INTRODUÇÃO A EPISTEMOLOGIA DA CIENCIA

INTRODUÇÃO A EPISTEMOLOGIA DA CIENCIA

Christian José Quintana Pinedo(CV)
Karyn Siebert Pinedo (CV)

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3.6 DIVERSOS TIPOS DE NÚMEROS

3.6.1 Números irracionais.

Figura 3.1:

A origem histórica da necessidade de criação dos números irracionais está intimamente ligada com fatos de natureza geométrica e de natureza aritmética [2]. Os de natureza geométrica podem ser ilustrados com o problema da medida da diagonal do quadrado quando a comparamos com o seu lado.

Este problema geométrico arrasta outro de natureza aritmética, que consiste na impossibilidade de encontrar números conhecidos - racionais - para raízes quadradas de outros números, como por exemplo, raiz quadrada de 2.

Ora, estes problemas já eram conhecidos da Escola Pitagórica (século V a.C. ), que considerava os irracionais heréticos. A Ciência grega consegui um aprofundamento de toda a teoria dos números racionais, por via geométrica – “Elementos” de Euclides - mas não avançou, por razões essencialmente filosóficas, no campo do conceito de número. Para os gregos, toda a figura geométrica era formada por um número finito de pontos, sendo estes concebidos como minúsculos corpúsculos – “as mónadas” - todos iguais entre si; daí esultava que, ao medir um comprimento de n mónadas com outro de m , essa medida seria sempre representada por uma razão entre dois inteiros n/m (número racional); tal comprimento incluía-se, então na categoria dos comensuráveis.

Ao encontrar os irracionais, aos quais não conseguem dar forma de fração, os matemáticos gregos são levados a conceber grandezas incomensuráveis. A reta onde se marcavam todos os racionais era, para eles, perfeitamente contínua; admitir os irracionais era imagina cheia de “buracos”. É no século XVII, com a criação da Geometria Analítica (Fermat e Descartes), que se estabelece a simbiose do geométrico com o algébrico, favorecendo o tratamento aritmético do comensurável e do incomensurável. Newton (1642-1727) define pela primeira vez “número”, tanto racional como irracional.

3.6.2 Outros tipos de número.

Este resumo é uma tentativa de mostra as definições mais básicas sobre diversos tipos de números o que faz acessível para os estudantes e pesquisadores de todas as idades, algumas são somadas definições novas.

Número abundante.

Suponha temos um inteiro positivo n e soma de seus divisores positivos. Por exemplo, se n = 12 , então a soma é 1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28 . Quando fazemos isto com o inteiro n um dos seguintes três situações acontecem:

a soma é: e nós dizemos que n é um exemplo

menor que 2n número deficiente 1, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9

igual a 2n número perfeito 6, 28, 496

maior que 2n número abundante 12, 18, 20, 24, 30

Números deficientes e abundantes foram nomeados pela primeira vez por Nicomachus em Introdução à Aritmética (100 a.C.).

Existe uma infinidade de números abundantes, estranho (por exemplo, todo múltiplo de 12 ) e (por exemplo, todo múltiplo diferente de 945 ). Todo múltiplo formal de um número perfeito, e todo múltiplo de um número abundante, é abundante (porque quando n > 1, > 1+ ; e  é uma função multiplicativa). Deleglise mostrou que em média 24.7% dos inteiros positivos são abundantes (mais especificamente, que a densidade natural dos inteiros abundantes está no intervalo (0.2474, 0.2480) ). Todo inteiro maior que 20.161 pode ser escrito como a soma de dois números abundantes.

Número algébrico.

Um número real diz-se número algébrico se é uma raiz de um polinômio com coeficientes de números inteiros; e seu grau é o menor dos graus dos polinômios que tem este número como uma raiz. Por exemplo, número racional a/b com b  0) é um número algébrico de grau um , pois é um raiz de p(x) = bx - a . A raiz quadrada de 2 é um número algébrico de grau dois porque é uma raiz de p(x)= x^2-2 . Se um real número a não é algébrico, então é um número transcendente.

A base dos logaritmos naturais e = 2.71828... , e  = 3.14159... são ambos transcendentes. Quase de fato, todos os números reais são transcendentais porque o conjunto de números algébricos é enumerável.

Números amigáveis.

O par de números 220 e 284 têm a propriedade curiosa que cada um “contém “ o outro. De que modo? Na sensação que é que, a soma dos divisores positivos formais de cada, some o outro. Observe:

Para 220 1+2+4+5+10+11+20 +22+44+55+110 = 284

Para 284 1+2+4+71+142 = 220

Cada par de números é chamado “números amigáveis”. Estes números têm uma história longa em magia e astrologia e fazem poções de amor e talismãs. Como um exemplo, pensaram alguns comentaristas judeus antigos que o Jacob deu para seu irmão 220 ovelhas (200 fêmeas e 20 machos) quando ele teve medo sabia que seu irmão ia assassina-lo (Gênese 32:14). O filósofo Iamblichus de Chalcis ( 250-330 d.C. ) escreve que o Pitágoras conheceu estes números:

“Eles chamam certos números amigáveis e adotam virtudes e qualidades sociais para números, como 284 e 220 ; para as partes de cada tenha o poder para gerar o outro”.

Pitágoras falou respeito de um amigo: “... um que é o outro eu, como é 220 e 284“.

Agora números amigáveis são freqüentemente (e corretamente!) achados em parte das seções de exercício de textos elementares sob teoria de número.

Não há nenhuma fórmula ou método conhecido para listar tudo dos números amigáveis, mas fórmulas com certeza foram especiais foram descobertas ao longo dos anos. Ibn de Thabit Kurrah ( 850 d.C )diz o seguinte:

“Se n > 1 e cada de p = 3.(2)n-1-1, q = 3.(2)n-1, e r = 9.(2)2n-1-1 são primos, então 2npq e 2nr são números amigáveis”.

Séculos antes desta fórmula descobriam o segundo e terceiro par de números amigáveis!. Fermat em uma carta para Mersenne em 1636 anunciou para o par de números amigáveis 17,296 e 18,416 aqui ( n = 4 ) . Descartes escreveu a Mersenne em 1.638 indicando o par 9.363.584 e 9+437.056 aqui ( n=7 ).

Euler contribuiu com números amigáveis, incrementando uma lista de sessenta e quatro pares novos, porém ele fez dois erros. Em 1909 um dos pares de Euler foi achado como não sendo amigáveis, e em 1914 o mesmo destino levou um segundo par. Em 1866 um menino de dezesseis anos, Nicolo Paganini, descobriu o par de números amigáveis ( 1184, 1210 ) que era previamente desconhecido.

Agora, procuras de computador extensas acharam todos os tais números com 10 ou menos dígitos e numerosos exemplos maiores, para um total de mais de 7500 pares amigáveis. é desconhecido se existe infinitamente pares de números amigáveis. Também é desconhecido se há um par de números primos relativos de números amigáveis.

Número de Bernoulli.

Os números de Bernoulli denotados por Bk onde k  N aparecem como os coeficientes na expansão de série de Taylor de . Eles podem são definidos recursivamente fixando B0 =1 , e usando :

B0 + B1 + . . . + Bk-1 + Bk = 0

Alguns dos primeiros números de Bernoulli são: B0=1, B1= - , B2 = , B3=0, B4= - , B5=0, B6 = , B7=0, B8= - , B9=0, e B10 = . Note-se alguma das condições estranhas, tudo B2n+1 ( n> 1) , é zero; e as condições de sinais alternados.

Estes números que também usam a função  de Riemann podem ser definidos como segue: (-n) = .

Finalmente, usando a fórmula de Stirling, nós temos:

| B2n| 4

Os números de Bernoulli aparecem pela primeira vez no trabalho póstumo “Ars Conjectandi” em ( 1713 ) por Jakob Bernoulli.

Euler os usou para expressar as somas de potências de inteiros sucessivos iguais. Eles também são importantes nos clássicos resultados do último Teorema de Fermat.

Congruência.

Uma das ferramentas mais importantes em teoria de elementar de números é aritmética modular (ou congruências). Suponha a e b sejam qualquer inteiro sendo a  0 , então nós dizemos “ a é congruente com b módulo m “ se m divide a - b . E escrevemos isto como a  b (mod m) . Por exemplo: 6  2 (mod 4), -1  9 (mod 5), 1100  2 (mod 9) , e o quadrado de qualquer número ímpar é 1 módulo 8 .

Congruências são achadas ao longo de nossas vidas. Por exemplo, os relógios, eles trabalham por horas modulo 12 ou 24, e modulo 60 durante minutos e segundos. Calendários trabalham em dias ou meses; modulo 7 para dias da semana e modulo 12 para meses.

O idioma de congruências foi desenvolvido por Karl Friedrich Gauss no século XIX. Note que a  b (mod m) se e só se há um inteiro q tal que a = b + qm , assim podem ser traduzidas congruências a igualdades com a adição de um desconhecido. Talvez três das propriedades importantes de módulo de congruências que m são [15]:

 A propriedade reflexiva: Se a é qualquer inteiro, a  a (mod m) ,

 A propriedade simétrica: Se a  b (mod m) , então b  a (mod m) ,

 A propriedade transitiva: Se a  b (mod m) e b  c (mod m) , então a  c (mod m).

Por causa destas três propriedades, sabemos nós o conjunto de números inteiros pode ser classificado em m congruências diferentes modulo m . Se a, b, c e d são qualquer inteiro com a  b (mod m) e c  d (mod m) , então:

 (a + c)  (b + d) (mod m)

 (a - c)  (b - d) (mod m)

 (a .c)  (b . d) (mod m)

Se o m.d.c.(c, m)= 1 e ac  bc(mod m) , então a  b (mod m) .

Número de Diofanto.

Diofanto veio ser chamado o “Pai de Geometria”. Ele viveu durante o período de 250 a 350 d.C., “uma idade prateada em matemática”'. A obra “Arithmetica” escrito por Diofanto estava composta de 13 livros e 189 problemas.

Os problemas que ele trabalhou mostram sistemas lineares de equações e outros sistemas quadráticos. Ele incluiu sugestões fortes as perguntas para resolver seus problemas de modo fácil. A solução de um destes problemas ele usou para indicar sua idade, assim ele aparentemente viveu pelo menos 84 anos.

Diofanto introduziu símbolos para subtração, para uma incógnita, e para o grau de uma variável. Embora houvesse várias soluções a alguns de seus problemas, ele só procurou uma solução em números inteiros e positivos. Agora nós chamamos uma equação a ser resolvida em números inteiros de “equação diofantina”. Por exemplo,

Diofanto considerou as equações:

ax + by = c

onde as variáveis x e y são inteiros positivos. Esta equação pode ser resolvida se, e somente se, o maior divisor comum de a e b divide c . Nós podemos achar a solução para estas equações usando o algoritmo modificado de Euclides.

O pequeno teorema de Fermat.

Fermat fez contribuição com o maior e o último de todos seus teoremas que diz:

“ xn + yn = zn não tem nenhuma solução em inteiros positivos x, y, z com n > 2 “.

Isto foi finalmente provado por A.Wilkes em 1995. Porém, no estudo de números primos é o pequeno teorema de Fermat que é a usado pela maioria diz:

“Seja p número primo que não divide o inteiro a , então ap  a(mod p) “.

É tão fácil de calcular ap-1 que a maioria dos testes de primários elementares usa uma versão do Pequeno Teorema de Fermat para demonstrar o famoso Teorema de Wilson. Como sempre, Fermat não mostrou uma prova “...que eu lhe enviaria a demonstração, se eu não temesse seu ser muito longo”.

Euler publicou uma primeira prova em 1736 , mas Leibniz deixou virtualmente a mesma prova algum dia em um trabalho inédito antes de 1683 .

Número afortunado.

Seja P o produto dos n primeiros números primos. Reo Fortuna conjeturou que se q é o menor primo maior que P+1 , então q - P é primo. Por exemplo, se n = 3 , então P = 235 = 30, q=37 , e q - P = 7 .

Estes números eram chamados q - P agora são chamados de números afortunados, e a conjetura tem que ainda ser povoada!

A sucessão de números afortunados começa:

3, 5, 7, 13, 23, 17, 19, 23, 37, 61, 67, 61, 71, 47, 107, 59, 61, 109, 89, 103, 79, 151, 197, 101, 103, 233, 223, 127, 223, 191, 163, 229, 643, 239, 157, 167, 439, 239, 199, 191, 199, 383, 233, 751, 313, 773, 607, 313, 383, 293, 443, 331, 283, 277, 271, 401, 307, 331, . . .

Paul Carpenter pensa que nós semelhantemente deveríamos definir os números menos-afortunados deixando q seja o maior primo menor que P (o produto do n primeiro primos) e considerando a sucessão P - q . Esta sucessão começa 3, 7, 11, 13, 17, 29, 23, 43, 41, 73,. . .

Ele conjetura todos estes números são como primos.

Estas conjeturas provavelmente são verdadeiras? Há razão boa para pensar assim.

Argumento heurístico.

A heurística é algo como:

“providenciando ajuda na direção da solução de um problema mas caso contrário injustificado ou incapaz de justificação”.

Assim são usados argumentos de heurísticos para mostrar para o que nós poderíamos tentar provar depois, ou o que nós poderíamos esperar achar em uma corrida de computador. Eles são, a melhor, suposições educadas.

Por exemplo, suponha a pessoa suspeita que há infinitos números primos de Fermat. Nós poderíamos discutir a resposta heuristicamente como segue.

Pelo teorema de número primo podemos suspeitar que a probabilidade de um “número fortuito” n que seja primo é no máximo A/log(n) para algum número real A . Assim temos a desigualdade

<

para os inteiros não-negativos vemos nós deveríamos obter A/log(2) assim, um número primo de Fermat é “finito”, no máximo!

Acima temos um argumento heurístico, ingênuo observe que foram feitas várias suposições injustificadas. Por exemplo, nós assumimos que os números de Fermat se comportam bastante iguais “números” fortuitos para fazer o argumento acima.

Porém, números de Fermat têm propriedades de divisibilidade especiais (veja divisores de fermat). Se aplicarmos o mesmo argumento acima para os números de Mersenne, então obtemos uma soma divergente, assim parece provável que há infinitos números primos de Mersenne.

A estranha Conjetura de Goldbach.

A estranha conjetura de Goldbach (conhecida como o problema dos 3-primos) diz que:

“ todo inteiro ímpar maior que cinco são a soma de três primos”.

Compare isto com a outra conjetura de Goldbach: todo inteiro maior que dois é a soma de dois primos. Se o a conjetura de Goldbach é verdade, então assim é a estranha conjetura de Goldbach.

Número perfeito.

Muitas culturas antigas dotaram certos inteiros de religioso especial e significado mágico. Um exemplo são os números perfeitos, esses inteiros que são a soma de seus divisores formais positivos. Os primeiros três números perfeitos são•

6 = 1 + 2 + 3, 28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14, e 496 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 31 + 62 + 124 + 248.

O antigo estudioso cristão Augustine explicou aquele Deus poderia ter criado o mundo em outro momento, mas, escolheu fazer isto em um número perfeito de dias, 6 . Comentaristas judeus sentiam que a perfeição do universo foi mostrada pelo período da lua de 28 dias. Qualquer significado designou a eles, estes três números perfeitos e 8.128, foi conhecido para estar “perfeito” pelos gregos antigos, e a procura para números perfeitos estava atrás de algumas das maiores descobertas em teoria de número. Por exemplo, no Livro IX dos “Elementos” de Euclides achamos a primeira parte do teorema seguinte (completo depois por Euler depois de 2.000 anos).

Propriedade 3.1

Se 2k-1 é primo, então 2k-1.(2k-1) é perfeito e todo número perfeito tem esta forma.

Se mostra que se 2k-1 é primo, então k deve ser também primo assim a procura de números perfeitos está de igual modo como a procura de números primos de Mersenne. Armado com esta informação que não leva muito longe, porém aplicando isto conseguimos achar os próximos dois números perfeitos: 33550336 e 8589869056 .

Enquanto buscando números perfeitos e amigáveis, Pierre de Fermat descobriu o Pequeno Teorema de Fermat, e comunicou uma versão simplificada disto a Mersenne em 1640.

É desconhecido se há qualquer número perfeito estranho. Se há alguns, então eles são bastante grandes (pelo menos 300 dígitos) e tem inúmeros fatores primos. Mas este permanecerá indubitavelmente totalmente um problema aberto para algum tempo.

Zero de uma função.

Um zero ou raiz de uma função é um valor que faz isto zere. Por exemplo, os zeros de x2-1 são x = 1 e x= -1 . Os zeros de z2+1 são z = i e z = -i . Algumas vezes restringimos nosso domínio e limitamos assim que tipo de zeros serão aceitos? Por exemplo, z2+1 não têm nenhum real zero (porque seus dois zeros não são reais números); x2-2 não têm nenhum zero racional (seus dois zeros são números irracionais).A função de seno não tem nenhum zero algébrico exceto o 0 , mas tem infinitamente muitos zeros transcendentais: -3, -2, -, , 2, 3, . . ..

A multiplicidade de um zero de um polinômio é com que freqüência acontece. Por exemplo, os zeros de (x-3)2(x-4)5 são 3 com multiplicidade 2 e 4 com multiplicidade 5 . Assim este polinômio tem dois zeros distintos, mas sete zeros (total) contando multiplicidades.

O teorema fundamental de estados de álgebra que um polinômio (com realidade ou coeficientes complexos) de grau n tem n zeros de nos números complexos (contando multiplicidades). Segue então que um polinômio com coeficientes reais e grau n tem no máximo n zeros reais . Finalmente, os zeros complexos de um polinômio com coeficientes reais entram em pares conjugados (quer dizer, se a+bi é um zero, então assim a-bi ).

O algoritmo da divisão.

O algoritmo de divisão não é de fato um algoritmo, mas o teorema seguinte que uma vez foi demonstrado, dando um algoritmo que explica como dividir. (Agora a prova normalmente está baseada no princípio bem ordenando.)

Propriedade 3.2 O Algoritmo da Divisão.

Sejam a e m números inteiros com m  0 , então há inteiros diferentes q e r tal que a = q m + r com 0  r < | m |.

Por exemplo, se a = 36 e m = 13 , então q = 2 e r = 10 (Observe, 36 = 2 \times 13 + 10 ). Igualmente se a = -63 e m = 20 , então q = -4 e r = 17 (observe, -63 = (-4) \times 20 + 17 ). Finalmente, se a = 24 e m = -15 , então q = -1 e r = 9 (desde 24 = (-1) (-15) + 9 ).

Os únicos números q e r são chamados respectivamente o quociente e resto .

O resto também é chamado o menor modulo de resíduo não negativo m. Finalmente, a = qm+r implica a  r (mod m) , veja congruência.