Definição 2.21.
Sejam I um intervalo da reta R e f : A ¡.
R função, sendo I .
a) A função f é estritamente crescente no intervalo I, se para todo x1;x2 .
I com x1 <x2 então f(x1) <f(x2).
b) Uma função f é estritamente decrescente no intervalo I, se para todo x1;x2 .
I com x1 <x2 então f(x1) >f(x2).
c) Uma função f é crescente no intervalo I, se para todo x1;x2 .
I com x1 <x2 então f(x1) = f(x2).
d) Uma função f é não crescente no intervalo I, se para todo x1;x2 .
I com x1 <x2 então f(x1) 6
Exemplo 2.69.
A função definida por f(x)=5 é crescente e não crescente em todo seu domínio, esta função não é estritamente crescente nem estritamente decrescente.
Christian Quintana Pinedo
Exemplo 2.70.
A função definida por f(x)=5x+2, é estritamente crescente em todo seu domínio.
A função g(x)= ¡x3 é estritamente decrescente em todo seu domínio.
Em qualquer um dos casos, se diz que a função f é monotônica no intervalo I; nos casos a) e b) ela também se diz monotônica estrita no intervalo I.
Exemplo 2.71.
A função: f(x)=| x2 - 9 | é estritamente crescente no intervalo [¡3, 0][[3, +1) e estritamente decrescente no intervalo (¡1, ¡3] .
[0, 3].
O gráfico desta função f(x) mostra-se na Figura
Observação 2.9.
A função f : I ¡.
R é estritamente crescente(decrescente), se e somente se, ¡f é estritamente decrescente (crescente).
Propriedade 2.1.
Se a função f : I ¡.
R é estritamente monotônica, então f é injetora.
Demonstração.
Suponhamos que a função f : I ¡.
R seja estritamente monotônica e sejam a, b .
I de modo que a 6
Logo a<b ou b<a.
Suponhamos que a<b e f seja estritamente crescente, então f(a) <f(b), de onde f(a) 6
= f(b).
Em qualquer dos dois casos segue que f(a) 6
= f(b).
Portanto, f é injetora.