INTRODUÇÃO A EPISTEMOLOGIA DA CIENCIA

3.3.6 Depois de Cristo.

Período II

Considerado como o período II na classificação de Henri Poincaré corresponde ao das Matemáticas e Ciência (1500 - 1800) O rigor intelectual do renascimento da origem a uma nova ciência com base na matemática.

Deste modo surge a geometria das coordenadas (geometria analítica) de René Descartes (1596-1650) e o calculo diferencial e integral de Gottfried W. Von Leibniz. Descartes formulou quatro regras à que se deve sujeitar qualquer pesquisa científica.

Somente pode-se admitir como verdadeiro aquilo que é evidente e está demonstrado.

 É indispensável dividir o complexo em tantas partes seja possível.

 Proceder do simples a o complexo, do mais evidente ao menos evidente.

 Investigar o objeto de estudo em todos seus detalhes e pormenores.

Leibniz (1646 - 1716 ) merece ser citado, apesar de seus trabalhos terem tido pouca influência nos 200 anos seguidos e só foram apreciados e conhecidos no século XIX. Toda a época compreendida entre (390a.C a 1840 d.C) segundo Henri Poincaré a classifica como o período Aristotélico.

Período III.

Também conhecido como o período da Formalização das Matemáticas (1821 - 1940).

Um grande passo no desenvolvimento da lógica o deu Gotlob Frege (1848-1925 ) com sua obra "Begriffsschrift" de 1879. As idéias de Frege só foram reconhecidas pelos lógicos mais ou menos a partir de 1905. É devido a Frege o desenvolvimento da lógica que se seguiu. Giuseppe Peano (1858-1932) e sua escola com Burali Forti, Vacca, Pieri, Pádoa, Vailati, etc. Quase toda a simbologia da matemática se deve a essa escola italiana.

Devido a influencia dos filósofos Giuseppe Peano e Hilbert, durante o século XIX as matemáticas se caracterizam pelo rigor. Peano o criador da lógica simbólica e Hilbert criador da escola formal. De acordo com esta escola, qualquer enunciado verdadeiro, deve poder ser deduzido dos axiomas do sistema.

Peano realiza uma analise do processo demonstrativo da matemática. Estabelece a formulação axiomática da aritmética através de seus famosos axiomas de Peano, os quais definem os números naturais em termos da teoria de conjuntos, surgindo assim a lógica matemática. Peano também cria a linguagem internacional denominado interlíngua, considerado como vocabulário oi Inglês, francês, alemão e latim. Ainda quando Peano é o fundador da lógica matemática, é considerado o alemão Gottlob Frege como o padre da Lógica matemática.

Período Booleano. ( 1840 a  1910)

Nasce neste período a lógica Booleana de George Boole (1815-1864 ). Ele entusiasta pela lógica e matemática em geral cresce, as matemáticas então colocadas sob fundamentos firmes e finalmente formalizadas. Boole definiu o que atualmente conhecemos como lógica booleana na qual somente se trabalha com dois valores: falso e verdadeiro (1 e 0). Ele introduz a álgebra da lógica e formula as leis do calculo proposicional.

Um avanço importante se obtém então com Augustus de Morgan ( 1806-1871 ), que fez uma analise das leis, símbolos e operações da matemática. Inventa a expressa “indução matemática”, expressa rigorosamente as leis distributivas da negação. Morgan obtém as famosas leis de Morgan usadas at´pe o momento nos processos da dedução da lógica moderna.

George Boole e Augustus de Morgam publicaram os fundamentos da chamada: "Álgebra da lógica", respectivamente com "Mathematical Analysis of Logic" e "Formal Logic".

Surge o Cálculo de Seqüentes de Gentzen,, vigente até nossos dias e utilizado como método de dedução natural. Gentzen,foi discípulo de eminentes matemáticos como Courant, Landau e o próprio Hilbert, para quem trabalhou como seu assistente até 1934 na universidade de Gottingen, na Alemanha, conta-se que voltou a trabalhar com ele de 1939 a 1943 . O sistema da dedução natural o Cálculo de Seqüentes foi objeto de estudo até nossos dias, por parte dos estudiosos da demonstração automática de teoremas de inteligência artificial.

No obstante neste período com as idéias dos filósofos como Russell y Gödel projetam, de acordo com a lógica mesma, imitações no só a lógica porem a ciência em geral: existem verdades que não podem ser deduzidas de todos os sistemas axiomáticos (sistemas incompletos).

Bertrand Russell realizou grandes contribuições à lógica formal, incluindo seu famoso paradoxo de Russell, o qual foi um golpe terrível à teoria de conjuntos clássica. Neste paradoxo Russell manifesta a impossibilidade de evaluar expressões para determinados conjuntos, ao definir o conjunto de todos os conjuntos os quais não são membros deles mesmos.

Para tal conjunto, se este existe, ele será um membro de si mesmo, se e somente se ele não é membro de se mesmo. Conseqüentemente, se tem contradição. Até agora se fizeram intentos por resolver este paradoxo, incluso ele mesmo inclui uma solução em sua famosa “Teoria de Tipos”, onde a idéia básica é a de estabelecer tipos de classes ou bem objetos os quais podem conter tipos ou classes (ou objetos) de hierarquia inferior e onde um tipo (classe ou objeto) não se pode conter assim mesmo.

A “Teoria de Tipos” de Russell fez possível a criação da linguagem de especificação moderna, (surgido a partir dos 1980 's) e a metodologia de desenho e programação conhecida como Orientada a Objetos e que surgiu desde os 1970 's com a linguagem modula e que se fez popular nos 1990 's. Bertrand Russell escreveu varias obras importantes. “The Principles” em 1903, onde introduz sua famosa Teoria de Tipos e em 1908 seu artículo “Mathematical Logic as Based on the Theory of Types”. Alem disso, conjuntamente com Alfred North Whitehead, escreve em 1913 sua obra monumental Principia Mathematica.

Kurt Gödel (1906-1978) expõe seus teoremas de Incompletez e Completez, os quais tratam propriedades de sistemas de enunciados consistentes e/ou completos. Estes teoremas, ainda quando som pouco conhecidos para a gente comum e corrente, são de uma enorme transcendência científica, já que fez abordagens que envolvem no só a lógica, sino a ciência em general. Por sua relevância, estes teoremas foram sido comparados em importância nas abordagens de Einstein sobre a Teoria da Relatividade e a Mecânica Estatística. Isto traz um auge para a Lógica Formal, pero também seus primeiros descalabros. Existem por tanto sociedades sobre Kurt Gödel, que se dedicam a analisar sua obra.

Mais tarde, Bacon e Stuart Mill aprofundaram esses ensinamentos e dividiram a lógica em três áreas:

 Formal: Aquela que acabamos de explicar.

 Transcendental: Esta lógica estuda as condições que dão base ao nosso conhecimento. Kant explicou que o intelecto tende a colocar tudo em ordem, cada tijolinho no lugar. Aliás, cada pessoa já possui uma lógica natural ao interpretar e classificar o que ela vive.

 Matemática: Os filósofos desenvolveram a lógica matemática há pouco tempo (Frege, Peano, Russell e outros). Ela origina fórmulas de outras fórmulas, é puro cálculo. São regras e mais regras inventadas, como jogos de cartas.

Hegel, no entanto, achava que a lógica referia-se ao pensamento e à realidade; disse que:

“Tudo o que é racional é real e tudo o que é real é racional”.

Período IV.

Também conhecido como o período da Revolução Digital (1940 - 2005). Começa com a invenção do computador digital, o que nos leva ao acesso universal a redes, conectadas a processadores digitais poderosos e sistemas multimídia, entre outros. A informação transforma a economia e a sociedade em geral.

Alan Mathison Turing (1912-1954), estabelece a relação entre a lógica e a computação eletrônica. Planeja-se a famosa Máquina de Turing, a qual é a base da Teoria da Computação atual. Turing é, por tanto, considerado o pai da Teoria da Computação. Também Turing planejou sua famosa Prova de Turing, a qual é muito conhecida hoje em dia em Inteligência Artificial. Nesta proba, Turing questiona si será possível distinguir a uma máquina de um ser humano quando nos proporciona informação sem que se saiba com antecedência de quem se trata.

Norbert Weiner (1894-1964) funda a ciência da cibernética e estabelece o desenvolvimento da lógica experimental, por sua parte, Alfred Tarski (1902-1983 ) estabelece a fundamentação da metalógica e a meta-matemática e desenvolve também um tratamento semântico da verdade. Finalmente Wang Hao (1921- ), quem foi um biógrafo e seguidor de Gödel, formula um algoritmo que permite decidir quando uma fórmula do Cálculo Proposicional é um teorema. Na escola moderna da computação encontramos lógicos que permitiram avances importantes afortunadamente todos eles ainda estão vivos. Hoare apresenta um sistema axiomático dos sistemas de programação e Dijkstra um sistema de verificação e dedução de programas a partir de especificações.

Os métodos de Hoare atualmente permitiram a especificação de sistemas distribuídos e concorrentes. Por outro lado James Allen, A. Pnuelli e Mac Dermott fizeram proposições sobre lógica Temporal e Modal que permitam o desenvolvimento de sistemas de planificação, onde considerar o tempo é crucial. Atualmente os sistemas multiagentes utilizam sistemas formais apoiados em lógica modal e temporal de Allen, Pnuelli, Mac Dermott ou alguma variação de eles.

Período V.

É conhecido como o período da Revolução Lógica (2005 - ? ). A revolução digital proporciona os fundamentos econômicos e tecnológicos para a transformação de redes globais de computadores em sistemas inteligentes, os quais usam a lógica e os métodos formais (baseados em métodos matemáticos) para suportar nosso trabalho, educação e entretenimento. Entre a informação relacionada com as épocas I e II podemos citar a John Harrison, que apresenta uma história da lógica formal, este documento é na verdade parte de seu artigo "Formalized Mathematics". A pagina LogicAL (Logic,Philosophy, and Artificial Life Resources), tem informação interessante sobre a história da lógica e sua conexão com métodos não determinísticos, como Redes Neurais por exemplo

3.3.7 História da lógica na Internet.

Existem centros e institutos de pesquisas que consagram a maior parte de seu esforço à história das matemáticas conseqüentemente à lógica. Por outro lado, contar com endereços sobre a evolução da lógica, também nos enlaça as diversas áreas da lógica e da lógica formal e a suas principais aplicações nas ciências computacionais. Assim mesmo, consideramos que o saber desta informação organizada, evocando em forma paralela a historia e evolução da lógica, pode resultar de utilidade para aqueles que se adentram nesta área.

A escola de matemática e ciências computacionais da universidade de St. Andrews na Escócia tem uma coleção de mais de 1000 biografias e artigos históricos sobre matemática. Em particular a página Turnbull (ou Mac Tutor) da Universidade de St. Andrews têm diversos tópicos relacionados com a história da matemática e desde logo a lógica (pode-se encontrar um panorama geral da historia da matemática)