C?LCULO DIFERENCIAL EM R

1.4.3 A Reta Ampliada.

Intervalos Infinitos.

Reta ampliada é o conjunto numérico R = RSf¡1, +1g, onde ¡8 (menos infinito) e +8 (mais infinito) são símbolos que se comportam segundo as seguintes convenções.

Os intervalos infinitos são definidos como:

Os símbolos -1, +8 e 8 somente são idéias de “números” porém não são números.

Exemplo 1.18.

Dados os intervalos A = [3, 5];B = (4, 7] e C = [8, 10] então:

a) A .

C = [3, 5] .

[8, 10] b) A .

B = [3, 7] c) A n C = Ø d) A n B = (4, 5]

Observamos que a união ou intersecção de dois intervalos não sempre é um intervalo.

Exemplo 1.19.

Seja x .

(1, 2] , mostre que x2 - 2x .

(¡1, 0].

Solução.

Cálculo Diferencial em R 23

Da hipótese x .

(1, 2] temos que 1 <x = 2, então 0 <x - 1 = 1.

Logo pela propriedade para números reais positivos 0 < (x¡1)2 = 1, assim ¡1 < (x¡1)2¡1 = 0, isto é ¡1 <x2 - 2x = 0.

Portanto x2 - 2x .

(¡1, 0].

Exemplo 1.20.

Se x .(0, 2), determine números m e M de modo que:

m< <M.

x +5

Solução.

Se x . (0, 2), então 0 <x< 2 , logo 5 <x +5 < 7.

Da propriedade do inverso de números reais temos:

7 x +5 5 Por outro lado, de x .

(0, 2) segue que:

De (1.5) e (1.6) temos pela propriedade de monotonia para o produto que, << .

7 x +5 5

24

Portanto m = e M = .

Exemplo 1.21.

Determinar em termos de intervalos o conjunto solução da inequação:

3x - 4 < 2+ x.

Solução.

Temos que 3x - 4 < 2+ x , então 2x< 6 ; logo x< 3.

Portanto, o conjunto solução é o intervalo (¡1, 3).

.

Exemplo 1.22.

Resolver a inequação x2 - 4 <x +2.

Solução.

1o Método.

x2 - 4 <x +2 .

x2 - x - 6 < 0 .

(x + 2)(x - 3) < 0

)fx +2 > 0 e x - 3 < 0} ou fx +2 < 0 e x - 3 > 0} )fx> ¡2 e x< 3} ou fx< ¡2 e x> 3} .

x .

(¡2, 3) ou x 2Ø .

x .

(¡2, 3) Portanto, o conjunto solução da inequação é (¡2, 3) 2o Método.Completando quadrados.

Portanto, o conjunto solução da inequação é (¡2, 3)

3o Método.

Método dos pontos críticos.

Os valores de x para os quais verifica-se a igualdade (x + 2)(x - 3) = 0, são x = ¡2 e x =3.

No diagrama observamos que (x + 2)(x - 3) < 0 se x .

Portanto, o conjunto solução da inequação é (¡2, 3).

Observação 1.5.

1) Para determinar o sinal do fator x - a, considere:

Se, o sinal de (x - a) é positivo, então (x - a) > 0 e x>a, logo x está à direita de a.

Se, o sinal de (x - a) é negativo, então (x - a) < 0 e x<a, logo x está à esquerda de

a.

2) O método dos pontos críticos consiste em transformar a inequação dada E(x) < 0 em outra equivalente E1(x) da forma E1(x) > 0 ou E1(x) = 0 ou E1(x) = 0.

3) Para determinar o sinal de um produto, considere que:

(+)(+) = +, (+)(¡)= ¡, (¡)(+) = - e (¡)(¡)=+.

Logo devemos determinar os pontos críticos de E1(x); isto é, os valores do numerador e denominador de E1(x) os quais sejam iguais a zero, para assim determinar na reta real R os intervalos respectivos.

Por último temos que determinar o sinal de E1(x) em cada um dos intervalos que satisfazem a inequação.

O comportamento dos sinais em uma inequação, provem do gráfico de funções polinomiais num sistema de coordenadas cartesianas, sendo este tópico tratado posteriormente.

Exemplo 1.23.

Determine o conjunto solução da inequação = 0.

Solução.

x2 - 9(x - 3)(x +3) (x - 3)(x + 3)

Tem-se que = = 0 se e somente se = 0, são pontos

Logo o conjunto solução é o intervalo semi-aberto (¡5, ¡3] .

[3, 5)

As inequações do próximo exemplo devem ser estudadas com muita atenção, uma vez que são freqüentes os equívocos nas soluções por parte dos estudantes na fase inicial do estudo do cálculo.

Cálculo Diferencial em R

Exemplo 1.24.

Resolver as seguintes inequações:

Solução.

Da inequação E(x):

x< 16 tem-se a inequação E1(x):

x2 - 16 < 0, então na forma de fatores resulta (x - 4)(x + 4) < 0.

Considere o seguinte quadro:

Intervalos Sinal de E1(x) Conjunto solução de E1(x) (¡1, ¡4) + (¡4, 4) - (¡4, 4) (4, +1) +

Portanto, conjunto solução da inequação é (¡4, 4).

Solução.

Da inequação x< ¡9, tem-se x2 +9 < 0, isto é absurdo; logo não existem números reais que satisfazem a inequação.

Portanto a solução é o conjunto vazio.

Solução.

Considere a inequação E2(x):

Tem-se x3¡33 < 0, isto é (x¡3)(x2+x+9) < 0.

Observe que x2+x+9 = x2+2· x+ +9- =

24 Logo na inequação (x - 3)(x2 + x + 9) < 0 segue que x - 3 < 0; isto é x< 3.

Portanto o conjunto solução é o intervalo (¡1, 3) .

Solução.(d)

Temos aqui a inequação E(x):(x + 1)4 < (x + 1)2 .

(x + 1)4 < (x + 1)2 .

(x + 1)4 - (x + 1)2 < 0 .

(x + 1)2 :[(x + 1)2 - 1] < 0

(x + 1)2(x2 +2x) < 0 .

x(x + 1)2(x + 2) < 0

Sendo (x + 1)2 = 0 para todo número real, a inequação E(x) transformou-se na inequação E1(x):

x(x + 2) < 0.

Seus pontos críticos são ¡2 e 0.

Observe o seguinte quadro:

Intervalos Sinal de E1(x) Conjunto solução de E1(x) (¡1, ¡2) + (¡2, 0) - (¡2, 0) (0, +1) +

Propriedade 1.7.

Temos que:

se a> 0 e ax2 + bx + c = 0 .

R se e somente se b2 = 4ac.

Demonstração.

bc

Dividindo na inequação ax2 + bx + c = 0 por a> 0 resulta a expressão:

Completando quadrados x2 +2 x + +( )2 = ()2 então x + = , pela

Propriedade (1.3)-(16) de números reais temos que

v v (x + b 2a ) = b2 - 4ac 2a ou (x + b 2a ) = - b2 - 4ac 2a

Como x .

R então, tem que ser b2 = 4ac.

Reciprocamente.

Exercício para o leitor.

Exemplo 1.25.

Resolver as inequações:

a) 8x - x2 - 20 = 0 b) x2 + x +9 > 0

c) x6 - 1 = 0 d) xp - 1 > 0 onde p é primo.

Solução.

(a)

Temos 0 = x2 - 8x + 20, como (¡8)2 = 4(1)(20), segue pela Propriedade 1.5, a solução é o conjunto de todos os números reais.

Solução.

(b)

Da inequação x2 + x +9 > 0, segue que (1)2 = 4(1)(9), então, pela Propriedade (1.5), a solução é o conjunto de todos os números reais.

Solução.

(c)

A inequação x6 - 1 = 0 podemos escrever sob a forma (x2)3 - 13 = 0 então, da diferença de cubos tem-se (x2 - 12)[(x2)2 + x2 + 1] = 0 isto é (x + 1)(x - 1)(x4 + x2 + 1) = 0; pela Propriedade

(1.7) segue que (x4 + x2 + 1) = 0, logo a inequação original se reduz a calcular (x + 1)(x - 1) = 0 que tem como solução o intervalo [¡1, 1].

Portanto o conjunto a solução de x6 - 1 = 0 é o intervalo [¡1, 1].

Solução.

(d)

Cálculo Diferencial em R 27

A inequação xp - 1 > 0 onde p é primo, podermos escrever na forma de fatores como (x - 1)(xp¡1 + xp¡2 + xp¡3 + ¢¢· + x2 + x + 1) > 0, o fator (xp¡1 + xp¡2 + xp¡3 + ¢¢· + x2 + x +1 sempre é positivo 8x .

R pois é um polinômio irredutível de grau par (todas suas raízes são números não reais).

Então resolver nossa desigualdade original reduz-se a resolver (x - 1) > 0 cuja solução é x .

(1, +1)

Portanto a solução de xp - 1 > 0 onde p é primo é o conjunto (1, +1).

Exemplo 1.26.

Resolver em R o seguinte:

a) x2 +6x +10 = 0 b) x2 +6x + 10 = 0

c) x2 +6x + 10 < 0 d) x2 + 10 = 0

Solução.

Como resultado da Propriedade (1.4) (fórmula de Bhaskara) segue que x = ,e

como não é número real, então o problema não tem solução em R; isto é x=.

R.

Solução.

(b)

Pela Propriedade (1.7) temos que 62 = 4(10), logo o problema tem solução em R; isto é .

x .

R temos que x2 +6x + 10 = 0 Solução.

(c).

Como resultado da Propriedade (1.7) temos que 62 = 4(10), logo x2 +6x + 10 = 0 .

x .

R assim, nunca poderá ocorrer que x2 +6x + 10 < 0.

Logo a desigualdade em estudo não tem solução em R.

.

Solução.

(d)

A solução de x2 + 10 = 0 é imediata, não precisa da Proposição 1.7, pois .

x 2;x2 = 0 então x2 + 10 = 10 = 0, isto é .

x .

R;x2 + 10 = 0.

Portanto, o conjunto solução da inequação x2 + 10 = 0 são todos os números reais.

.

Exemplo 1.27.

Um terreno deve ser lotado.

Os lotes, todos retangulares, devem ter área superior ou igual 2 que 1:500 me a largura de cada um deve ter 20 m a menos que o comprimento.

Determine as dimensões do menor dos lotes que satisfazem tais condições.

Solução.

Suponhamos que o comprimento de cada lote seja x metros, então a largura mede (x - 20) metros; logo sua área mede x(x¡20)m2.

Por outro lado, tem que ser superior ou igual a 1:500m2; assim x(x - 20) = 1:500 onde x2 - 20x - 1:500 = 0, isto é (x - 50)(x + 30) = 0 .

x = 50 ou x
·¡30.

Desconsiderando x
·¡30, temos que as medidas do menor dos lotes é:

comprimento 50m e largura 30 m.

Exemplo 1.28.

Uma galeria vai organizar uma exposição e fez duas exigências:

i) a área de cada quadro deve ser no mínimo de 2:800 cm2; ii) os quadros devem ser retangulares e a altura deve ter 30 cm a mais que a largura.

Dentro dessas especificações, em que intervalo de números reais devem se situar as larguras dos quadros?.

Solução.

Da segunda condição, suponha a largura do quadro seja x cm, então sua altura mede (30 + x)cm e sua área mede (30 + x)xcm2; pela primeira condição 2800 = (30 + x)x , onde 0 = x2 + 30x - 2800 .

0 = (x + 70)(x - 40) .

(x
·¡70 ou x = 40).

Desconsideramos x
·¡70.

Portanto as medidas do quadro são:

largura 40 cm e altura 70 cm.

Exemplo 1.29.

Dada a equação de raízes x1 e x2 :

(m2 - 5m + 6)x2 + (4 - m2)x +20 = 0.

Determine os valores do parâmetro m tal que x1 < 1 <x2.

Solução..

Seja ax2 + bx + c =0, pelas propriedades das raízes da equação de 2o grau sabe-se que:

Se a> 0 então, a(1)2 + b(1) + c< 0 se e somente se x1 < 1 <x2; ou Se a< 0 então, a(1)2 + b(1) + c> 0 se e somente se x1 < 1 <x2.

Conclusão a:[a(1)2 + b(1) + c] < 0 se e somente se x1 < 1 <x2.

Para nosso caso observe que a =(m2 - 5m + 6) e, desejamos que x1 < 1 <x2 isto acontece

se e somente se:

(m2 - 5m + 6):[(m2 - 5m + 6)(12) + (4 - m2)(1) + 20)] < 0; logo (m2 - 5m + 6):(30 - 5m) < 0 isto é 5(m - 2)(m - 3)(m - 6) > 0; os pontos críticos são 2, 3 e 6 .

Portanto, 2 <m< 3 ou m> 6.

Cálculo Diferencial em R

Exercícios 1-3

1. Expresse cada um dos intervalos abaixo usando outra notação adequada (duplas desigualdades por exemplo) 5

São dados os conjuntos A = { x .

N=x é impar g;B = { x .

Prove que o conjunto D, tal que D =(A n B) - C , é vazio.

3. Resolver as seguintes equações:

1. 3x +2=4 - x 2:x 2 - 2x - 3=0 3:x 4 - 13x 2 +36 = 0 4:x 3 - 3x 2 + x +2=0 5.

5x 2 - 3x - 4=0 6:x 4 - x 2 +20 = 0 4.

Determine o conjunto solução em R para cada uma das seguintes desigualdades:

5. Resolver as seguintes inequações:

Determine o conjunto solução das seguintes inequações:

Resolver as seguintes inequações racionais:

Mostre que se x e y não são ambos iguais a zero, então 4x2 +6xy +4y> 0 e 3x

Determine o valor de:

Suponha que b2 - 4c = 0.

Mostre que os números e
22 satisfazem ambos a equação:

Suponha que b2 - 4c< 0.

Mostre que não existe nenhum número real que satisfaz a equação:

Suponha a, b, c e d números reais.

Mostre a desigualdade de Schwartz:

Mostre que:

x2 - 2x - 15 = x +1 .

Mostre que: = x 2 + x +2 = 8 .

Os números positivos a1;a2;a3, ¢¢· an não são iguais a zero e formam uma progressão aritmética.

Mostre que: 111 1 n - 1

Dentre os paralelepípedos com soma fixa de suas três arestas simultaneamente perpendiculares, achar o paralelepípedo de volume máximo.