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INTERPOLACIÓN LINEAL

Concepto : Interpolar significa encontrar un valor intermedio entre dos o mas puntos base conocidos, los cuales se pueden aproximar mediante polinomios.

Sea en el sistema de coordenadas de la grafica anterior, las ecuaciones F(x) y G(x) en cuyo espacio “a”, “b” se pueden interpolar determinados valores.

Tipos de interpolación

1. interpolación con espacios equidistantes

2. interpolación con espacios no equidistantes

INTERPOLACIÓN CON ESPACIOS EQUIDISTANTES O INTERPOLACION DE NEWTON

• DIFERENCIAS PROGRESIVAS : Son llamadas diferencias hacia delante y se definen como :

o primeras diferencias : ΔYi = Yi+1 - Yi i=0,1,2,3...n (1)

o segundas diferencias : Δ 2Yi = Δ Yi+1 - Δ Yi i=0,1,2,3...n (2)

o terceras diferencias : Δ 3Yi = Δ 2Yi+1 - Δ 2Yi i=0,1,2,3...n (3)

o k- écimas diferencias Δ kYi = Δ kk-1Yi+1 - Δ k-1Yi i=0,1,2,3...n (4)

k=0,1,2,3...n

donde :

Δ es el operador de diferencias progresivas

Para i=0 en la ecuación (1)

ΔY0 = Y1 – Y0 Y1 = Y0 + ΔY0 (5)

Para i=1 en la ecuación (1)

ΔY1 = Y2 – Y1 Y2 = Y1 + ΔY1 (6)

Para i=0 en la ecuación (2)

Δ 2Y0 = Δ Y1 – Δ Y0 Δ Y1 = Δ 2Y0 + ΔY0 (7)

Sustituyendo las ecuaciones (7) y (5) en (6)

Y2 = Y1 + ΔY1

Y2 = (Y0 + ΔY0) + (Δ 2Y0 + ΔY0)

Y2 = Y0 + 2ΔY0 + Δ 2Y0 (8)

De las ecuaciones (5) y (8)

Y1 = Y0 + ΔY0 sacando factor comun Y0 tenemos : Y1 = (1 + Δ)1Y0

Y2 = Y0 + 2ΔY0 + Δ 2Y0 sacando factor comun Y0 tenemos : Y2 = (1 + Δ)2Y0

Entonces para Y3

Y3= (1 + Δ)3Y0 (9)

Generalizando, tendremos :

Yk=(1 + Δ)kY0 (10)

El Segundo miembro de la ecuación (10) corresponde al Binomio de Newton

Elevado al exponente “k”, el cual puede desarrollarse del siguiente modo:

Yk = Y0 + ΔY0 + Δ 2Y0 + ..... + Δ kY0 (11)

Para : K= 1,2,3, ...n

Yk = Y0 + ΔY0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0 (12)

Para : K= 1,2,3, ...n

Si se toma un valor “j” cualquiera menor que “k” y si las j-esimas diferencias son constantes, entonces todas las diferencias de orden superior a “j” serán cero, por lo que la ecuación (11) queda :

= =

donde :

es un polinomio en K de grado “j” de la forma :

yk = a 0 + a1k + a22k2 + ..... .+ ajkj (14)

Si consideramos la función tabular con espaciamiento “h”constante

X Y

X0 Y0

X1=X0+h Y1

X2=X0+2h Y2

... ...

Xk=X0+kh YK

Xn=X0+nh Yn

Donde :

X1-X0 = h

X2-X0 =2h

................

XK-X0 = Kh

Xn-X0 = nh

Donde queda la expresión: K =

Sustituyendo (15) en (14)

Yk = b 0 + b1x + b2x2 + ..... .+ bjxj

Se llama Polinomio de Newton con espaciamiento constante

Ejercicio 01

En base a la función tabular que se muestra, preparar la tabla de diferencias:

X Y

0 -5

1 1

2 9

3 25

4 55

5 105

Solución

las primeras diferencias son :

Δ1Y0 = Y1-Y0 = 1-(-5) = 6

Δ1Y1 = Y2-Y1 = 9 - 1 = 8

Δ1Y2= Y3-Y2 = 25- 9 =16

Δ1Y3= Y4-Y3 = 55-25 =30

Δ1Y4 = Y5-Y4 = 105-55 =50

las segundas diferencias son :

Δ2Y0 = ΔY1- ΔY0 = 8 - 6 = 2

Δ2Y1 = ΔY2- ΔY1 = 16 - 8 = 8

Δ2Y2= Δ Y3- Δ Y2 = 30 - 16 =14

Δ2Y3= Δ Y4- Δ Y3 = 50 -30 =20

las terceras diferencias son :

Δ3Y0 = Δ 2Y1- Δ 2Y0 = 8 - 2 = 6

Δ3Y1 = Δ 2Y2- Δ 2Y1 = 14 - 8 = 6

Δ3Y2= Δ 2Y3 - Δ 2 Y2 = 20 - 14 = 6

Queda entonces la tabla de resultados:

X Y Δ1Y Δ2Y Δ3Y

0 -5

1 1 6

2 9 8 2

3 25 16 8 6

4 55 30 14 6

5 105 50 20 6

Por ser Δ3Y constante, corresponde a un polinomio de tercer grado y es un polinomio exacto

En la ecuación (12)

Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0

Si hacemos J=1, entonces tendremos el polinomio de primer grado que se aproxima a f(x)

Yk = Y0 + ΔY0

Siendo :

K =

Tendremos :

Yk = Y0 + ( )ΔY0

Que corresponde a un polinomio de primer grado

Ejercicio 02

De la tabla del ejercicio 01, hallar la función explicita, teniendo como condiciones iniciales: X0 =1, Y0=1

solución

K =

Como por dato tenemos X0=1, siendo los valores de X constantes, entonces h=1

Δ1Y0=8, Δ2Y0=8, Δ3Y0=6

K =

Quedando :

K = x - 1

Reemplazando en la ecuación general :

Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 + .... Δ kY0+ 0

Yk = Y0 + Δ 1Y0 + Δ 2Y0 + Δ 3Y0

Reemplazando en la ecuación anterior:

Δ1Y0=8, Δ2Y0=8, Δ3Y0=6

Yk = Y0 + 8 + 8 + 6

Conociendo por formula de permutaciones:

=

=

=

Yk = 1 + *8 + *8 + *6

Y = 1+(x-1)*8 + (x-1)(x-2)*4 + (x-1)(x-2)(x-3)*1

Simplificando queda :

Y = X3 – 2X2 + 7 X - 5 SOLUCION PEDIDA