5.2 NÚMEROS NATURAIS

Existe um conjunto N chamado de “conjunto dos números naturais”' para o qual os seguintes axiomas (chamados axiomas de Peano) são verificados:

Axioma 5.2

Ao conjunto N, dos números naturais, pertence o zero 0.

Axioma 5.3

A todo número natural n corresponde outro número natural único, chamado o sucessor de n o qual representamos por n^* = n+1.

Axioma 5.4

Dois números naturais distintos, tem sucessores distintos.

Axioma 5.5

O zero não é sucessor de nenhum número natural.

Axioma 5.6

Se A é uma parte de N que tem por elementos o zero e o sucessor de todo número natural n, então A = N.

Assim, pelo Axioma (5.2) o conjunto de números naturais N é não vazio e fica determinado pela seguinte coleção:

N = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n , . . . , }

Denotamos o conjunto dos números naturais positivos por:

N+ = { 1, 2, 3, 4, 5, . . . , n , . . . , }.

Exemplo 5.2

• O conjunto N de números naturais é indutivo, pois 0 é um número natural e n+1 também é natural para todo n natural.

• O conjunto de todos os números inteiros é indutivo.

• O conjunto {0, , 1, , 2, , . . . } é indutivo

Observação 5.1

1. Denotamos o antecessor de qualquer número natural n  N^+ como *n; e este número satisfaz a igualdade: *n +1 = n.

2. Denotamos o consecutivo de qualquer número natural n  N como n*; e este número satisfaz a igualdade: n* = n +1.

Propriedade 5.2

Para qualquer números naturais m, e n tem-se:

i)} m  n  m*  n*.

ii) n  n*.

iii) n  1   p  N, tal que p*=n.

Demonstração. i)

Suponhamos que m  n e m*  n*, então pelo Axioma (5.4) teremos m = n, contrariando a hipótese.

Demonstração. ii)

Seja A ={ m  N /. m  m* } , pelo Axioma (5.2) temos que 0  N logo 0  A, e se m  A, pela definição de A temos que m  m* e conseqüentemente pela parte i), segue que m* (m*)* , logo m*  A e pelo Axioma (5.6) vamos ter que A = N.

Portanto, para todo n  N tem-se que n  n*.

Demonstração. iii)

Seja A = {0}  { n  N /.  m, n  N tal que n = m* }.

Por definição de M, temos que 0 A. Por outro lado, se n M, com n  0, tem-se que n = m*, para algum m  N.

De onde n* = (m*)* e n^* é o sucessor de m*, logo n* A e pelo Axioma (5.6) segue que A= N.

5.2.1 Indução matemática.

Em matemática, muitas definições e proposições se realizam utilizando o “princípio de indução matemática”. A generalização de uma propriedade após verificação de que a propriedade é válida em alguns casos particulares, pode conduzir a sérios enganos como mostra o seguinte exemplo:

Exemplo 5.3

Considere a relação f(n) = 2^{2n}+1 definida para todo n  N.

Temos que, quando:

n = 0 então f(0) = 2^{2^0} + 1 = 3

n = 1 então f(1) = 2^{2^1} + 1 = 5

n = 2 então f(2) = 2^{2^2} + 1 = 17

n = 3 então f(3) = 2^{2^3} + 1 = 257

n = 4 então f(4) = 2^{2^4} + 1 = 65537

Observe que todos aqueles números encontrados são números primos; P. Fermat (1601 - 1665) acreditou que a fórmula f(n) representaria números primos qualquer que fosse o valor positivo para n  N, pois esta indução era falsa, Euler (1707 - 1783) mostrou que para n = 5 resulta f(5) = 4294967297 = 641  6700417, logo a afirmação de P. Fermat foi precipitada.

Exemplo 5.4

Consideremos a relação f(n) = n^2 + n + 41 definida para todo n  N, observe que, para valores menores que 40, f(n) é um número primo.

Com efeito, se n = 1, f(1) = 43; se n = 2, f(2) = 47; se n = 3, f(3) = 53; . . . ; se n = 39 , f(39) = 1601. Porém se n = 40 temos f(40) = 402 + 40 + 41 = (41)(41) não é primo, mostrando que a sentença é falsa. Em 1772 Euler mostrou que f(n) = n2 + n + 41 assume valores primos para n = 0, 1, 2, 3, . . . , 39.

Euler observando que f(n-1) = f(-n) mostrou que n^2 + n + 41 assume valores primos para 80 números inteiros consecutivos, sendo estes inteiros: n = -40, -39, -38, . . . 0 , 1, 2, 3, . . . 38, 39; substituindo a variável n por n - 40 temos f(n-40) = g(n) = n2 - 79n + 1.601; logo g(n) = n2 - 79n + 1.601 assume valores primos para todos os números naturais de 0 até 79.

Exemplo 5.5

A sentença:

“2n + 2 é a soma de dois números primos”.

é uma sentença verdadeira para n = 1, n = 2, n = 3, n = 4, . . . e, como nos exemplos anteriores após muitas tentativas, não achamos algum número natural que a torne falsa.

Ninguém até hoje, achou um número natural que tornasse a sentença falsa e ninguém, até hoje, sabe demonstrar que a sentença é sempre verdadeira. Esta famosa sentença conhecida como conjetura de Goldbach feita em 1742, em uma carta dirigida a Euler diz:

“Todo inteiro par, maior do que 2, é a soma de dois números primos”.

Não sabemos até hoje se esta sentença é verdadeira ou falsa.

Em resumo, dada uma afirmação sobre números naturais, se encontramos um contra-exemplo, sabemos que a afirmação não é sempre verdadeira.

E se não achamos um contra-exemplo? Nesta caso, suspeitando que a afirmação seja verdadeira sempre, uma possibilidade é tentar demonstrá-la recorrendo ao princípio de indução; é necessário portanto, dispor de um método com base lógica que permita decidir sobre a validade ou não de uma determinada indução, isto esta garantido com a seguinte proposição:

Propriedade 5.3 1º. princípio de indução matemática.

Se P(n) é uma proposição enunciada em termos de n, para n  N tal que:

1º. P(0) é verdadeiro

2º. Para todo h  N P(h) é verdadeiro, implica P(h+1) é verdadeiro.

Então P(n) é verdadeiro  n  N.

Demonstração.

Com efeito, seja A={ n  N /. p(n) é verdadeira }. Conforme as hipóteses 1º. e 2º. acima temos que 0 A e se k A então k+1 A ou seja as condições do Axioma (5.6) estão satisfeitas.

Portanto A coincide com o conjunto de todos os números naturais, isto é p(n) é verdadeira para todo número natural n.

Os números naturais são fechados respeito às operações de adição e multiplicação. As operações de subtração e divisão para números naturais, não se aplica; caso contrario teríamos que subtração e divisão de números naturais é um natural; isto último é um absurdo.

5.2.2 Adição de números naturais.

Definição 5.4 Adição.

Para todo m, n  N, a adição em N, é uma aplicação:

+ : N  N  N

(m, n)  +(m, n)

simplesmente denotamos +(m, n) como a+b e satisfaz o seguinte axioma:

Axioma 5.7

• Para todo n  N, n + 0 = n

• Para todo (m, n)  N  N, n + m* = (n+m)*

Propriedade 5.4

O número zero é o elemento neutro para adição em N.

Demonstração.

A propriedade é verdadeira para n = 0, isto é 0 + 0 = 0, o zero é neutro à direita.

Suponhamos que a propriedade seja verdadeira para todo n  N; isto é 0 + n = n

Mostrarei que a propriedade é válida para o sucessor de n; isto é para n*.

Por definição de adição 0 + n* = (0+n)*, e pela hipótese de indução 0 + n = n, logo 0 + n^* = (0+n)* = n*, e esta propriedade é verdadeira para n^*.

Portanto, pelo axioma de indução (Axioma (5.6)) a propriedade é verdadeira para todo n  N.

Propriedade 5.5

Se o sucessor de zero é 1, então para todo n  N, n* = n+1.

Demonstração.

Com efeito, pela hipótese temos que 0* = 1

Como n + 1 = n + 0^* = (n + 0)*, isto implica pela Propriedade (5.4) que n + 1 = n*.

Propriedade 5.6 Associativa.

A operação de adição + em N, é associativa; isto é:

Para todo m, n, p  N, (m+n)+p = m+ (n+p).

Demonstração.

Por indução sobre p.

Esta propriedade é verdadeira para p = 0.

(m + n ) + 0 = m + (n + 0) . . . def. de adição.

Suponhamos para todo p, seja verdadeira. . . . hipótese de indução.

Mostrarei que a propriedade é válida para p*.

(m+n)+p* = ((m+n)+p)* . . . def. de adição.

= (m+(n+p))* . . . hipóteses de indução.

= m + (n+p)* . . . definição de adição.

= m + (n+p*) . . . definição de adição.

Pelo axioma de indução concluímos que esta propriedade é válida para todo número n  N.

Propriedade 5.7 Comutativa.

A lei + é comutativa; isto é para todo m, n  N temos que m + n = n + m.

Demonstração.

Exercício para o leitor.

Propriedade 5.8

Em N, nenhum elemento distinto de zero tem simétrico para a adição; isto é m + n = 0 então m = 0 e n = 0.

Demonstração.

Seja m + n = 0. . . . hipótese.

Suponhamos que n  0 . . . hipótese auxiliar.

Logo n tem um antecessor ^*n . . . def. de antecessor.

Assim, n= *n+1.

Por conseguinte, m + n = m + (*n+1) . . . substituição.

m + n = (m + *n) + 1 . . . associatividade

m + n = (m+*n)* . . . def. de sucessor.

Então m + n = 0 = (m+*n)*, isto implica que zero é o sucessor de algum número. Isto é absurdo ao Axioma (5.5).

Portanto supor n  0 é errado; n tem que ser zero, e pelo Axioma (5.6) resulta m = 0.

Propriedade 5.9 Cancelamento.

Todo número natural é regular para a adição, isto é:  n  N se, a + n = b + n, então a = b.

Demonstração.

A demonstração é por indução sobre n, e utilizamos o fato da aplicação f de N em N definida por f(n) = n+1 ser injetiva.

A propriedade é verdadeira para n = 0: a+0 = b + 0 então a = b.

Suponhamos que seja verdadeira para n  N, a + n = b + n , então a = b.

Mostrarei que a propriedade é válida para n*

Seja a+n* = b + n*, ou (a+n)* = (b+n)* . . . def. de adição.

Como f é injetiva segue de f(a+n) = f(b+n), então a + n = b + n implica a = b, segundo a hipótese de indução.

5.2.3 Relação de ordem em N.

Definição 5.5

1. Sejam os números m, n  N, dizemos que ``m é maior que n'' e escrevemos m > n, se existe x  N tal que m = n+x.

2. Sejam os números a, b  N, dizemos que ``a é menor que b'' e escrevemos a < b, se existe y  N tal que a+y = b.

Propriedade 5.10

Sejam m, n  N então:

i) m<n e n < p, então m < p. . . . transitividade

ii) m<n se, e somente se m+p<n+p . . . monotonicidade

Demonstração. i)

Por hipótese m<n e n < p, logo existem números naturais r e t, tais que n=m+r e p=n+t.

Assim, p=n+t = (m+r)+t = m+(r+t) de onde p > m.

Portanto, m < p.

Demonstração. ii)

Se m<n, então existe r  N tal que n = m+r, logo n+p=(m+r)+p = m+(r+p) = m+(p+r)=(m+p)+r e portanto, m+p < n+p.

Inversamente.

Se m+p < n+p, então existe t  N tal que n+p = (m+p)+t = m+(t+p) = (m+t)+p , assim n = m+t, de onde m < n.

Observação 5.2

A relação < é transitiva, porém não é reflexiva e nem simétrica.

Propriedade 5.11 Lei de tricotomia.

Se m, n  N uma e somente uma das seguintes alternativas é verdadeira:

i) m = n ii) m < n iii) m > n

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Definição 5.6

Dados m n  N, diz-se que m é menor ou igual que n e escrevemos m  n se, m<n ou m=n.

Analogamente define-se a relação m  n (maior ou igual).

Definição 5.7

Seja A um subconjunto de N. Dizemos que m  N é o menor elemento de A se:

i) m  A.

ii) m  n para todo n  A.

Propriedade 5.12 Princípio da boa ordem.

Se A é um subconjunto não vazio de números naturais, então A possui um menor elemento.

Demonstração.

Seja A  N, A  . Se 0  A, então 0 é o menor elemento de A.

Suponhamos então que 0  A e que A não tenha menor elemento m  N. Isto vai levar a uma contradição.

Como m não é o menor elemento de A, segue-se que m  A ou existe n  A tal que n < m.

Seja B = { n  N /. m  n onde m  A }, é imediato que A  B = , caso contrario, se existe p  A  B, então p  A e p  B implica p  p onde p  A . Isto é contradição; logo A  B= .

Por outro lado, 0  B, pois por hipótese 0  A .

Suponhamos então que n  B, como m  A, se m  n então n*  A caso contrario n* seria um menor elemento para A. Assim, se m  n^* tem-se que m  A e n*  B.

Mostramos que 0  B e que n  B implica n*  B, podemos concluir pelo princípio de indução generalizada para segue que B = N, mas A  B =  e como B = N segue que A = .

Por redução ao absurdo segue que todo subconjunto não vazio A  N possui um menor elemento.

Propriedade 5.13

Seja A subconjunto de números naturais tais que k  A e m*  A, para todo m  k em A. Então, A contém todos os números naturais n  k.

Demonstração.

Seja B = { 0, 1, 2, . . . , s }  A onde s é tal que s*=k.

Tem-se que 0  B, suponhamos que n  B, então n*  B; logo pelo princípio de indução (Propriedade (5.3)) segue que B = N.

Portanto, A contêm todos os números naturais n  k.

Assumindo o princípio da boa ordem como axioma, podemos enunciar o princípio de indução generalizada.

Propriedade 5.14 2º. princípio de indução matemática.

Seja P(n) é uma proposição enunciada para n  N tal que:

1º. Para n_0  0 tem-se que P(n_0) é verdadeira.

2º. Se P(h) é verdadeiro para h > n_0, implica P(h+1) é verdadeiro.

Então P(n) é verdadeiro  n  N, tal que n  n0.

Demonstração.

Consideremos A = { n  N /. P(n) é proposição falsa }, então A  N e CN (A)  N, onde CN (A) = { n  N /. P(n) é proposição verdadeira }.

Pelo princípio da boa ordem (Propriedade (5.12)) o conjunto CN (A) possui um menor elemento n0, como n0  A então a proposição P(n_0) é verdadeira, logo em virtude da 1º. hipótese n0  0.

Para h > n_0 se P(h) é verdadeira, implica que também P(h*) é verdadeira, logo h*  CN (A) de onde h*  n_0 em CN (A).

Em virtude da Propriedade (5.13) segue que CN (A) contém todos os naturais n  n0.

Portanto, P(n) é verdadeiro  n  N, tal que n  n0.

Exemplo 5.6

Utilizando o princípio de indução matemática, mostre que:

3[12+32+52+ . . . + (2n-1)2] = n(4n2-1)  n  N, n  0

Solução.

Seja S o conjunto dos números naturais que satisfazem:

3[12+32+52+ . . . + (2n-1)2] = n(4n2-1) (5.2)

Se n = 2 tem-se de (5.2) que, 3[12+32] = (2)(3)(5) = 30, logo a proposição é verdadeira.

Suponhamos para h  S em (5.2) a seguinte igualdade seja verdadeira.

3[1^2+3^2+5^2+ . . . p + (2h-1)^2] = h(4h^2-1) (5.3)

Para h+1  S tem-se pela hipótese auxiliar (5.3) que:

3[12+32+52+ . . . + (2h-1)2 + (2h+1)2] =

h(4h2-1)+ 3(2h+1)2= (h+1)(2h+1)(2h+3)

Portanto, S = N e a fórmula (5.2) é válida  n  N, n  0.

Exemplo 5.7

Mostre que, para todo número real (1+x)n  -1 e para qualquer natural n  N então tem-se a desigualdade (1+x)n  1 + nx.

Demonstração.

Seja S o conjunto de números naturais para os quais (1+x)^n  1 + nx.

1º. 1  S pois, (1+x)^1  1 + (1)x.

2º. Se h  S, temos que (1+x)^h  1 + hx, então (1+x)^{h+1} = (1+x)(1+x)^h  (1+x)(1+hx)  1 + x + hx + hx^2  1 + (h+1)x.

Logo, se h  S então (h+1)  S.

Aplicando o princípio de indução matemática temos que S = N.

5.2.4 Multiplicação de números naturais.

Definição 5.8 Multiplicação em N.

Para todo m, n  N, a multiplicação em N, é uma aplicação:

• : N  N  N

(m, n)  •(m, n) =m n

simplesmente denotamos • (m, n) como m n e satisfaz o seguinte axioma:

Axioma 5..8

1. Para todo n  N, n 1 =n.

2. Para todo (m, n)  N  N, m n* = m n + m.

Propriedade 5.15

O número zero satisfaz 0 n = n 0 = 0.

Demonstração.

Por indução sobre n.

Esta propriedade é verdadeira para n = 0, portanto 0.0 = 0 por definição de multiplicação.

Suponhamos seja verdadeira para n, logo:

0 n = 0 . . . hipótese auxiliar.

Mostrarei que é válida para n*.

0 n* = 0 n + 0 . . . def. de multiplicação.

= 0+ 0 . . . hipótese de indução.

Segundo o axioma de indução, a propriedade é verdadeira para todo n  N.

Propriedade 5.16 Elemento neutro multiplicativo.

O número 1 é o elemento neutro para a multiplicação, isto é,  n  N, 1 n = n 1 = n.

Demonstração.

É suficiente mostrar que 1 é elemento neutro à direita.

Com efeito, se n=1 tem-se que 1 1 = 1 o qual é verdadeiro.

Suponhamos para h > 1, que 1 h = h . Mostrarei que 1 h* = h*.

Aplicando a hipótese indutiva, observe que 1 h* = 1 h + 1 = h+1 = h^*.

Portanto, o número 1 é o elemento neutro para a multiplicação.

Propriedade 5.17

O conjunto dos números naturais é fechado respeito da multiplicação; isto é, para todo m, n  N tem-se m n  N.

Demonstração.

Suponhamos n seja número natural arbitrário fixo, e consideremos a proposição: P(m) : n m  N, para todo m  N.

Assim, P(1) : n 1 = n  N é verdadeira, pois n 1 = n.

Suponhamos que para algum h  N a proposição P(h) : n h  N seja verdadeira.

Logo, pelo Axioma (5.8) e hipótese indutiva, segue que n h* = n h + n é verdadeira. Isto é n h*  N.

Portanto, o conjunto dos números naturais é fechado respeito da multiplicação.

Propriedade 5.18

Quaisquer que sejam os números naturais m e n, tem-se que m* n = mn + n.

Demonstração.

Exercício para o leitor.

Propriedade 5.19 Comutativa.

A multiplicação é comutativa; isto é para todo (m, n)  N  N, temos mn = n m.

Demonstração.

Esta propriedade é verdadeira para n = 0

m. 0 = 0. m . . . Propriedade (5.5)

Suponhamos verdadeira para n, então m n = n m . . . hipótese auxiliar.

Mostrarei que é válida para n*

m n* = m n + m . . . def. de multiplicação.

= n m+m . . . hipótese de indução.

= n* m . . . Propriedade (5.18)

Pelo axioma de indução, segue que a propriedade é válida  n  N.

Existe uma propriedade em N que relaciona ambas as operações de adição e multiplicação, chamada propriedade distributiva.

Propriedade 5.20 Distributiva.

A multiplicação é distributiva respeito à adição; isto é para todo (m, n, p)  N  N  N tem-se que: (m+n) p = m p + n p.

Demonstração.

É suficiente mostrar a distributividade pela direita por indução sobre p.

A propriedade é verdadeira para p = 0, então (m+n).0 = m 0+n 0

Suponhamos seja verdade para p, (m+n)p = m p + n p

Mostrarei para p*.

(m+n)p* = (m+n)p + (m+n) . . . def. de multiplicação.

= m p + n p + m + n . . . hipótese de indução.

= (m p + m) + (n p + n) . . . comutativa da adição.

= m p* + n p* . . . def. de multiplicação.

Pelo axioma de indução, a propriedade é verdadeira  n  N.

Propriedade 5.21 Associativa.

A multiplicação é associativa, isto é, para todo m, n, p  N, (m n) p = m (n p).

Demonstração.

Mostra-se por indução sobre p, usando a Propriedade (5.20)

Propriedade 5.22

Em N, se um produto é nulo, então ao menos um dos elementos é nulo; isto é: se m.n = 0, então m = 0 ou n = 0.

Demonstração.

1) Suponhamos m n = 0 e m  0. . . . hipótese.

2) m n* = m n + m . Axioma da multiplicação

3) m n* = 0 + m . . (2) e (1)

4) m n* = m 1 . . (3) e Axioma da multiplicação

5) n* = 1 . . . (4) e Propriedade

6) n=0 . . .. (0^* = 1)

Portanto, m.n = 0 implica m = 0 ou n = 0.

Propriedade 5.23

Em N, nenhum elemento distinto de 1 tem simétrico para a multiplicação, isto é m n = 1, então m = 1 e n = 1.

Demonstração.

Suponhamos que m n = 1, se n  0 pela Propriedade (5.20), existe *n  N tal que m n = m(*n) + m.

Do mesmo modo, se m  0, existe *m tal que m = *m+1, logo m n = *m n + n = 1, então m (*n) + *n = 0, logo *n = 0 e n = 1.

De onde pela hipóteses temos que 1 m = 1 implica que m = 1.

Propriedade 5.24

Em N+= N - {0} todo elemento é regular, isto é  a, b  N+, a n = b n e n  0 então a = b.

Demonstração.

Demonstra-se por indução sobre n, considerando como primeiro elemento n = 1.

Conseqüência desta propriedade é que,  a  N* definimos a aplicação ga : N  N por ga(n) = a.n. Observe que esta aplicação é injetiva e que a  b implica ga  gb.

5.2.5 Potência inteira de um número natural.

Para todo a, n  N tem-se que a n-ésima potência do número a é outro natural denotado por an, e se lê “a elevado à n”

Definição 5.9

Seja a  N, a  0, para todo n  N definimos a0 = 1 e an+1 = an a

Desta definição resulta que, para o caso a = 0, a expressão 00 não está definida. Propriedade 5.25

As propriedades das potências inteiras resultam da definição, em particular.

•  a, m, n  N, am an = am+n, se a  0.

•  a, n, p  N, (an)p = anp, se a  0.

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Exemplo 5.8

Considere h: N  N  N definida como segue: h(a, b) = a * b = a . Determine se h é comutativa, associativa. Determine o elemento neutro de h caso exista. Que elementos em N tem simétrico?

Solução.

Como a * b = a e b * a = b, logo h não é comutativa, a * (b * c) = a * b = a e (a * b) * c = a * c = a logo é associativa.

Se h tem elemento neutro e, então e * a = a para todo a  N porém a * e = a, assim não existe elemento neutro.

No tem sentido calcular o elemento simétrico se, não tem elemento neutro.

Exemplo 5.9

Seja (  ) uma operação em R2 definida por (x, y)  (x', y') = (xx'-yy', yx' + xy'). Demonstre que é comutativa e associativa.

Demonstração.

a) Comutativa?

(x, y)  (x', y') = (xx'-yy', yx' + xy') =(x'x-y'y, y'x + x'y)=(x', y')  (x, y)

b) Associativa?

((x, y)  (x', y'))  (c, d) =(xx'-yy', yx' + xy')  (c, d) =

=(c(xx'-yy')-d(yx' + xy'), c(yx' + xy')+ d(xx'-yy')) =

= (cxx'-cyy'- dyx'-dxy', cyx' + cxy'+ dxx'-dyy') (5.4)

Por outro lado

(x, y)  ((x', y')  (c, d)) = (x, y)  (x'c-y'd, y'c + x'd) =

=(cxx'-cyy'- dyx'-dxy', cyx' + cxy'+ dxx'-dyy') (5.5)

Observando (5.4) e (.55) tem-se que ((x, y)  (x', y'))  (c, d) = (x, y)  ((x', y')  (c, d))

Portanto é associativa.

Exercícios 5-1

1. Mostre que, para todo n  N tem-se n+1=1+n.

2. Mostre que a relação + : N  N  N é comutativa; isto é para todo m, n  N temos que m + n = n + m.

3. Mostre que m + n  m para todo m, n  N+.

4. Mostre que, dados m, n  N tais que m=n, então m+r=n+r para todo r  N.

5. Mostre que < em N ^+ é uma relação transitiva, mas não é reflexiva nem simétrica.

6. Mostre que n  0, para todo n  N.

7. Demonstre que para qualquer m, n  N, uma e somente uma das proposições:

(a) m = n, (b) n > m, (c) m > n

é verdadeira. (Lei de tricotomia)

8. Demonstre que se, m, n  N e n>m, então, para cada p  N, n+p > m+p e reciprocamente.

9. Mostre que:

a) (m + n) (p + q) =(m p+ m q)+(n p+n q)

b) m (n+p) q=(m n) q+m(p q)

c) m* + n* = (m+n)*+1

d) m* n* = (mt n)*+m + n

10. Sejam m, n, p, q  N e defina m n pq = (m n p) q: (a) Mostre que nesta igualdade, podemos inserir parênteses à vontade. (b) Prove que m(npq) = m n + m p + m q.

11. Identifique S = { x /. x  N, n^* > x > n para todo n  N }.

12. Se m, n, p, q  N e se n > m e q > p, mostre: (a) n+q > m+p, (b) q n > m p.

13. Sejam m, n  N. Mostre que (a) Se m = n, então n < h^* m para todo h  N. (b) Se h* + m = n para algum h  N, então n > m.

14. Para m, n  N mostre que: (a) n2 > m n > m2, (b) m2+n2 > 2m n

15. Mostre que, se o produto de n números positivos é igual a 1 (um), a soma dos mesmos não é menor que n.

16. Para todo m  N, defina m1= m e mp+1 = mp m desde que mp esteja definido. Se m, n, p, q  N prove que:

a) mp mq = mp+q b) (mp)q = m^{p q} c) (m n)p = mp np

17. Utilizando o princípio de indução matemática, mostre cada um dos seguintes enunciados:

1.} 6 (1^2+2^2+3^2+ . . . + n^2 ) = n(n+1)(2n+1)  n  N, n  0

2.} 4[1^3+2^3+3^3+ . . . + n^3] = n^2(n+1)^2  n  N, n  0

3.} 2[1+4+7+ . . . + (3n-2)] = n(3n-1)  n  N, n  0

4.} 3 [12+32+52+ . . . + (2n-1) 2] = n(4n2-1)  n  N, n  0

5.} 2 [2 + 5 + 8 + . . . + (3n-1)] = n(1+3n)  n  N, n  1

6.} 20 + 21 + 22 + . . . + 2n-1 = 2n – 1  n  N, n > 1

7.} 3 [1  2 + 2  3 + 3  4 + . . . + n(n+1)] = n(n+1)(n+2)  n  N, n  0.

18. Mostre que, se a, b  N tais que b  a e a  0, então uma das seguintes igualdades cumpre: 1. a = qb 2. a = qb + r, r < b, onde q, r  N.

19. Se n  N, o fatorial do número n é denotado n!, e definido do modo seguinte:

0! = 1 , 1! = 1 e quando n > 1 define-se n! = 1  2  3  4  5  . . . (n-1)  n ou n! = n(n-1)(n-2)(n-3) . . . 4  3  2  1. Mostre que:

1. 2^{n-1}  n!  n  N.

2. 2^n < n! < n^n para  n  N n  4.

20. Mostre a desigualdade: (n+1)2 > 22 n ! para n  N sendo n  2.

21. Mostre que todo subconjunto não vazio A  N possui um primeiro elemento, isto é, um elemento n0  A tal que n0  n para todo n  A.