C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.6.4 Função Monotônica.

Definição 2.21.

Sejam I um intervalo da reta R e f : A ¡.

R função, sendo I .

a) A função f é estritamente crescente no intervalo I, se para todo x1;x2 .

I com x1 <x2 então f(x1) <f(x2).

b) Uma função f é estritamente decrescente no intervalo I, se para todo x1;x2 .

I com x1 <x2 então f(x1) >f(x2).

c) Uma função f é crescente no intervalo I, se para todo x1;x2 .

I com x1 <x2 então f(x1) = f(x2).

d) Uma função f é não crescente no intervalo I, se para todo x1;x2 .

I com x1 <x2 então f(x1) 6

Exemplo 2.69.

A função definida por f(x)=5 é crescente e não crescente em todo seu domínio, esta função não é estritamente crescente nem estritamente decrescente.

Christian Quintana Pinedo

Exemplo 2.70.

A função definida por f(x)=5x+2, é estritamente crescente em todo seu domínio.

A função g(x)= ¡x3 é estritamente decrescente em todo seu domínio.

Em qualquer um dos casos, se diz que a função f é monotônica no intervalo I; nos casos a) e b) ela também se diz monotônica estrita no intervalo I.

Exemplo 2.71.

A função: f(x)=| x2 - 9 | é estritamente crescente no intervalo [¡3, 0][[3, +1) e estritamente decrescente no intervalo (¡1, ¡3] .

[0, 3].

O gráfico desta função f(x) mostra-se na Figura

Observação 2.9.

A função f : I ¡.

R é estritamente crescente(decrescente), se e somente se, ¡f é estritamente decrescente (crescente).

Propriedade 2.1.

Se a função f : I ¡.

R é estritamente monotônica, então f é injetora.

Demonstração.

Suponhamos que a função f : I ¡.

R seja estritamente monotônica e sejam a, b .

I de modo que a 6

Logo a<b ou b<a.

Suponhamos que a<b e f seja estritamente crescente, então f(a) <f(b), de onde f(a) 6

= f(b).

Em qualquer dos dois casos segue que f(a) 6

= f(b).

Portanto, f é injetora.