CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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2.2.2 Relações de R em R.

No que segue, utilizaremos relações de A em B onde A e B são subconjuntos do conjunto de números reais R.

Exemplo 2.4.

Seja S uma relação definida por: S = f(x, y) .

N+ × N+=.

x2 + y= 9g

Logo, nossa relação é: S = f(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2)g.

Um diagrama da relação S mostra-se na Figura (2.2).

Observe que somente são quatro pontos do plano.

Exemplo 2.5.

Seja T a relação em R definida como segue: T = f(x, y) .

R× R=.x2 + y2 = 9}

Um diagrama da relação mostra-se na Figura (2.3), observe que é impossível desenhar um de cada vez os infinitos elementos da relação T ; isto acontece pelo fato definir a relação no conjunto de números reais R.

Existem outros tipos de relações como mostra a seguinte definição.

Definição 2.4.

Sejam k número real constante não nulo, e n .

i) Diz-se que y é diretamente proporcional a x, se y = kx; e diz-se que y é inversamente proporcional a x, se y = k().

x ii) Diz-se que y é diretamente proporcional á n-ésima potência de x, se y = k:xn ; e diz-se que y é inversamente proporcional á n-ésima potência de x, se y = k().

iii) Diz-se que z é conjuntamente proporcional a x e y se z = kxy

Exemplo 2.6.

O peso aproximado da banha em um porco é diretamente proporcional a seu peso corporal.

a) Expresse o número de quilos do peso aproximado da banha de um porco como função de seu peso corporal sabendo que um porco com 98 kg tem um peso aproximado de 32 kg de banha.

b) Ache o peso da banha de um porco cujo peso corporal seja 72 kg.

Solução.

Seja y = f(x) o peso aproximado de banha de um porco cujo peso corporal é x kg, sendo o peso da banha diretamente proporcional a seu peso corporal, temos que existe uma constante k tal que f(x)= kx; quando x = 98 temos f(98) = 32, logo 32 = k:(98) onde k = .


 

Logo o peso da banha é aproximadamente 23, 51 kg.

Exemplo 2.7.

De um grupo de 100 alunos, a razão segundo a qual um boato se espalha é conjuntamente proporcional ao número de alunos que ouviram o boato e ao número de alunos que não ouviram o boato.

a) Se o boato está se espalhando a uma razão de 5 alunos por minuto, quando 30 o ouviram.

Expresse a taxa segundo o qual o boato se está espalhando como função do número de alunos que o ouviram.

b) Quão rápido o boato se espalhou quando 90 alunos o ouviram? Solução.a)

Suponhamos f(x) seja a taxa pelo qual o boato se está espalhando, quando x alunos o ouviram (logo não ouviram 100 - x); então f(x)= kx(100 - x).

Quando x = 90, temos f(90) = [90(100 - 90)]= =2, 142, a taxa de crescimento quando 90 alunos o ouviram é 2, 142 ouvintes por minuto.

Exemplo 2.8.

Uma torneira enche um tanque em 12 minutos, enquanto que uma segunda torneira gasta 18 minutos para encher o mesmo tanque.

Com o tanque inicialmente vazio, abre-se a primeira torneira durante x minutos; ao fim desse tempo, fecha-se essa torneira e abre-se a segunda, a qual termina de encher o tanque em (x + 3) minutos.

Calcular o tempo gasto para encher o tanque.

Solução.

Seja V o volume do tanque, do enunciado, conclui-se que, em 1 minuto a contribuição de VV cada torneira será e do volume total do tanque, respectivamente.

Podemos então escrever a relação:

Logo, o tempo para a primeira torneira é x =6 e o tempo para a segunda torneira é 9 minutos.

Conclui-se portanto, que o tempo total gasto, será igual a 15 minutos.

Christian Quintana Pinedo

Exemplo 2.9.

1

Um acidente foi presenciado por da população de Patópolis.

O número de pessoas que

65 soube do acontecimento x horas Após, é dado por: f(x)= B , onde B é a população da cidade.

1

Sabendo que da população soube do acidente 3 horas após.

Determine o tempo que passou até que da população soubesse da notícia.5

Solução.

1

Pelo enunciado do problema, no tempo x =0, o acidente foi presenciado por da população

Fazendo x =0 e f(0) =
· B, vem:
· B = de onde C = 64.


65 651+ Ca¡0 Também pelo enunciado do problema, é dito que para x =3 tem-se,

Daí, vem: 9 = 1+64a¡3k, logo = a¡3k, de onde

Sabe-se que para todo número real positivo s, é válida a igualdade s = aloga s, logo a função dada no enunciado, poderá ser escrita como: f(x)= B

1

Qual o tempo que passou até que da população soubesse da notícia do acidente?.

5

1

Ora, basta fazer f(x)=
· B e calcular o valor respectivo de x.


Portanto, o tempo que passou até que da população soubesse da notícia do acidente foi

5

x =4 horas.

Cálculo Diferencial em R

Exercícios 2-1

1.

Sejam os conjuntos A = f0, 1, 2} e B = f3, 2, 1g, escrever em forma de conjuntos a relação de A em B definida por x = y; para x .

2.

Suponha os conjuntos A = f3, 5, 8, 9} e B = f1, 3, 5, 7} , escrever em forma de conjuntos a relação de A em B definida por: 1.

3.

Para o exercício anterior, determine o domínio, imagem de cada relação.

4.

Construir um desenho, achar o domínio e imagem para cada uma das seguintes relações definidas em R.

1.

5.

Para as relações do exercício anterior, achar as relações inversas, indicar seu domínio e imagem e desenhar-la.

6.

Desenhar, logo determine o domínio e imagem das seguintes relações: 1.

Seja A = f4, 5, 6} define-se a relação em A£A do seguinte modo (a, b)S(c, d) se e somente se a + d = b + c.

Achar os elementos da relação S e determine seu domínio.

8.

Seja A = { 1, 2, 3 } define-se a relação em A × A do seguinte modo (a, b)T (c, d) se e somente se a - d = b - c.

Achar os elementos da relação T e determine seu domínio.


Christian Quintana Pinedo

9.

A soma dos ângulos interiores de um polígono regular convexo plano esta em relação com o número de lados.

Expressar analíticamente esta relação.

Que valores pode tomar a variável independente? 10.

Escrever a relação que expresse a dependência entre o raio r de um cilindro e sua altura h sendo o volume V =1.

11.

Determine os valores de a e b na relação y = S(x) onde S(x)= ax2 + bx +5 para os quais é válida a igualdade S(x + 1) - S(x)=8x +3.

1

12.

Se f(x)= com x 6=0 e x 6
= ¡1, então o valor de S = f(1) + f(2) + f(3) + ¢¢· + x(x + 1)

f(100) é:

13.

Sendo y =| x - 5 | + | 3x - 21 | + | 12 - 3x | , se 4 <x< 5, podemos afirmar que a relação é equivalente a: 14.

O desenho da relaçao f de R em R, dada por f(x)=| 1 - x j¡2, intercepta o eixo das abscissas nos pontos (a, b) e (c, d), com a<c.

Nestas condições o determine o valor de E = d + c - b - a 15.

A variável x é inversamente proporcional a y; y é diretamente proporcional a z; z é diretamente proporcional a u, que por sua vez é inversamente proporcional a v.

Que dependência existe entre x e v ? 16.

A folha de pagamento (F:P:) mensal de uma empresa é diretamente proporcional ao número de trabalhadores (T ), sabendo que 20 dos trabalhadores tem uma folha de pagamento de R$3000, 00.

a) Expresse o valor da folha de pagamento mensal como função do número de trabalhadores; b) qual a folha de pagamento para 18 trabalhadores? 17.

Dada a relação de f de R em R definida por f(x)= x2, mostre que f(x2 + y2)= f[f(x)] + f[f(y)] + 2f(x)f(y).

x

18.

Seja a .

R um número fixo, e f(x)= auma relação em R 1.

Mostre que, para .

x .

R é válida a seguinte expressão: f(¡x)
· f(x)=1.

2.

Mostre que f(x)
· f(y)= f(x + y) 19.

Determine os valores de a e b na relação f(x)= ax2 + bx +5, para os quais seja válida a identidade f(x + 1) - f(x)=8x +3.

20.

Dadas as relações: f(x)= x + 1; g(x)= x - 2; resolver a equação: | f(x)+ g(x) j=| f(x) | + | g(x) |

21.

Sejam as relações: f(x)= x e g(x)= x - 2.

Para que valores de x, é válida a relação: | f(x) - g(x) j>| f(x) j¡| g(x) |

Cálculo Diferencial em R 59