Ejemplos:
1) La ecuación se puede transformar en .
2) La ecuación se puede transformar en .
Teorema de punto fijo. Supongamos que
(i)
(ii) K es una constante positiva,
(iii)
(iv) para todo .
Entonces hay un punto fijo P de g en [a,b].
Si para todo , entonces P es el único punto fijo de g en [a,b] y la iteración converge a dicho punto fijo P. En este caso, se dice que P es un punto fijo atractivo.
Si y entonces la iteración no converge a P. En este caso se dice que P es un punto fijo repulsivo y la iteración presenta divergencia local.
En el ejemplo 1, claramente se cumple la condición de que . Por lo tanto el método sí converge a la raíz.
En el ejemplo 2, y en este caso, . Por lo tanto, el método no converge a la raíz.
Interpretación grafica de la iteración de punto fijo:
Ejemplo: Para la función
g’(x)<0 en [1,2] ,
no hay convergencia a punto fijo.
Empezando con p0=1.5 y cambiando intervalo a [1,1.5]. Aquí g siga decreciente y además
hay convergencia.
Ejercicio. Hallar las raíces de la ecuación x=2cosx partiendo desde x=1 por el método de punto fijo, estudiar el valor de la derivada.
Ejercicio: Usar el método de iteración del punto fijo para aproximar la raíz de , comenzando con . Hacer 5 iteraciones.
Ejercicio: Averiguar si hay convergencia a punto fijo para la función
en intervalo [1,2]
MÉTODO DE NEWTON RAPHSON
Este método, el cual es un método iterativo, es uno de los más usados y efectivos. A diferencia de los métodos anteriores, el método de Newton-Raphson no trabaja sobre un intervalo sino que basa su fórmula en un proceso iterativo.
Supongamos que tenemos la aproximación a la raíz de ,
Trazamos la recta tangente a la curva en el punto ; ésta cruza al eje en un punto que será nuestra siguiente aproximación a la raíz .
Para calcular el punto , calculamos primero la ecuación de la recta tangente. Sabemos que tiene pendiente
Y por lo tanto la ecuación de la recta tangente es:
Hacemos :
Y despejamos :
Que es la fórmula iterativa de Newton-Raphson para calcular la siguiente aproximación:
, si
Note que el método de Newton-Raphson no trabaja con intervalos donde nos asegure que encontraremos la raíz, y de hecho no tenemos ninguna garantía de que nos aproximaremos a dicha raíz. Desde luego, existen ejemplos donde este método no converge a la raíz, en cuyo caso se dice que el método diverge. Sin embargo, en los casos donde si converge a la raíz lo hace con una rapidez impresionante, por lo cual es uno de los métodos preferidos por excelencia.
También observe que en el caso de que , el método no se puede aplicar. De hecho, vemos geométricamente que esto significa que la recta tangente es horizontal y por lo tanto no intersecta al eje en ningún punto, a menos que coincida con éste, en cuyo caso mismo es una raíz de !
Ejemplo 1
Usar el método de Newton-Raphson, para aproximar la raíz de , comenzando con y hasta que .
Solución
En este caso, tenemos que
De aquí tenemos que:
Comenzamos con y obtenemos:
En este caso, el error aproximado es,
Continuamos el proceso hasta reducir el error aproximado hasta donde se pidió.
Resumimos los resultados en la siguiente tabla:
Aprox. a la raíz Error aprox.
1
1.268941421 21.19%
1.309108403 3.06%
1.309799389 0.052%