MÉTODOS NUMÉRICOS PARA INGENIERÍA

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Ricardo Seminario Vasquez

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SOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES MEDIANTE EL METODO DE REDUCCION DE GAUSS-JORDAN

En esta parte el lector hallará la solución de sistemas de ecuaciones lineales usando el

Método de Gauss-Jordan. El tema se presenta en 4 secciones: A) sistemas con solución única, B) sistemas con infinidad de soluciones, C) sistemas sin solución y D) sistemas homogéneos.

A) SISTEMAS CON SOLUCION UNICA

1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones lineales mediante el método de Gauss-Jordan.

Solución.

a) Escribimos la matriz aumentada del sistema.

Debemos llevar a dicha matriz a su forma escalonada reducida mediante operaciones elementales en los renglones de la matriz, para ésto, escribiremos la matriz y a continuación una flecha. Encima de esta flecha indicaremos la(s) operación(es) que estamos efectuando para que el lector pueda seguir el desarrollo.

Notación para las operaciones elementales en renglones

nuevo renglón i de la matriz aumentada.

intercambio del renglón i con el renglón j.

nuevo renglón j de la matriz aumentada.

b) Desarrollo para obtener la forma escalonada reducida.

2) Resuelva el siguiente sistema de ecuaciones lineales

Solución.

Escribiendo la matriz aumentada del sistema y reduciendo de acuerdo a la operación indicada tenemos:

B) SISTEMAS CON INFINIDAD DE SOLUCIONES

1) Obtener la solución del siguiente sistema de ecuaciones lineales.

Solución.

La última matriz está en su forma escalonada reducida, ya no se puede reducir más, de donde obtenemos:

Despejando x, y

Luego x, y dependen de z, si z = t, t ¸ R, tenemos

Es decir, el sistema de ecuaciones tiene una infinidad de soluciones ya que para cada valor de t habrá un valor para x, y, z.

Por ejemplo:

Si T=0 entonces , es una solución para el sistema de ecuaciones.

Si T=1 entonces es otra solución para el sistema de ecuaciones.

Si T=4 entonces también es solución para el sistema de ecuaciones.

Así una vez más, remarcamos, el sistema tiene una infinidad de soluciones.

2) Resolver el sistema de ecuaciones:

Solución.

Si w = t, tenemos:

Hay infinidad de soluciones.

C) SISTEMAS SIN SOLUCION

1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Solución.

No hay necesidad de seguir reduciendo, del segundo renglón se tiene que da la igualdad (¡contradicción!), por lo tanto, el sistema no tiene solución.

2) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones.

Solución.

Del tercer renglón se tiene que da la igualdad 0=3, luego el sistema no tiene solución.

D) SISTEMAS HOMOGENEOS

Un sistema de ecuaciones lineales se dice HOMOGENEO si cada una de las ecuaciones está igualada a cero es decir

Los sistemas homogéneos SIEMPRE tienen solución ya que

Es solución del sistema, ésta solución es llamada la solución trivial, así un sistema homogéneo de ecuaciones lineales tiene solución única o tiene una infinidad de soluciones.

1) Resolver el siguiente sistema de ecuaciones

Solución.

Luego x=y=z=0, el sistema tiene solución única, la solución trivial.

Algo más para agregar

Hay dos temas adicionales que se deben de mencionar: La interpolación con los datos igualmente espaciados y la Extrapolación.

Ya que los métodos de Newton y de Lagrange son compatibles con los datos espaciados en forma arbitraria, se debe de preguntar por que se aborda el caso de los datos igualmente espaciados. Antes del advenimiento de las computadoras digitales, estos métodos tuvieron gran utilidad en la interpolación de tablas con datos igualmente espaciados. De hecho se desarrolla un esquema conocido como tabla de diferencias divididas para facilitar la implementación de estas técnicas.

Sin embargo, y debido a que las fórmulas son un subconjunto de los esquemas de Newton y Lagrange compatibles con la computadora y ya que se dispone de muchas funciones tabulares como rutinas de biblioteca, la necesidad de puntos equidistantes se fue perdiendo. En particular, se puede emplear en la derivación de fórmulas de integración numérica que emplean comúnmente datos equidistantes.

La extrapolación es el proceso de calcular un valor de f(X) que cae fuera del rango de los puntos base conocidos X0, X1, ... , Xn. La interpolación mas exacta usualmente se obtiene cuando las incógnitas caen cerca de los puntos base.

Obviamente, esto no sucede cuando las incógnitas caen fuera del rango, y por lo tanto, el error en la extrapolación puede ser muy grande. La naturaleza abierta en los extremos de la extrapolación representa un paso en la incógnita porque el proceso extiende la curva más allá de la región conocida. Como tal, la curva verdadera diverge fácilmente de la predicción. Por lo tanto, se debe tener cuidado extremo en casos donde se deba extrapolar.