CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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Capítulo VI. APLICAÇÕES DAS DERIVADAS

G. Leibnitz

Gottfried Wilhelm Leibnitz nasceu no 1 de julho de 1646 em Leipzig (Alemanha) e morreu em 14 de novembro de 1716 . Passou a maior parte da sua vida na corte de Hanôver, ao serviço dos duques, um dos quais se tornou rei de Inglaterra, sob o nome de Jorge I .

Em 1661 começou seus estudos de filosofia na universidade de Leipzig onde se graduou em 1663. A sua filosofia abrangia a história, a teologia, a lingüística, a biologia, a geologia, a matemática, a diplomacia e a arte de inventar. Foi um dos primeiros, depois de Pascal, a inventar uma máquina de calcular. Imaginou máquinas de vapor, estudou filosofia chinesa e tentou promover a unidade da Alemanha.

A procura de um método universal através do qual pudesse obter conhecimentos, fazer invenções e compreender a unidade essencial do universo foi o principal objetivo da sua vida. A ``scientia generalis'' que queria construir tinha muitos aspectos e vários deles levaram Leibnitz a descobertas na matemática. A procura de uma ``characteristica generalis'' levou-o a permutações, combinações e à lógica simbólica; a procura de uma ``lingua universalis'', na qual todos os erros de raciocínio pudessem aparecer como erros computacionais, levou não só à lógica simbólica, mas também a muitas inovações na notação matemática. Leibniz foi um dos maiores inventores de símbolos matemáticos, entre eles a notação .

Foi eleito membro da Real Sociedade de Londres em 1673; a partir de 1673 começo a desenvolver os conceitos básicos do Cálculo Diferencial.

6.1 Velocidade Instantânea. Aceleração Instantânea.

Uma das utilidades da taxa de variação é a descrição de movimento de um objeto ao longo de uma reta; tal movimento e chamado movimento retilíneo. Se utilizamos um sistema de coordenadas cartesianas, convencionalmente se o objeto se movimenta para a direita (ou para cima) sua direção é positiva; enquanto se o movimento é para a esquerda (ou para baixo) sua direção é negativa.

A função S(t) que dá a posição (relativa à origem) de um objeto como função do tempo é chamada função posição. Se durante um período t de tempo, o objeto se desloca : S(t) = S(t + t) - S(t) isto é a variação da distância, então a taxa de variação média é: ; esta taxa de variação média é chamada de velocidade média.

Definição 6.1

Se S(t) dá a posição no instante t de um objeto se movendo em linha reta, então a velocidade média do objeto no intervalo de tempo [t, t + \Delta t] é dado por:

Velocidade média = =

Exemplo 6.1

Um objeto cai de uma altura de 40m , sua altura h no instante t é dada é dada pela função S(t) = -4,9t2 + 40 , onde S(t) é medido em metros e t em segundos. Determine a taxa de variação média nos intervalos: a) [1, 1.1]; b) [1, 1.5]; c) [1, 2].

Solução

Tem-se que a altura h = S(t) . Usando a equação S(t) podemos calcular as alturas nos instantes: t= 1, t = 1.4 e t = 2 segundos na tabela:

t 1 1,1 1,5 2

S(t)\ 35,1 34,1 29\ 20,4

a) Para o intervalo [1, 1.1] o objeto cai de uma altura de 35,1m para 34,1m e a taxa de variação média é:

= = = = -10m/s

b) Para o intervalo [1, 1.5] o objeto cai de uma altura de 35,1m para 29m e a taxa de variação média é:

= = = -12,2m/s

c) Para o intervalo [1, 2] o objeto cai de uma altura de 35,1m para 20,4m e a taxa de variação média é:

= = = -14,7m/s

Observe que as velocidades média neste exemplo são negativas, logo o objeto está se movimentando para baixo.