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ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

Las ecuaciones diferenciales tienen importancia fundamental en las aplicaciones, ya que muchas leyes y relaciones físicas pueden idealizarse matemáticamente en la forma de estas ecuaciones. En particular, el estudio de problemas de equilibrio de sistemas continuos se encuentra dentro de este contexto. SOLUCIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.

Dada una ecuación diferencial ordinaria de orden n y cualquier grado, cuya forma general es:

(1)

Se establece en matemáticas que en su solución general deben aparecer n constantes arbitrarias. Entonces, puede aceptarse que la solución general de (1) es:

G(X, Y, C1, C 2, ... , C n) = 0 (2)

Se distinguen dos tipos de problemas: los llamados de Valores Iniciales y los de Valores en la Frontera.

Un problema de valores iniciales está gobernado por una ecuación diferencial de orden n y un conjunto de n condiciones independientes todas ellas, válidas para el mismo punto inicial. Si la ecuación (1) es la ecuación diferencial que define el problema, y X = a es el punto inicial, puede aceptarse que las n condiciones independientes son:

(3)

Por el contrario, en los problemas de valores en la frontera deben establecerse condiciones de frontera en todos y cada uno de los puntos que constituyen la frontera del dominio de soluciones del problema. En particular en el espacio de una dimensión, hay dos puntos frontera, por ejemplo, X = a y X = b, si el dominio de soluciones es el intervalo cerrado

Básicamente la solución numérica de ecuaciones diferenciales consiste en sustituir el dominio continuo de soluciones por uno discreto formado por puntos aislados igualmente espaciados entre sí.

Así, en un problema de valores iniciales, el dominio de definición de soluciones se sustituye por el conjunto infinito numerable de puntos,

X0 = a, X 1 = X 0 + h, X 2 = X 0 + 2h, X 3 = X 0 + 3h, ...

y en el caso de valores en la frontera se sustituye el intervalo por el conjunto finito de puntos

X0 = a, X 1 = X 0 + h, X 2 = X 0 + 2h, ... , X n = X 0 + nh = b

Obtenidos, al dividir el intervalo en n partes iguales.