MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

Ricardo Seminario Vasquez

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MÉTODO DE PUNTO FIJO

Ejemplos:

1) La ecuación se puede transformar en .

2) La ecuación se puede transformar en .

Teorema de punto fijo. Supongamos que

(i)

(ii) K es una constante positiva,

(iii)

(iv) para todo .

Entonces hay un punto fijo P de g en [a,b].

Si para todo , entonces P es el único punto fijo de g en [a,b] y la iteración converge a dicho punto fijo P. En este caso, se dice que P es un punto fijo atractivo.

Si y entonces la iteración no converge a P. En este caso se dice que P es un punto fijo repulsivo y la iteración presenta divergencia local.

En el ejemplo 1, claramente se cumple la condición de que . Por lo tanto el método sí converge a la raíz.

En el ejemplo 2, y en este caso, . Por lo tanto, el método no converge a la raíz.

Interpretación grafica de la iteración de punto fijo:

Ejemplo: Para la función

g’(x)<0 en [1,2] ,

no hay convergencia a punto fijo.

Empezando con p0=1.5 y cambiando intervalo a [1,1.5]. Aquí g siga decreciente y además

hay convergencia.

Ejercicio. Hallar las raíces de la ecuación x=2cosx partiendo desde x=1 por el método de punto fijo, estudiar el valor de la derivada.

Ejercicio: Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de , comenzando con . Hacer 5 iteraciones.

Ejercicio: Averiguar si hay convergencia a punto fijo para la función

en intervalo [1,2]

MÉTODO DE NEWTON RAPHSON

Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.

Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,

Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al eje en un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .

Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente

Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:

Hacemos :

Y despejamos :

Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:

, si

Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.

También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de !

Ejemplo 1

Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .

Solución

En este caso, tenemos que

De aquí tenemos que:

Comenzamos con y obtenemos:

En este caso, el error aproximado es,

Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.

Resumimos los resultados en la siguiente tabla:

Aprox. a la raíz Error aprox.

1

1.268941421 21.19%

1.309108403 3.06%

1.309799389 0.052%