C?LCULO DIFERENCIAL EM R

6.1.1 Velocidade Instantânea.

Definição 6.2 Velocidade instantânea.

Se S(t) determina a posição no instante t de um objeto se movendo em linha reta, então a velocidade do objeto no instante t é dada por:

V'(t) = (6.1)

Exemplo 6.2

Determine a velocidade instantânea quando t = 2 , de um objeto em queda livre cuja função de posição é dada por S(t) = 200 - 32t2 onde t é dado em segundos e S(t) em metros.

Solução

Pela expressão (6.1) tem-se que V'(t) = -64t ; logo V'(2) = -(64)(2) = -128m/s .

Exemplo 6.3

Figura 6.1:

A um tanque, entra água a razão de 5m3/min . O tanque tem a forma de um cone (Figura 6.1) invertido de altura 20m e raio da base 10m . Com que velocidade sobe o nível da água no instante em que a profundidade da água é de 8m.

Solução

Sejam h a profundidade, r o raio da base do cone e V o volume da água no instante t ; queremos achar sabendo que é 5m^3/s .

O volume da água é dado por V =  r2h onde todas as medidas dependem do tempo t; por semelhança de triângulos = ou r = h , logo:

V = ( )r2h = h3 e, utilizando diferenciais dV =  h2dh .

Esta última igualdade dividimos por dt , e tem-se =  h2 então quando h = 8m tem-se 5m3/s=  (8m)2  = m/s = m/s = 0,0995 m/s .

Portanto, sobe o nível da água no instante em que a profundidade da água é de 8m . com uma velocidade de 0,0995 m/s

Exemplo 6.4

Uma partícula se movimenta em linha reta horizontal (positiva para a direita) segundo a relação s = t3 - 3t2-9t + 5 . Em que intervalos de tempo a partícula movimenta-se para a direita; e em quais para a esquerda ?

Solução

A partícula movimenta-se para a direita quando a velocidade é positiva; e para a esquerda quando a velocidade é negativa.

A velocidade é dada pela função s'(t) = v(t) = 3t2-6t-9 . construímos a seguinte tabela para a função v(t) :

t -2 -1 1 3 4

v(t)\ + 0 - 0 +

Se t < 1 , v é positiva e o movimento é para a direita; se -1 < t < 3 , v é negativa e o movimento é para a esquerda; se t > 3 , v é positiva e o movimento é para a direita.

O movimento para a direita e o movimento para a esquerda, então separados por instantes de velocidade nula.