exatos e coincidentes com elas, e pretende, no melhor dos casos, ser o resultado de um processo orgânico de “isso” que chamamos cérebro humano.

1.3.2 Noção de verdade.

O método que usamos para saber se uma situação é verdadeira é o que chamamos de linguagem veritativo, é a parte da linguagem clássico que utiliza os termos de verdade, falsidade, etc.

Existe duvidas entre os mesmos especialistas, quais as regras que se deve utilizar em nossa própria linguagem. Por isso não deveremos desvalorizar ou negar o critério que tem as pessoas em comum do conceito de verdade. Ao perguntar a uma pessoa o que é verdade? Com certeza será uma pergunta bastante difícil de responder, isto devido ao fato que o conceito de verdade é uma tarefa de análise filosófica e não de levantamento de dados.

Para a verdade, não existe um critério geral que a obtenha como aplicável a todos os casos, porém que são sempre parciais e confiáveis.

Estamos interessados somente na pergunta do verdadeiro aplicado a o que dizemos, e não a objetos, pessoas, etc. Deste modo a verdade sim podemos defini-la e teorizar-la. Não depende de conhecimentos necessários (embora sim vice-versa)

Definição 1.2 Enunciado.

Um enunciado é qualquer frase ou oração.

Exemplo 1.2

a) A Lua é um satélite da Terra.

b) 3 + 2 = 1+4

c) x + 3 = 5

d) Sócrates é o mestre de Platão.

e) 8 é um número primo.

f) O rio Paraná.

Aqui estamos utilizando o conceito de identidade, expresso pelo símbolo de igualdade ( = ); isto é claro no exemplo b). Nos enunciados a), d) e e) o “é” não é predicativo como quando dizemos “Sócrates é mortal”, mas sim um “é idêntica a . . .”, podendo escrever na forma:

a) A Lua = um satélite da Terra.

d) Sócrates = mestre de Platão.

e) 8 = um número primo.

1.3.2.1 Classificação da pergunta: O que é verdade?

1º. Quais são os enunciados que são verdadeiros ou falsos?

Aqui, os enunciados são os portadores da verdade.

2º. Que têm que acontecer para que um enunciado seja verdadeiro?

Aqui se pede uma definição de um enunciado verdadeiro.

3º. Como temos certeza que o enunciado é verdadeiro?

Aqui se pergunta pelo conhecimento. Pergunta-se como averiguar se um enunciado é verdadeiro e onde o critério de verdade é um processo.

Em nossas investigações sobre a linguagem natural, interessa-nos aquela que alcança uma compreensão mais clara de suas estruturas lógicas e traduzi-las posteriormente para uma linguagem matemática.

Consideremos inicialmente as frases declarativas, já que elas podem ser classificadas como verdadeiras ( v ) ou falsas ( f ); estas sentencias na matemática são chamadas de proposição.

Definição 1.3 Proposição.

Proposição é todo enunciado que exprime um pensamento de sentido completo, isto é, aquele pensamento que admite um, e somente um, dos valores: verdadeiro ( v ) ou falso ( f ).

Conclui-se que, as proposições devem satisfazer os dois princípios fundamentais:

1. Uma alternativa só pode ser verdadeira ou falsa.

2. Uma alternativa não pode ser verdadeira e falsa.

As proposições denotam-se com as letras minúsculas p, q, r, s, t, . . . , também chamadas de variáveis proposicionais.

Exemplo 1.3

a) p : O número 2 é menor que 3. ( v )

b) q : <  ( v )

c) r : 7 - 1 = 2 + 4 - 5 ( f )

d) s : A Terra é uma estrela. ( f )

e) t : Existem prefeitos que são honestos. ( v )

Portanto, as proposições são sentenças declarativas afirmativas (expressão de uma linguagem) da qual tenha sentido afirmar que seja verdadeira ou que seja falsa.

 A lua é quadrada. ( f )

 A neve é branca. ( v )

 Matemática é uma ciência. ( v )

Definição 1.4 Axioma.

Define-se axioma, como uma proposição que se admite como verdadeira porque dela se podem deduzir as proposições de uma teoria ou de um sistema lógico ou matemático.

A lógica matemática adota como regras fundamentais do pensamento os dois seguintes axiomas.

Axioma 1.1 Do terceiro excluído.

Toda proposição, ou é verdadeira ou é falsa; isto é, verifica-se sempre um destes dois casos e nunca um terceiro.

Axioma 1.2 Da não contradição.

Uma proposição não pode ser verdadeira e falsa ao mesmo tempo.

Assim, a lógica matemática é bivalente.

1.3.3 Enunciados abertos.

Se, na proposição p : 5 > 4 substituímos o número 5 pela letra x, temos que a expressão x > 4, o qual é chamado de enunciado aberto, pois, dependendo do valor numérico que assume a variável x podemos atribuir valores de verdade ( v ) ou falsidade ( f ).

Exemplo 1.4

São enunciados abertos.

a) x é primo de José.

b) x < y + z

c) x - 7 = 8

Observe que os enunciados abertos são de muita importância na matemática, pois quase a totalidade de enunciados matemáticos (problemas) utilizam uma ou mais variáveis.

1.3.4 Composição de proposições.

1.3.4.1 Proposição composta.

Ao utilizarmos a linguagem, combinamos idéias simples, ligamos proposições através de conectivos que permitem obter outras proposições.

A composição de proposições consiste em, dadas uma ou duas proposições, obter uma nova proposição mediante o uso de palavras, denominadas conectivos lógicos.

São conectivos lógicos as palavras “e”, “não”, “ou”, “se, . . . então”, “. . . se, e somente se, . . .”

Uma proposição simples, também é chamada de “proposição atômica” e as proposições compostas de “proposição molecular”.

O valor de verdade de uma proposição composta é determinado pelo valor de verdade de cada uma das proposições simples e de modo como elas estão ligadas (pelo conectivo-lógico) para formar a proposição composta.

Os parênteses ( ) que servem para denotar o “alcance” dos conectivos; são chamados de símbolos auxiliares.

1.3.5 Conectivos lógicos.

1.3.5.1 Negação.

Já dissemos que uma proposição p pode ser verdadeira ou falsa, não havendo outra possibilidade.

Alfred Tarski foi um dos maiores lógicos de todos os tempos, criador da teoria dos modelos (moderna teoria semântica).

A negação de uma proposição p escreve-se  p e se lê: “não p” ou “é falso que p”, ou “não é verdade que p” e; é outra proposição que nega se cumpra a proposição p.

A negação de uma proposição, não afirma que aconteça o contrario, a Tabela 1.1 mostra o valor verdade para a proposição p.

p  p

v f

f v

Tabela 1.1: Negação da proposição p

Exemplo 1.5

Suponha a proposição p: 12 é um número ímpar; logo a proposição  p: Não é verdade que 12 seja número ímpar.

Observe que  p somente nega p, e não afirma o oposto de aquilo que afirma.

Exemplo 1.6

Suponha a proposição p: Lima é a capital do Perú ( v ).

 p : Lima não é a capital do Perú ( f ).

 p : Não é verdade que Lima é a capital do Perú ( f ).

Exemplo 1.7

Seja a proposição p: Maria é bonita, logo  p : Não é verdade que Maria seja bonita.

A proposição  p não afirma que Maria seja feia, pois do fato ser bonita ao fato ser feia existem outras possibilidades:

Bonita

feia

Discutir o seguinte exemplo:

Exemplo 1.8 Paradoxo da frase.

Seja a proposição: p: “Esta frase é falsa”.

Se p é ( f ), então  p: Não é verdade que esta frase é falsa. É uma frase verdadeira.

Se p é ( v ), então  p: Não é verdade que esta frase é falsa, também é uma frase verdadeira.

Observação 1.1

a) Negar uma proposição p não é apenas afirmar algo diferente do que p afirma, ou algo com valor lógico diferente.

Por exemplo, a proposição.

q: Lima é a capital de Perú ( v ), não é a negação de p: Brasília é a capital de Perú ( f ).

b) Sendo verdadeira uma proposição p, a sua negação é falsa e vice-versa; como conseqüência, a negação da proposição  p afirma o mesmo que p, isto é, a negação da negação de p é logicamente equivalente a p. Escrevemos   p  p ( lê-se; “logicamente equivalente”).

p  p   p

v f v

f v f

1.3.5.2 Conjunção .

Chama-se conjunção das proposições p e q à proposição representada por p  q, cujo valor lógico é verdadeiro ( v ) somente quando as duas proposições p e q sejam ambas verdadeiras, e; é falsa ( f ) nos demais casos.

A notação p  q se lê p e q, e o valor lógico é definido pela seguinte tabela-verdade.

p q p  q

v v ( v )

v f ( f )

f v ( f )

f f ( f )

Tabela 1.2: Conjunção de p e q

A Tabela 1.2 prevê todas as possibilidades para o valor lógico de uma proposição composta a partir dos valores lógicos das componentes e dos conectivos lógicos, é chamada tabela-verdade da proposição composta. O conectivo lógico  traduz a idéia de “simultaneamente”.

É conveniente diferenciar entre o “e” que usamos na determinação da conjunção p e q o “e” na utilização da linguagem do dia-dia. O mesmo texto permitira diferenciar um do outro. Assim por exemplo quando se diz: “Seja a proposição p e q” entende-se claramente que o “e” está determinando sua função lógica; no outro caso quando se diz: “Sejam as proposições p e q” fazemos uso do “e” no sentido da linguagem do dia-a-dia.

Exemplo 1.9

a) “Curitiba encontra-se em São Paulo” e “São Paulo tem uma população predominantemente latina”. Esta proposição é falsa ( f ), pois as duas proposições simples são falsas. Trata-se de uma proposição composta falsa ( f ), uma vez que a primeira proposição é falsa (independente do valor lógico da segunda proposição)

b) “Platão era grego” e “Pilatos romano”. Esta proposição é verdadeira ( v ), pois as duas proposições simples são verdadeiras.

Exemplo 1.10

Consideremos p : 2 + 8 > 5 e q : 8 > 6 , então, temos as quatro possibilidades:

2 + 8 > 5  8 > 6 . . . esta proposição composta é ( v )

2 + 8 > 5  8  6 . . . esta proposição composta é ( f )

2 + 8  5  8 > 6 . . . esta proposição composta é ( f )

2 + 8  5  8  6 . . . esta proposição composta é ( f )

1.3.5.3 Disjunção inclusiva .

Chama-se disjunção das proposições p e q à proposição composta p  q, cujo valor lógico é falso ( f ), quando ambas as proposições p e q sejam falsas; e, nos demais casos é verdadeira ( v )..

A notação p  q se lê p ou q e o valor lógico é definido pela seguinte tabela-verdade:

p q p  q

v v ( v )

v f ( v )

f v ( v )

f f ( f )

Tabela 1.3: Disjunção inclusiva de p e q

Mostra-se na Tabela (1.3) todas as possibilidades de ocorrer na proposição composta p  q.

Exemplo 1.11

Se p : 4 + 7 = 11 e q : 15 - 3 = 12 então temos as quatro possibilidades:

4 + 7 = 11  15 - 3 = 12 . . . esta proposição composta é ( v )

4 + 7 = 11  15 - 3  12 . . . esta proposição composta é ( v )

4 + 7  11  15 - 3 = 12 . . . esta proposição composta é ( v )

4 + 7  11  15 - 3  12 . . . esta proposição composta é ( f )

Discuta o seguinte exemplo:

Exemplo 1.12 Paradoxo da existência de Deus.

Mostre que Deus existe.

Demonstração

Sejam as proposições: p: “Deus existe”; e q: “esta frase é falsa”; logo p  q: “Deus existe ou esta frase é falsa”.

Suponhamos ao menos uma das proposições seja verdadeira, logo a frase p  q é verdadeira.

Para o caso que simultaneamente p e q sejam falsas, então a frase p  q é falsa. Como q é falso então pela Tabela (1.3) segue que p  q é verdadeira.

Portanto Deus existe.

Observação 1.2

Na linguagem do dia-a-dia, a palavra ou tem dois sentidos:

1º. p : Mário é motorista ou professor.

2º. q : Carlos é gaúcho ou paulista.

Da proposição p podemos obter as proposições: “Mário é motorista”, assim como “Mário é professor”, podendo ser ambas verdadeiras então temos que “Mário é motorista e professor”.

Mas na proposição q, temos as proposições “Carlos é gaúcho”, e a outra “Carlos é paulista” sendo verdadeira somente uma de elas que exclua o valor verdade da outra; não é possível ocorrer “Carlos é gaúcho e paulista”.

Na proposição p, a disjunção é inclusiva; e, na proposição q a disjunção é exclusiva.

O símbolo  indica o conectivo lógico exclusivo e sua tabela-verdade indica-se na Tabela (1.4).

p q p  q

v v ( f )

v f ( v )

f v ( v )

f f ( f )

Tabela 1.4: Disjunção exclusiva de p e q

1.3.5.4 Condicional .

Chama-se proposição condicional das proposições p e q (nessa ordem) à proposição composta p  q, cujo valor lógico é falso ( f ), quando p seja verdadeiro e q falso, nos demais casos a proposição é verdadeira ( v ).

p q p  q

v v ( v )

v f ( f )

f v ( v )

f f ( v )

Tabela 1.5: Condicional de p e q

A notação p  q se lê: se p, então q. Seu valor lógico é definido pela tabela-verdad Tabela (1.5).

Na proposição p  q, a proposição p é chamada de antecedente (hipóteses) e a proposição q de conseqüente (tese).

Exemplo 1.13

Sejam as proposições p: 3 + 2 = 5 e q: 3 < 5, então temos as quatro possibilidades:

Se 3 + 2 = 5  3 < 5 . . . esta proposição composta é ( v ).

Se 3 + 2 = 5  3  5 . . . esta proposição composta é ( f )

Se 3 + 2  5  3 < 5 . . . esta proposição composta é ( v ).

Se 3 + 2  5  3  5 . . . esta proposição composta é ( v ).

As proposições condicionais são importantes na matemática, e tem varias maneiras diferentes de enuncia-las, assim por exemplo, p  podemos entender como uma das seguintes formas:

p implica q.

p é condição suficiente para q

Para que p é necessário que q.

q é condição necessária para p

Se p, também q.

q cada vez que p

q se p.

q sempre que p.

Toda implicação está associada a outras três proposições, elas são: a recíproca, a inversa e a contra-recíproca.

Suponha temos a proposição composta: p  q. Podemos obter outras proposições compostas relacionadas com p e q, sendo estas de muita utilidade na teoria da demonstração.

Recíproca: q  p.

Inversa:  p   q.

Contra-recíproca:  q   p.

Exemplo 1.14

Escreva a recíproca, a inversa e contra-recíproca de cada uma das seguintes proposições:

i) Se 7 - 7 = 0, então 7 = 7.

ii) Se a termina em zero, então a é múltiplo de 2.

iii) Se x = y, então x + y é par.

Solução (i)

Temos p : 7 - 7 = 0 e q : 7 = 7, a proposição é da forma p  q.

Recíproca: Se 7 = 7 , então 7 - 7 = 0. é da forma: q  p

Inversa : Se 7 - 7  0, então 7  7. é da forma:  p   q

Contra-recíproca : Se 7  7, então 7 - 7  0 é da forma:  q   p.

Solução (ii)

Temos p : a termina em zero e q : a é múltiplo de 2, a proposição é da forma p  q.

Recíproca: Se a é múltiplo de 2, então a termina em zero.

Inversa: Se a não termina em zero, então a não é múltiplo de 2.

Contra-recíproca: Se a não é múltiplo de 2, então a não termina em zero.

Solução (iii)

Temos p : x = y e q : x+y é par.

Recíproca: Se x+y é par, então x = y.

Inversa: Se x  y, então x+y não é par.

Contra-recíproca: Se x+y não é par, então x  y.

1.3.5.5 Bicondicional .

Chama-se proposição bicondicional das proposições p e q à proposição composta p  q, cujo valor lógico é verdade ( v ) quando p e q são ambas verdadeiras ou ambas falsas; e, é falsa ( f ) nos demais casos.

A notação p  q se lê: p se, e somente se , q; o valor lógico é definido pela seguinte tabela- verdade ( Tabela 1.6):

p q p  q

v v v

v f f

f v f

f f v

Tabela 1.6: Bicondicional de p e q

Uma proposição bicondicional obtém-se por definição como a conjunção de uma condicional e sua recíproca; isto é p  q é equivalente a ( p q  q  p).

1.3.6 Argumento: Indutivo. Dedutivo.

Nosso principal objetivo será a investigação da validade de “argumentos”. Argumentar é apresentar uma proposição como sendo uma conseqüência de uma o mais proposições.

Definição 1.5. Argumento.

Chamamos de argumento a um conjunto de proposições operadas por conectivos lógicos, as quais uma proposição é a conclusão e as demais são premissas .

Isto é, um argumento é constituído pelas proposições p1, p2, . . . , pn chamadas premissas, nas quais nos baseamos segundo os conectivos lógicos para garantir uma proposição q chamada conclusão.

Os argumentos estão tradicionalmente divididos em dedutivos e indutivos.

Definição 1.6 Argumento dedutivo.

Diz-se que um argumento é dedutivo quando, sendo suas premissas verdadeiras, a conclusão é também verdadeira.

Premissa: “Todo homem é mortal”.

Premissa: “João é homem”.

Conclusão: “João é mortal”.

Esses argumentos serão objeto de estudo para a compreensão de teorias matemáticas.

Definição 1.7. Argumento indutivo.

Diz-se que um argumento é indutivo quando, a verdade das premissas não basta para assegurar a verdade da conclusão.

Premissa: “É comum após a chuva ficar nublado”.

Premissa: “Está chovendo”.

Conclusão: “Ficará nublado”.

As premissas e a conclusão de um argumento, formuladas em uma linguagem estruturada, permitem que o argumento possa ter uma análise lógica apropriada para a verificação de sua validade.

1.3.7 Tabela-verdade de uma proposição composta.

Dadas varias proposições p, q, r, . . . podemos combina-las pelos, conectivos lógicos , , , ,  e construir proposições compostas, tais como:

P(p, q) :  p  (p  q)

Q(p, r) : (p   r)  r

R(p, r, s) : (p   s  r)  (s  (p   s))

Observação 1.3

1º Se você tiver n proposições simples, o número de linhas que resultam de todas as combinações de verdade ( v ) e falsidade ( f ) é 2n.

Assim, caso numa tabela verdade estivermos trabalhando com três proposições simples, então teríamos nessa tabela-verdade 23 = 8 linhas.

2º Uma proposição composta, também é chamada função-verdade.

3º Se você tiver n proposições simples, então existem 2^{2^n} proposições compostas diferentes.

Por exemplo, dadas as proposições p e q, então podemos obter 2^{2^2}= 2^4 = 16 proposições compostas diferentes a saber:

p  q p  q p  q p  q p  p p  p  p   q  p   q

p  p p  q p   q  p  q p   q p   p  p   p  p   p

1.3.8 Construção de uma tabela-verdade.

Suponha temos a construir a tabela-verdade para a proposição P(p, q) :  (p   q), logo teremos a considerar o seguinte roteiro da Tabela (1.7):

a) Forma-se em primeiro lugar, o par de colunas correspondentes às duas proposições simples p e q (coluna 1ª.);

b) logo em seguida forma-se a coluna para  q (coluna 2ª.);

c) depois forma-se a coluna para p   q (coluna 3ª.);

d) finalmente a coluna relativa aos valores lógicos da proposição composta P(p, q) :  (p   q) (coluna 4ª.).

p q  q p   q  (p   q)

v v f v ( f )

v f v v ( f )

f v f f ( v )

f f v v ( f )

1ª 2ª 3ª 4ª.

Tabela 1.7:

Também podemos considerar o seguinte roteiro Tabela (1.8):

a) Formam-se as primeiras colunas correspondentes às duas proposições simples p e q (coluna 1^a);

b) em seguida à direita, traça-se uma coluna para cada uma dessas proposições e para cada um dos conectivos que figuram na proposição composta dada (colunas 2^a, 3^a e 4^a);

c) logo, em certa ordem, completam-se essas colunas, escrevendo em cada uma delas os valores lógicos correspondentes, no modo abaixo indicado (coluna 5^a).

p q  ( p   q)

v v f v ( v ) f v

v f f v ( v ) v f

f v v f ( f ) f v

f f f f ( v ) v f

1ª 5a 2ª 4ª 3ª 2a

Tabela 1.8:

Os valores lógicos da proposição composta dada encontram-se na coluna completada escrita por último (5ª).

Exemplo 1.15

Construir tabela-verdade da proposição: P(p, q) :  (p  q)   (q  p)

Solução

Utilizando o roteiro sugerido temos:

p q  (p  q)   (q  p)

v v f v v v f f v v v

v f v v f f v v f f v

f v v f f v v v v f f

f f v f f f v f f v f

1ª 4ª 2ª 3ª 2ª 5ª 4ª 2ª 3ª. 2ª.

Exemplo 1.16

Construir tabela-verdade da proposição: P(p, q):(p  q)  ( p   q).

Solução

Utilizando o roteiro sugerido temos:

p q (p   q)  ( p   q)

v v f ( v ) f

v f v ( v ) v

f v f ( v ) v

f f f ( v ) v

1ª 2ª 1a

Problema 1.3.1

Num determinado prédio existem 4 andares. Ocupados por: um advogado, um construtor, um contador e um dentista. Há no prédio: um condicionador de ar, uma geladeira, um rádio e um televisor. Trabalha também o seguinte pessoal: um sócio, um encarregado de relações públicas (atendente), uma secretária e um “office-boy”. Chamam-se Alberto, Benedito, Camargo e David, mas aqui não estão relacionados na ordem de profissões acima citada. Sabendo-se que:

1. O que ocupa a 1º. andar tem um “office-boy”;

2. no 3º. andar existe um rádio;

3. o advogado e o construtor trabalham próximos;

4. o construtor nunca passa pelo andar do dentista, mas Alberto tem que passar pelo andar de Benedito, quando vai falar com a secretária;

5. David tem sua sala um andar depois do contador;

6. a sala onde tem a secretária, fica acima da sala de Benedito e embaixo do que tem a geladeira;

7. o advogado possui um condicionador de ar;

8. na sala onde existe o televisor, seu proprietário tem um encarregado de relações públicas, que namora a secretária;

9. o construtor trabalha no andar embaixo do contador;

Quem é quem?

Solução

Recomenda-se para a solução de problemas deste tipo uma tabela de

dupla entrada como mostraremos a seguir.

Após da análise com os dados do enunciado chegamos à seguinte conclusão:

Andares Empregados Eletrônicos Profissão Nome

1º. Office-boy Cond. de ar Advogado Alberto

2º. Encarregado Tv Construtor Benedito

3º. Secretária Rádio Contador Camargo

4º. Sócio Geladeira Dentista David

Assim temos de acordo com a tabela completada acima:

• Advogado de nome Alberto, tem um ``office boy'', um condicionado de ar e ocupa a primeira sala;

• O construtor tem um encarregado das relações públicas, dispõe de Tv, ocupa a segunda sala e seu nome é Benedito;

• O contador tem uma secretária, um rádio, ocupa a terceira sala e seu nome é Camargo;

• O dentista tem um sócio, uma geladeira ocupa a quarta sala e chama-se David.

Problema 1.3.2

Miguel, Pedro e Humberto têm duas ocupações cada um, motorista, contrabandista, pintor, jardineiro, barbeiro e músico.

Dados:

1. O motorista ofendeu o músico rindo do seu cabelo comprido;

2. o músico e o jardineiro só gostavam passear com Miguel;

3. o pintor comprou do contrabandista um relógio da Suíça;

4. o motorista paquerava a irmã do pintor;

5. Pedro devia cinco mil reais ao jardineiro;

6. Humberto venceu Pedro e ao pintor jogando xadrez;

Que ocupação tem Miguel?

Solução

É melhor resolver considerando uma tabela com todos os dados de dupla entrada e descartando possibilidades de não ocorrer X, como mostramos a seguir.

Motor. Músico Contra. Barbe. Jardine. Pintor

Miguel X X X Ok. X X

Pedro X Ok. X X X X

Humberto Ok. X X X X X

Observando o quadro concluímos que Miguel é o barbeiro.

Problema 1.3.3

Após lançar três dados sobre a mesa, Rodrigo somou os números das suas faces superiores e encontrou o número 10. Em seguida, ele multiplicou os mesmos 3 números e encontrou como resultado 30. Qual o produto dos números das faces inferiores desses dados?

Observação: Num dado, a soma dos números de 2 faces opostas é sempre igual a 7.

Solução

Como o produto dos 3 números das faces superiores é igual a 30, estes 3 números só podem ser 1, 6 e 5 ou 2, 3 e 5, já que 30 = 2  3  5 e que os números nas faces de um dado não são maiores que 6. Das 2 possibilidades que enunciamos apenas a que é composta pelos números 2, 3 e 5 tem a soma dos 3 números iguais a 10. Encontrado que os números das faces superiores são 2, 3 e 5, de imediato se chega aos números das faces inferiores: 5, 4 e 2, respectivamente. Assim, o produto procurado é 5  4  2 = 40.

Problema 1.3.4

Mário mente as segundas, terças e quartas-feiras, e fala a verdade nos demais dias da semana. Paula mente apenas as quintas, sextas e aos sábados. Num certo dia, foram feitas as afirmações: por Mário, “ontem foi meu dia de mentir”; por Paula, “ontem foi também meu dia de mentir”. Qual o dia da semana em que foram feitas estas afirmações?

Solução

Note que se Mário e Paula fazem a mesma afirmação, ou ambos falam a verdade, ou ambos mentem, ou um deles fala a verdade enquanto o outro mente. Mas não há dia da semana em que ambos mentem, o que nos leva a descartar esta hipótese.

Para ambos falarem a verdade, o único dia possível de isso acontecer é no domingo, já que nos outros dias da semana, um dos dois, ou Mário ou Paula, mente.

Resta então que um falou a verdade enquanto o outro mentiu. Mas se um deles falou a verdade quando disse que ontem foi dia de mentir, então esse dia só pode ser quinta-feira ou domingo.

Como já vimos que domingo é um dia impossível de ambas as afirmações ocorrerem, o dia da semana em que foram feitas estas afirmações foi quinta-feira.

Problema 1.3.5

A cada dois anos no período de 1858 a 1864 nasceu um compositor famoso. Claude Debussy nasceu na França, Gustav Mahler nasceu na Áustria, Giacomo Puccini nasceu na Itália e Richard Strauss na Alemanha. Debussy não era o mais velho, Puccini era 2 anos mais velho que Mahler, Strauss era mais novo que Debussy. Descubra o ano no qual nasceu cada compositor.

Solução

Antes de tudo, vamos identificar as 3 afirmações que o enunciado nos trouxe:

i) Debussy não era o mais velho.

ii) Puccini era 2 anos mais velho que Mahler.

iii) Strauss era mais novo que Debussy.

Por (ii). concluímos que Puccini nasceu e logo em seguida (2 anos depois) veio Mahler. Como Strauss era mais novo que Debussy (iii) mas Debussy não era o mais velho ( i), Debussy não pode ter nascido antes de Puccini, pois neste caso seria o mais velho de todos. Dado isto, a única alternativa que há é a seguinte: primeiro nasceu Puccini, em seguida Mahler, depois Debussy e por fim Strauss.

Problema 1.3.6 Malba Than.

Três pessoas num bar fizeram uma despesa que importou em R$9,00 para cada uma, totalizando R$27,00. Todavia, cada uma deu ao garçom R$10,00. Por falta de troco, este devolveu R$5,00. Destes, tiraram-se R$3.00, que lhe deram como gorjeta. Então, como sobraram R$2,00?

Solução

Os R$2,00 correspondem ao abatimento feito pelo garçom.

Problema 1.3.7

Três estudantes, Alberto, Bernardo e Carlos tem por namoradas a Ana, Beatriz e Claudia, não necessariamente nessa ordem. Em uma festa à que assistiram estas seis pessoas compraram rifas de preços diferentes cada uma. Cada pessoa comprou tantos boletos como reais gastou essa mesma pessoa por rifa.

Alberto comprou 23 rifas mais que Beatriz e Bernardo comprou 11 mais que Ana. Cada homem gastou 63 reais mais que sua namorada. Qual era o nome da namorada de cada um?

Solução

Suponha um homem compra m boletos a m reais cada um; logo ele gastou m2 reais.

De modo análogo, suponha cada mulher compra n boletos a n reais cada um; logo ela gastou n2 reais.

Da relação m2-n2 = 63 segue que (m+n)(m-n) = 63 e como 63 = 1  63 = 3  21 = 7  9, pode acontecer:

m+n = 63 m+n = 21 m+n = 9

m-n = 1 m-n = 3 m-n = 7

De onde obtemos três pares de valores para m e n: 32 e 31, 12 e 9 por último 8 e 1.

Como Alberto comprou 23 boletos mais que Beatriz, e Bernardo 11 mais que Ana, então:

Alberto = 32 Ana =1

Bernardo = 12 Beatriz = 9

Carlos = 8 Claudia = 31

Portanto os casais são: Alberto casado com Claudia, Bernardo casado com Beatriz e Carlos casado com Ana.

Pequeno dicionário de heurística.

Analogia: É uma espécie de semelhança. Objetos semelhantes coincidem uns com os outros em algum aspecto; objetos análogos coincidem em certas relações de suas respectivas partes.

Considere a incógnita: Este é um velho conselho. Corresponde ao ditado latino respice finem, isto é, olhe para o fim.

Condicionante: È uma das principais partes de um problema a demonstrar.

Corolário: É um teorema que se demonstra facilmente pelo exame de outro teorema que se acaba de demonstrar. A palavra é de origem grega e sua tradução mais literal seria “galardão” ou “recompensa”.

Decomposição: Decompõe-se o todo em suas partes e recombinam-se as partes num todo mais ou menos diferente.

Exercícios 1-1

1. Das frases seguintes, assinale quais são proposições, atribuindo-lhes o valor lógico correspondente:

1. Perú e Brasil.

2. Brasil foi campeão mundial de futebol em 1982.

3. As diagonais de todo paralelogramo são de comprimentos iguais.

4. O triplo de 6.

5. Que horas são?

6. Todo quadrado é um retângulo.

7. (a + b)2 = a2 + b2

8. -2 < -5

9. As diagonais de alguns paralelogramos são de comprimentos iguais.

10. sen x = sen + x )

11. 1 + 2 + 3 + . . . + n =

12. Quadrados e triângulos.

13. 0,5 e 5 são raízes da equação x3 - 25x = 0

14. 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + . . . (2n-1) = n2

15. Todo triângulo é um polígono.

2. Sejam as proposições: p : A vaca foi para o brejo; q: O boi seguiu a vaca.

Forme frases na linguagem natural, que correspondam às proposições seguintes:

1.  p 2.  q 3. p  q 4. p  q

5.  p  q 6. p   q 7.  (p  q) 8.  (p  q)

9.  p   q 10.  p:   q 11.  ( q) 12. p  q

3. Considere as proposições: p : Esta frio; q: Esta chovendo. Traduzir para a linguagem natural as seguintes proposições:

1.  p 2. p  q 3. p  q 4. p  q

5. p   q 6. p   q 7.  p   q 8. p   q

9. (p   q)  p 10.  p   q 11.  ( q) 12.  ( p)  q

4. Considere as proposições: p : Pedro é alto; q: Pedro é jogador de basquete.. Escreva em forma simbólica cada uma das seguintes proposições:

1. Pedro não é alto.

2. Pedro não é jogador de basquete.

3. Não é verdade que Pedro não seja alto.

4. Não é verdade que Pedro é jogador de basquete.

5. Pedro é alto e jogador de basquete.

6. Pedro é alto ou jogador de basquete.

7. Pedro é alto e não é jogador de basquete.

8. Pedro não é alto e é jogador de basquete.

9. Pedro não é alto ou não é jogador de basquete.

10. Não é verdade que, Pedro é alto e jogador de basquete.

11. Não é verdade que, Pedro é alto ou jogador de basquete.

12. Não é verdade que, Pedro não é alto ou não é jogador de basquete.

13. Pedro não é alto, nem jogador de basquete.

5. Sejam: p: Londres é a capital da Inglaterra. q: A torre Eiffel situa-se em Londres. r: O meridiano de Greenwich passa por Londres.

Traduza para a linguagem natural cada uma das proposições abaixo e determine o respectivo valor lógico:

1.  p 2. q  r 3.  p  r 4.  q

5. p  q 6.  q   p 7.  r 8.: p  r

9.  q   p 10. p  q 11.  q  p 12.  (p  q)

6. Determine todos os valores lógicos para a proposição  p  q a partir dos valores lógicos de p e q.

7. Construa a tabela-verdade para cada uma das seguintes proposições:

1.  (p  q) 2.  p   q.

8. Mostre que a proposição p  q   q é uma contradição.

9. O verso da uma folha é a página oposta à que se observa. Que página corresponde ao verso do verso da página que se observa?

10. O avesso de uma blusa, é o lado contrário ao que se vê. O que é o avesso do avesso do avesso da blusa? O que é o avesso do avesso da blusa?

11. Traduzir para a linguagem simbólica as seguintes proposições matemáticas:

1. Se x > 0 então y = 3

2. Se x+y = 6 então z < 0.

3. Se x = 6 ou x = 5, então x2 - 11x + 30 = 0.

4. Se x2 - 11x + 30 = 0 então x = 6 ou x = 5

5. Se z > 5 então x  1 e x  2.

6. Se y = 4 e x < y então x < 5.

12. Determine a recíproca, inversa e contra-recíproca de cada uma das seguintes proposições condicionais.

1. Se é paralelo a então é paralelo a .

2. Duas retas se interceptam se não são paralelas.

3.Se o Oscar se licenciar ele vai procurar emprego ou inscrever-se num curso de mestrado.

4. Se a Virgínia se licenciar e se inscrever num curso de mestrado então a sua licenciatura não é de Matemática.

5. Se a Virgínia se licenciar com boa média em Matemática ela vai ter uma bolsa para se inscrever num curso de mestrado.

6. Aprovar em Álgebra é uma condição necessária para o Belo se licenciar.

7. Uma condição suficiente para um triângulo satisfazer o Teorema de Pitágoras é ser um triângulo retângulo.

8. Uma condição necessária para dois triângulos serem semelhantes é que tenham lados iguais.

9. Um triângulo é eqüilátero só se os seus três ângulos são iguais ou os seus três lados são iguais.

10. Três pontos estão sobre a mesma circunferência só se não forem colineares.

13. Quem tem olhos azuis?

Em um grupo de três pessoas duas delas tem olhos escuros e a outra olhos azuis, as pessoas que tem olhos escuros mentem, e a pessoa de olhos azuis sempre diz a verdade. Em uma conversa cada uma diz:

Marta: Eu tenho olhos azuis.

Clara: Marta mentiu quando disse ter olhos azuis.

Rita: Clara é quem tem olhos azuis.

14. Assinale uma conclusão correta.

Uma pessoa pode ser boa ou ruim. A mesma pessoa pode ser estudante o trabalhadora. Mas esta pessoa é estudante e ruim. Logo esta pessoa não pode ser: a) Estudante e trabalhadora; b) Boa e trabalhadora; c) Trabalhadora e ruim.

15. Três senhoras, Dona Branca, Dona Rosa e Dona Violeta, passeavam pelo parque, quando Dona Rosa disse:

“Não é curioso que estejamos usando vestidos das cores branca, rosa e violeta, embora nenhuma de nós esteja usando vestido de cor igual a seu próprio nome”.

“Uma simples coincidência, respondeu a senhora com o vestido violeta”.

Qual a cor do vestido de cada senhora?

16. Considere a Terra como uma esfera perfeita e imagine a menor corda de comprimento entorno do Equador. Corta-se essa corda em um ponto, adicione-se a ela um metro linear de corda e coloque-a novamente entorno do Equador. Existirá uma separação entre o Equador e a corda aumentada, entorno de toda a Terra (ver Figura 1.1). O Equador da Terra mede aproximadamente 40 000 km.

Figura 1.1 Figura 1.2

1 1 Intuitivamente, de quanto é essa separação aproximadamente? (Só se pede uma resposta aproximada, segundo a intuição) .

a) Menos de 1mm. b) Entre 1mm. e 2cm. c) Pouco mais de 15cm.

17. Considere uma laranja e imagine a menor corda de comprimento entorno do equador da laranja. Corta-se essa corda em ponto, adicione-se a ela um metro linear de corda e coloque-a novamente entorno do equador. Existirá uma separação entre o equador da laranja e a corda aumentada, entorno de toda a laranja (ver Figura 1.2)

Intuitivamente, de quanto é essa separação aproximadamente? (Só se pede uma resposta aproximada, segundo a intuição)

a) Mais de 60cm. b) Entre 60 cm e 19cm. c) Menos de 16cm.

18. São apresentadas três caixas a você. Somente uma delas contém ouro, o outras duas estão vazias. Cada caixa tem uma pista sobre seu conteúdo só uma mensagem está contando a verdade as outras duas estão mentindo.

O ouro

não está aqui O ouro

não está aqui O ouro está

na segunda caixa

Qual caixa tem o ouro?


 

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