Lembre a seguinte propriedade de números reais:
Propriedade 3.2
i) Seja x R e x 0 , se x < para todo > 0 , então x = 0 .
ii) Quando | x | < , > 0 x = 0 .
Demonstração.
i) Como x 0 , então x = 0 ou x > 0 . A possibilidade x > 0 não pode acontecer, pois se x > 0 então do fato x < e como > 0 em particular podemos escolher = x de onde = x < x o que é contraditório. Por tanto x = 0 .
ii) Exercício para o leitor.
Propriedade 3.3 Unicidade do limite.
Quando exista o limite de uma função, este limite é único.
Demonstração.
Seja > 0 qualquer número real; e suponha que f(x) = L_1 e f(x) = L_2 sendo L_1 L_2 .
Será suficiente mostrar que | L_1-L_2 | < para todo > 0 .
Do fato f(x) = L_1 da definição de limite temos que, dado qualquer > 0 , existe um _1 > 0 tal que | f(x)-L_1| < /2 sempre que 0 < | x - a| < _1 ; de modo análogo dado f(x) = L_2 da definição de limite temos que, dado qualquer > 0 , existe um _2 > 0 tal que | f(x)-L_2 | < {/2} sempre que 0 < | x - a| < _2 .
Considere = min. { _1 , _2 } e 0 < | x - a| < então cumprem-se as desigualdades | f(x)-L_1 | < /2 e | f(x)-L_2 | < /2 .
Das propriedades de números reais, temos que:
| L_1-L_2 | = | L_1 - f(x) + f(x) -L_2| | f(x)-L_1 | + | f(x) - L_2 | < + = ; para 0 < | x - a| <
Assim mostramos que para todo > 0 , sendo 0 < | x - a | < verifica-se | L_1-L_2| < o que implica L_1 = L_2 .
Propriedade 3.4. Conservação do sinal.
Se f(x) = L 0 , existe uma vizinhança B(a, ) tal que f(x) e L tem o mesmo sinal x B(a, ) com x a .
A demonstração é exercício para o leitor.
Propriedade 3.5.
Se f(x) = L , existe uma vizinhança B(a, ) e um número M > 0 tal que | f(x)| < M, x B(a, ) sendo x a .
Demonstração
Da hipótese f(x) = L temos que:
Dado > 0 , > 0 /. x B(a, ), x a cumpre |f(x) - L| < . Das propriedades de números reais | f(x)| - | L | < | f(x) - L | < , então | f(x)| - | L| < logo | f(x)| < + | L| .
Considerando M = + | L | temos que | f(x) | < M x B(a, ) para x a .
Propriedade 3.6
Se f e g são funções tais que:
a) f(x) g(x) x B(a, ) com x a .
b) f(x) = L e g(x) = M .
Então L M , isto é f(x) g(x) .
A demonstração é exercício para o leitor.
Propriedade 3.7 Teorema do Confronto.
a) Suponhamos f(x) g(x) h(x) para todo x num intervalo aberto contendo a , exceto possivelmente o próprio a
b) Se f(x) = L = h(x) então g(x) = L .
Demonstração
Pela hipótese (b) para cada > 0 existem positivos _1 e _2 tais que:
0 < | x - a| < _1 L - < f(x) < L + (3.4)
0 < | x - a| < _1 L - < h(x) < L + (3.5)
Considerando = min.{_1, _2}, para 0 < | x - a| < cumpre-se simultaneamente (3.4) e (3.5) e como f(x) g(x) h(x) .
Então, 0 < | x - a| < implica L - < f(x) g(x) h(x) < L + ; isto é 0 < | x -a| < implica L - < g(x) < L + | g(x) - L| < . Portanto, g(x) = L .
Propriedade 3.8
Sejam f e g duas funções tais que:
a) f(x)= 0 .
b) Existe M > 0 tal que | g(x)| < M x B(a, ) com x a .
Então f(x).g(x) = 0 .
A demonstração é exercício para o leitor.
Este Teorema do confronto, também é conhecido como o Teorema do sanduíche.
Exemplo 3.12
Suponhamos que f(x) = ax2 + bx + c onde a, b e c são constantes tais que | f(x)| | x^3| x R . Mostre que a = b = c = 0 .
Demonstração
Como 0 | ax^2 + bx + c| | x^3| e .0 = | x^3 | =0 , pela Propriedade (3.7) segue que | ax^2 + bx + c | = c = 0 .
Então podemos escrever f(x) = ax^2 + bx ; assim 0 | ax^2 + bx | | x^3 | para x 0 , logo 0 | ax + b| | x^2| x R , aplicando novamente a Propriedade (3.7) resulta | ax + b | = b = 0 .
Então tem-se f(x) = ax ; assim 0 | ax| | x3| para x 0 , logo 0 | a| | x| x R , aplicando novamente a Propriedade (3.7) resulta | a | = a = 0 .
Portanto, a = b = c = 0 .
Propriedade 3.9 Propriedades adicionais de limites.
Sejam f e g duas funções e C número real constante, tais que f(x) = L e g(x) = M então:
a) .C = C
b) .C f(x) =C f(x) = C . L
c) [f(x) + g(x)] = f(x) + g(x) = L + M
d) [f(x) g(x)] = f(x) g(x) = L.M
e) [1/g(x)] = 1/ g(x) = 1/M sempre que M 0 .
f) [f(x)/g(x)] = { f(x)}/{ g(x)} = L/M sempre que M 0 .
A demonstração é exercício para o leitor.
Propriedade 3.10
Se f_i(x) = L_i para todo i =1, 2, 3, . . . , n então:
a) [f_1(x)+f_2(x) + f_3(x)+ . . . f_n(x)]= L_1 + L_2 + L_3 + . . . + L_n
b) [f_1(x) f_2(x) f_3(x) . . . f_n(x)]=L_1 L_2 L_3 . . . L_n
A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.
Propriedade 3. 11
Suponha f(x) = L e n Z , então, [f(x)]n = [ f(x)]n = Ln (quando n 0 , então L tem que ser diferente de zero.
Demonstração
Exercício para o leitor.
Propriedade 3.12
Se f(x) = L e n Z , então, = = onde L é número positivo e n qualquer inteiro positivo ou L < 0 e n qualquer inteiro positivo ímpar.
Demonstração
Exercício para o leitor.
Exemplo 3.13
Calcular o limite: [{5x2-10x-6}/{x3-10}] .
Solução
Por um cálculo direto aplicando a Propriedade 3.11 (f) obtemos que [ {5x2-10x-6}/{x3-10} ] = {-6}/{-2} = 3 .
Exemplo 3.14
Calcular o seguinte limite .
Solução
Pela Propriedade (3.12) temos que = = = 2 .
Portanto, = 2 .
Exemplo 3.15
Calcular ( {x^3-3x+1}/{x-4} + 1) .
Solução
Pela Propriedade (3.9)-f) resulta que, ( {x^2-3x+1}/{x-4} + 1) = { (x^3-3x+1)}/{ (x-1)} + 1 = - + 1 = -
Exemplo 3.16
Calcular [{6x-6}/{x^2-3x+2}].
Solução
Observe que ao aplicar diretamente a Propriedade \eqref{pro113}} \textbf{f)} de quociente de limites, teríamos um quociente da forma \frac{0}{0} no limite, sendo esta uma forma indeterminada. No possível para evitar isto temos que escrever numerador e denominador na forma de fatores do modo seguinte:
[ {6x-6}/{x^2-3x+2} ] = [6(x-1)/{(x-1)(x-2)} ]
Desde que x 1 , então (x - 1) 0 ainda (x-1) não é zero; logo podemos simplificar no limite acima para obter:
[ {6x-6}/{x^2-3x+2}] = [6(x-1)/{(x-1)(x-2)}] = [6/{x-2} ] = -6
Observação 3.4
i) São formas indeterminadas:
0/0, /, - , ^0, 0^0, 0^, ^, 1^
Se no cálculo de limites aparecem alguma destas formas, para o cálculo de limites devemos utilizar processos ou artifícios com o propósito de evitar a forma indeterminada.
ii) Seja n N , para a racionalização, lembre:
a2 - b2 = (a+b) (a-b)
(a-b)n = (a-b)(an-1 + an-2 b + an-3b2 + an-4b3 + . . . + a2bn-3 + abn-2 + bn-1)
Quando n é ímpar:
(a+b)n = (a+b)(an-1 - an-2 b + an-3b2 - an-4b3 + . . . + a2bn-3 - abn-2 + bn-1)
Exemplo 3.17
Calcular [ 1/{2-x}- 12/{8-x^2} ] .
Solução
Observe que: [ 1/{2-x} – 12/{8-x^3}] =
= [(4+2x+x^2)/{(2-x)(4+2x+x^2)} - 12/{8-x^3}] =
= [{4+2x+x^2 -12}/{8-x^3} ] = [{2x +x^2-8}/{8-x^3} ] =
= [-(2-x)(x+4)/{(2-x)(4+2x+x^2)} ] = [-(x+4)/{4+2x+x^2}] = -
Portanto, [1/{2-x} – 12/{8-x^2} ] = -
Exemplo 3.18
Calcular o limite: [{ - }/{x-1}]
Solução
Este limite é da forma indeterminada 0/0; assim, multiplicando pela conjugada do numerador tem-se: [{ - }}/{x-1} ] =
= [{( - )( + )}/{(x-1)( + )}] =
= [{2(x-1)}/{(x-1)( + )}] = [ 2/( + )] =
Portanto, [{ - }/{x-1}] = .
Exemplo 3.19
Determine o valor do seguinte limite: [{1- }/{ -1} ]
Solução
No limite [{1- }/{ -1} ] multiplicando o numerador e denominador pelo fator F(x) = (1 + )( -1) , tem-se:
[{(1- )(1 + )(( -1))}{( -1)(( -1))(1 + )}] = [{1- }/{ -1}] =
= [{(1-x^2+3x-3)( +1)}/{(4x^2-4)(1+ )] =
= [{-(x-1)(x-2)( +1)}{4(x-1)(x+1)(1+ )}] = [ -(x-2)/4(x+1)] =
Portanto, [ {1- }/{ -1}]=
Exemplo 3.20
Determine o valor do seguinte limite: { - }/{2x^3+x-18}.
Solução
Para o limite, { - }/{2x^3+x-18}, multiplicando o numerador e denominador pelo fator F(x) = ( )2 + ( ).( ) + ( )2 , tem-se:
(x3-2x-3) -(2x^2-7)/{(2x^3+x-18) F(x)} = (x2-2)(x-2)/{(2x^2+4x+9)(x-2)F(x)} = (x^2-2)/{(2x^2+4x+9) F(x)} ] =2/25 F(2) = 2/{(25)(3)} = 2/75
Portanto, { - }/{2x^3+x-18} = 2/75
Exemplo 3.21
Como variam as raízes da equação quadrada ax^2 + bx + c = 0 quando b e c conservam seus valores constantes( b > 0 ) e a magnitude a tende para zero ?
Solução
Pela fórmula de Bhaskara as raízes da equação são: x1 = {-b + }/2a e x2 = {-b - }/2a;
Quanto a 0 podemos escrever na forma:
x_1 = {-b + }/2a = {(-b)2 - ( )2}/{2a(-b - )}= 4c/2{-b - } = - c/b
x2 = {-b - }/2a = (-b)^2 - ( )2}{2a(-b + )}= 4c/{-b + - 4ac}} =
Portanto, uma das raízes converge para - c/b e a outra diverge (aproxima-se rapidamente ao infinito).
Exercícios 3-2
1. Mostre as seguintes propriedades.
1. f(x) = 0 | f(x) | = 0 .
2.. f(x) = L [ f(x) - L] = 0
3. f(x) =L f(x) | = | L | .
4. f(x) = f(a+h)
2. Apresentar um exemplo de modo que:
1. Exista | f(x) | e não exista f(x) .
2. Exista [f(x) + g(x)] e não existam f(x) e g(x) .
3. Caso existam os limites f(x) e [f(x) + g(x)] . Existe g(x) ?
4. Caso existam os limites f(x) e [f(x).g(x)] . Existe g(x) ?
5. Caso exista f(x) e g(x) não existe, então existe [f(x) + g(x)] ?
6. Mostre que f(x) se e somente se f(a+h) .
7. Mostre que f(x) se e somente se f(x-a) .
8. Mostre que f(x) se e somente se f(x3) .
9. Considere a função f(x) = , determine os valores de m tal que f(x) = m^2 - 17 .
10. Seja a função f(x) = , e f(x) = 2a-5 . Determine o valor de a > 0
11. Calcular os seguintes limites:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. 8. 9.
10. 11 12.
13. 14.
15. a > 0 16.
17. a > 0 18.
12. Verifique os seguintes limites, para as funções que indicadas:
1. = - se f(x) = 1/{x2+4}
2. = -16 se f(x) = 8x2
13. Verifique o cálculo dos seguintes limites:
1. [ - ]= 2. =
3. =1 4. = 32/27
5. = 6. = -
7. = 8. =
14. Se f(2) = 6 , podemos concluir algo de f(x) ?. Justificar sua resposta.
15. Se f(x) = 6 , podemos concluir algo sobre f(2) ? Justificar sua resposta.
16. Sabe-se que = 4 e = -6 . Prove que = -1.
17. Se = 8 e = 3 . Prove que f(x)/g(x) = .
18. De que modo variam as raízes da equação ax2 + bx + ac = 0 quando b e c conservam seus valores constantes ( b 0 ) e a magnitude a 0 ?.