CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

CÁLCULO DIFERENCIAL EM R

Christian José Quintana Pinedo

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2.5.3 Relação entre o gráfico de f e de f¡1 .

Da definição de função inversa temos que se o ponto, P (a, b) pertence ao gráfico da função f, então Q(b, a) pertence ao gráfico da função f¡1 e vice-versa.

Observe na Figura (??)a identificação no plano dos pontos P (a, b) e Q(b, a) note-se que são simétricos respeito da reta bissetriz y = x.

Isto resulta do fato ser o quadrilátero P AQB um quadrado, de lados AP = QB = b - a = AQ = PB.

Figura 2.29: Figura 2.30: Logo P e Q são os vértices opostos do quadrado, e considerando que no quadrado as diagonais

são perpendiculares e cortam-se no ponto médio, resulta d = d0, onde: d = distância de P à bissetriz y = x.

d= distância de Q à bissetriz y = x

Se consideramos uma função f : A ¡.

B e sua função inversa f¡1 : B ¡.

A então seus gráficos são simétricos respeito da bissetriz y = x, pois (x, y) .

Gf se e somente se (b, a) .

Gf¡1 .

A Figura (2.30) representa os gráficos da função f e sua inversa f¡1 .

Exemplo 2.58.

A função f : R ¡.

R definida por f(x)=3x +5 é injetora, logo admite função inversa f¡1 : R ¡.

R.

Determinemos esta função inversa f¡1 .

Solução.

Primeiro método:

Sabemos que f(f¡1(y)) = y , logo f(f¡1(y)) = 3f¡1(y)+5 = y de onde f¡1(y)= y - 5

.

y .

R, sendo que a variável y na função f¡1 é independente podemos utilizar a letra x x - 5

e obter f¡1(x)= .

x .

R.


3

Segundo método:

y - 5

Suponha y = f(x), então y =3x +5 onde, isolando a variável x resulta: x = , logo

3

y - 5 x - 5

f¡1(y)= .

y .

R ou f¡1(x)= .

x .

R.

¤

33

Exemplo 2.59.

Cálculo Diferencial em R 91

Determine a função inversa f¡1(x), se f(x +1) = x2 - 3x +2 .

x .

R+ .

Solução.

Seja t = x +1, então x = t - 1, logo f(t)= f(x +1) = x2 - 3x +2 = (t - 1)2 - 3(t - 1)+2 = t2 - 5t +6, observe que a função f(t) existe para t = 1.

Consideremos y = f(t)= t2 - 5t +6 então t2 - 5t +6 - y =0, pela fórmula de Bhaskara 5 ± p25 - 4(6 - y)1

temos que t = , assim 25 - 4(6 - y) = 0 .

1+4y = 0 .

y
¸-

24 5+ p25 - 4(6 - y)1

pela condição de t, temos que f¡1(y)= sempre que y
¸- .


24

v

5+ 1+4x 15

Portanto, f¡1(x)= sempre que x
¸- ; Im(f¡1)=[, +1).

¤

2 42

Exemplo 2.60.

a) Suponha f(x)= x +1.

Existem funções g tais que fog = gof? b) Suponha f seja uma função constante.

Para quais funções g cumpre que fog = gof? c) Suponha que fog = gof para todas as funções g.

Mostre que f é a função identidade.

Solução.

a) A condição fog = gof significa que g(x)+1 = g(x + 1) para todo x .

R.

Existem muitas funções g que satisfazem esta condição.

b) Suponha f(x)= c, .

x .

R, então fog = gof se e somente se c = f(g(x)) = g(f(x)) = g(c) isto é g(c)= c.

c) Se fog = gof para todo g, então cumpre isto para todas as funções, em particular para a funçõ constante g(x)= c; logo da parte b) segue que f(c)= c para todo c.

Exemplo 2.61.

ax + b

Mostre que a função inversa da função homográfica f(x)= (considerando ad¡bc =06)

cx + d

também é homográfica.

Solução.

ax + b ¡d

Seja y = f(x), então y = existe sempre que x 6
= .

cx + dc ax + b

A igualdade y = .

y(cx + d)= ax + b .

x(yc - a)= b - dy .

x =

cx + d dy - ba dx - b

, .

y =6
.

Denotando com f¡1(x)= temos a função inversa de f(x).

a - cyc a - cx x(ad - bc)

Observe que fof¡1(x)= f(f¡1(x))= = x da hipótese ad =6bc.

De modo análogo

ad - bc mostra-se que f¡1of(x)= x.

dx - b

Portanto f¡1(x)= é homográfica.

a - cx


Exemplo 2.62.

Estima-se que um operário de um estabelecimento que faz molduras para quadros possa pintar y molduras depois x horas do inicio do seu trabalho que começa às 8 horas da manhã, onde y =3x +8x2 - x3 se 0 = x = 4 .

(a) Ache a taxa segundo a qual o operário esta pintando às 10 horas da manhã.

(b) Ache o número de molduras prontas entre 10 e 11 horas da manhã.

Solução.

a)

Tem-se que y = f(x) é uma função que depende do tempo x.

No instante x1 tem-se que

23

y = f(x1)=3x1 +8x1 - x1.

Suponha um lapso de tempo transcorrido h depois de x1, então y = f(x1 + h) = 3(x1 + h) + 8(x1 + h)2 +(x1 + h)3 .

A diferença

4ff(x1 + h) - f(x1)
=

hh quando h for tão pequeno possível, determina a taxa segundo o qual o operário está pintando x1 depois das 8 da manhã.

23

Isto é, 4f(x1) = 3[(x1 + h) - x1] + 8[(x1 + h)2 - x] - [(x1 + h)3 - x]=3h + 8(2hx1 + h2) ¡

11
2

(3hx2 +3h2x1 + h3)= h[3 + 8(2x1 + h) - (3x+3hx1 + h2)], então:

11

2

4f(x1) h[3 + 8(2x1 + h) - (3x+3hx1 + h2)]
12

= =3+8(2x1 + h) - (3x +3hx1 + h2)

1

hh

4f(x1)

2

Quando h for tão pequeno quanto o zero, tem-se que = 3+8x1 - 3x1.

A taxa

h

segundo o qual o operário está pintando quando x1 =2 corresponde as 10 horas.

4f(2)

Logo, = 3+8(2)¡3(22)=7.

Portanto, a taxa segundo a qual o operário esta pintando

h

às 10 horas da manhã é de 7 quadros.

.

Solução.

b)

Até as 11 horas ele pintou y = 3(3) + 8(32) - 33 = 54 quadros.

Até as 10 horas ele pintou y = 3(2)+8(22)¡23 = 30 quadros.

Logo entre as 10 e 11 horas da manhã, ele pintou 54¡30 = 24 quadros.

Exercícios 2-4

ax + d

1.

Para quais números reais a, b, c, d a função f(x)= satisfaz f(f(x)) = x para todo cx + b

x?

2.

Se f é uma função de variável real tal que f(x - 2) = 2x2 +1, determinar: f(a + 2) - f(1) f(a + 2) - f(2)
1.

a 6=3 2.

a 6=2 a - 3 a - 2

3.

Se f(4x +1) = x2 +4x - 5 é função real, achar f(5x).

4.

Seja f função real definida por: .

2, se, 0 = x = 2 f(x)= e g(x)= f(x + 2) + f(2x)

3, se, 2 <x< 3

Achar D(g).

5.

Seja f : A ¡.

[0, 1].

Determine o domínio de f se: | x +2 | 1+2x
1:f(x)= 2:f(x)= ¡x 2 +4x + 12 3:f(x)= x +2 3 - 5x

6.

Determinar o domínio de definição das seguintes funções: rx - 2 r12 + x

4

2

1:f(x)= 2:f(x)= 3:f(x)= p9 - 6x + x
x - 1 x - 5

2

43x4

2

4:f(x)= px2 - 4x + 12 + v 5:f(x)= 1 - p4+ x4 ¡x - 20 + x2 .

| x +[jxj] | se, [jxj] e par
6:g(x)= px + j[xj], se, [jxj] e ímpar 7.

A função f(x) esta definida como segue: em cada um dos intervalos n = x<n +1 onde n 1
é um inteiro positivo, f(x) varia linearmente, sendo f(n)= ¡1;f(n + )=0.

Construir

2

o gráfico desta função.

8.

A função f em R é tal que f(2x)=3x +1.

Determine 2:f(3x + 1).

9.

Sendo f e g duas funções tais que fog(x)=2x +1 e g(x)=2 - x.

Determine f(x).

10.

Se f(g(x)) = 5x - 2 e f(x)=5x +4, então g(x) é igual a: 11.

Dadas as funções f(x)=4x +5 e g(x)=2x - 5k, ocorrerá gof(x)= fog(x) se e somente se k for igual a: 12.

Seja f uma função definida em R tal que f(x - 5) = 4x.

Nestas condições, pede-se determinar f(x + 5).

13.

Sendo f e g duas funções tais que: f(x)= ax + b e g(x)= cx + d.

Sob que condições ocorrerá a igualdade gof(x)= fog(x)?

Christian Quintana Pinedo

14.

Sejam f(x)= x +2 e g(x)= x2 + a, determinar o valor de a de modo que (fog)(3) = (gof)(a - 1).

15.

Determine duas funções f e g tais que h = gof nos seguintes casos: 1:h(x)=(x 2 + 3)6 2:h(x)=2sen 2x 3:h(x) = 3(x+ | x j) v

4:h(x)= x + 12 5:h(x)= x 2 + 16x + 64 µ2x +5 ¶2 6:h(x)= 7:h(x) = sen 24x + 5sen 4x +2 x - 4

16.

Dadas as funções f(x)=| x +1 | e g(x)=| 2 - x j.

Determine fog e gof.

17.

Sejam f e g funções definidas por: .

18.

Dada a função de produção 9p =2q2, onde q é a quantidade de um insumo, o que acontece com a produção se a quantidade do insumo for duplicada? Como são então os retornos da produção? 19.

Sejam R = ¡2q2 + 30q e C =3q + 72 as funções de Receita e Custo para certo produto.

(a) Determine o ponto de equilíbrio (break-even).

(b) Faça os gráficos de C e R num mesmo eixo.

(c) Determine a função lucro e faça seu gráfico.

(d) Determine a função lucro médio e faça seu gráfico por pontos tomados no intervalo de variação de q.

20.

Seja P = 20 xuma função que dá a quantidade P de certo produto que é produzida em função da quantidade x de certo insumo.

(a) Esboçar o gráfico da função.

(b) O que acontece com a produção se a quantidade de insumo por multiplicada por 6.

(c) Como são os retornos da produção?.

21.

Um laboratório ao lança um novo produto de beleza, estabelece uma função que dá a quantidade procurada y no mercado em função da quantidade x de caixas com certa quantidade de amostras, que foram distribuídas entre donas-de-casa.

A função estabelecida foi y = 300 × (1, 3)x .

(a) Qual foi a procura do produto antes da distribuição da amostra?.

E após a distribuição de duas caixas?.

E após a distribuição da quatro caixas? (b) Quantas caixas da amostra tem que ser distribuídas para que a quantidade procurada seja 3:000? (c) Esboce o gráfico da função.

22.

A demanda mensal de um certo produto por consumidor é função de sua renda de acordo 30:000
com a seguinte expressão: q = 400 - , onde y é a renda em milhares de reais e q é a quantidade do produto em gramas.

(a) Faça o gráfico da função.

(b) Essa função é crescente ou decrescente? As taxas crescentes ou decrescentes? Por quê? (c) Em que ponto corta o eixo horizontal dos x.

Qual é o significado do fato?

23.

Um comerciante é o representante de vendas de uma certa mercadoria em uma cidade.

Vende atualmente 200 unidades e observa que a porcentagem de crescimento de vendas é de 25% ao ano.

(a) Determine função y = f(x) que dá a quantidade que será vendida em função do tempo em anos, a partir de hoje.

(b) Quanto estará vendendo daqui a dois anos? E daqui a quatro anos?.

Esboce o gráfico da função.

24.

Uma firma de serviços de fotocópias tem um custo fixo de R$800 por mês e custos variáveis de 0, 06 por folha que reproduz.

Expresse a função custo total em função do número de páginas x copiadas por mês.

Se os consumidores pagam 0, 1 por folha.

Quantas folhas a firma tem que produzir para não ter prejuízo? 25.

A equação de demanda de um certo produto é q = 14¡2p e a equação de oferta q =6p¡10.

Determine o ponto de equilíbrio.

n

26.

Seja a função y = x, x> 0.

Para que valores de x esta função tem valores maiores que os de sua função inversa.

ax + b

27.

Qual deve ser a condição para que a função homográfica y = coincida com sua cx + d

inversa.

Sabe-se que ad 6

= bc.

28.

Qual é a característica do gráfico de uma função homográfica identicamente a sua inversa ? x2 +2x + c

29.

Mostre que a função f(x)= assume qualquer valor real si 0 <c = 1.

x2 +4x +3c

30.

O peso aproximado dos músculos de uma pessoa é diretamente proporcional a seu peso corporal.

(1.) Expresse o número de quilos do peso aproximado dos músculos de uma pessoa como função de seu peso corporal, sabendo que uma pessoa com 68 kg tem peso aproximado de seus músculos 27 kg.

(2.) Ache o peso muscular aproximado de uma pessoa cujo peso corporal é de 60 kg.

31.

Determine o ponto de interseção e desenhar o gráfico das curvas: 1.

R(q) = 100q, C(q) = 50+3q 2

2.

R(q) = 10q - 0, 5q, C(q) = 10+ q 3.

R(q) = 80q, C(q)=0, 1q2 +5q + 200 32.

Temos as equações de oferta e demanda, determinar o ponto de equilíbrio e desenhar o gráfico num mesmo sistema de coordenadas.

a) q = p +1 e q = 10 - p ; b) q = 50+2p e q(p + 10) = 500.

33.

O período de um pêndulo (o tempo, para uma oscilação completa) é diretamente proporcional à raíz quadrada (do comprimento do pêndulo.

e se o comprimento for 240 cm o

96 Christian Quintana Pinedo

período será de 3 s.

(a) Expresse o número de segundos (do período de um pêndulo como função do número de centímetros de seu comprimento.

(b) Ache o período de um pêndulo de 60 cm de comprimento.

34.

A função de custo total de uma empresa A&A é C(x)=0, 2x2 ¡6x+100 onde x é dado em Kg.

Determine a função de custo médio e o valor de x para que o custo total seja mínimo.

35.

Calcular o ponto de equilíbrio de um monopolista se a função de custo é C(q)=0, 5q2 + 20q + 15 e o preço de venda de cada unidade é p = 30 - q.

36.

Admitamos que, ao se fabricarem q unidades de um certo produto, o custo total de fabricação é de C(q)= q3 +6q2 + 15q reais.

Em que nível de produção o “custo médio” por unidade será o menor? 37.

São dadas as equações de oferta e demanda de um certo produto: 2q = p = 12 e q2 ¡p+4 = 0.

Determine a quantidade e o preço de equilíbrio.

38.

Um comerciante estima que o custo de produção de q unidades de uma mercadoria é C(q) = 20q + 20:000, a equação da demanda é p + q =5:000, onde q são as unidades demandadas a cada semana ao preço unitário de p reais.

2

39.

Suponha que o custo total seja dado por C(q) = 10+q e a receita total R(q) = 10q ¡0, 5q.

Determine o valor de q para o qual se obtém utilidade máxima.

40.

Um fabricante vende certo artigo aos distribuidores a R$20 por unidade para pedidos menores de 50 unidades.

No caso de pedidos de 50 unidades ou mais (até 600), o preço tem um desconto de 2 centavos vezes o número encomendado.

Qual é a quantidade de encomenda que proporciona maior ingresso para o fabricante?.
·q + b

41.

Desenhar o gráfico e determine o custo médio da função de custo total C(q)= aq q + a

onde a, b e c são constantes positivas b<c.

42.

Uma mercearia anuncia a seguinte promoção: “Para compras entre 100 e 600 reais compre (x + 100) reais e ganhe (x=10)% de desconto na sua compra.”

Qual a maior quantia que se pagaria à mercearia nesta promoção ?

43.

Consideremos duas funções f e g definidas por: f(x)=| x - 2 | + | x - 1 | e g(x)=

8>:

<>

2x - 1, se, x = ¡1 2, se, - 1 < x < 1 x2 , se, 1 = x

Determine as funções fog e gof.