C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.5 Operações com Funções.

Definição 2.15.

Duas funções f : A ¡.

R e g : A ¡.

R de diz que são iguais quando D(f) = D(g) e f(x)= g(x) .

Definição 2.16.

Sejam f e g duas funções reais com D(f)= A 6

e D(g)= B se A n B =F definimos: a) Função soma de f e g :(f + g)(x)= f(x)+ g(x) e D(f + g)= A n B.

b) Função diferença de f e g :(f - g)(x)= f(x) - g(x) e D(f + g)= A n B c) Função produto de f e g :(f
· g)(x)= f(x)g(x) e D(f · g)= A n B

d) Função quociente de f e g :(x)= sempre que o domínio cumpra: D()=

gg(x) g { x .

A n B=.

g(x)=0 6
}

e) Produto de uma constante por uma função: (kf)(x)= kf(x) onde k é constante .

Nesta caso D(kf) = D(f)

f) Função valor absoluto: | f | (x)=| f(x) | e D(| f j) = D(f)

Exemplo 2.48.

pv

2

Dada as funções f(x)= 25 - xe g(x)= x 2 - 9 com seus respectivos domínios D(f)= [¡5, 5] e D(g)=(¡1, ¡3] .

d) (x)= v , D()=[¡5, ¡3) .

e) (kf)(x)= k 25 - xe D(kf)=[¡5 5]

2.5.1 Composição de funções.

Definição 2.17.

Sejam f : A ¡.

R e g : B ¡.

R duas funções tais que Im(f) .

B; a função (gof) definida por (gof)(x)= g(f(x)) denomina-se "função composta de g e f "(nessa ordem).

O domínio da função gof é: D(gof)= { x .

O esquema da Figura (2.27) mostra o que acontece na composição de funções.

Exemplo 2.49.

Seja A = { 1, 2, 3, 4, 5 } e sejam f, g : A ¡.

A definidas por: f(1) = 3;f(2) = 5;f(3) = 3;f(4) = 1;f(5) = 2;g(1) = 4;g(2) = 1;g(3) = 1;g(4) = 2;g(5) = 3 .

Determine gof e fog.

Solução.

(gof)(1) = g(f(1)) = g(3)=1 (fog)(1) = f(g(1)) = f(4) = 1 (gof)(2) = g(f(2)) = g(5)=3 (fog)(2) = f(g(2)) = f(1) = 3 (gof)(3) = g(f(3)) = g(3)=1 (fog)(3) = f(g(3)) = f(1) = 3 (gof)(4) = g(f(4)) = g(1)=4 (fog)(4) = f(g(4)) = f(2) = 5 (gof)(5) = g(f(5)) = g(2)=1 (fog)(5) = f(g(5)) = f(3) = 3

Observe que as funções gof e fog não tem a mesma definição.

Exemplo 2.50.

a) Dadas as funções f(x)= x2 - 1 e g(x)=2x, calcule f[g(x)] e g[f(x)].

b) Dadas as funções f(x)=5x e f[g(x)] = 3x +2, calcule g(x).

c) Dadas as funções f(x)= x2 +1 e g(x)=3x - 4, determine f[g(3)].

Solução.

(a) f[g(x)] = f(2x) = (2x)2 - 1=4x2 - 1 g[f(x)] = g(x2 - 1) = 2(x2 - 1) = 2x2 - 2.

(b) Como f(x)=5x, então f[g(x)] = 5
· g(x).

(3x + 2)

Porém, f[g(x)] = 3x +2; logo 5
· g(x)=3x +2, e daí g(x)= .

5

(c) g(3) = 3(3) - 4=5 então f[g(3)] = f(5) = 52 +1 = 25+1 = 26.

Exemplo 2.51.

Sejam f e g duas funções definidas por f(x)=3x¡2 e g(x)= x2 +4x.

Determine as funções gof e fog.

Solução.

Temos os seguintes domínios e imagens para cada uma das funções : D(f)= R, Im(f)= R, D(g)= R e Im(g)=[¡4, +1).

i) Do fato Im(f) .

D(g) então (gof)(x)= g(f(x)) = [f(x)]2 +4f(x) .

g(f(x)) = [3x - 2]2 + 4[3x - 2] = 9x2 - 4.

Portanto, (gof)(x)=9x2 - 4 e D(gof)= R.

ii) Do fato Im(g) .

D(f) então (fog)(x)= f(g(x)) = 3g(x)¡2 .

f(g(x)) = 3(x2+4x)¡2= 3x2 + 12x - 2.

Portanto, (fog)(x)=3x2 + 12x - 2 e D(fog)= R.

Muitas vezes são dadas funções f(x) e g(x) sem especificar quais são seus domínios; para obter gof o domínio de f deve ser escolhido de modo que Im(f) .

D(g).

Exemplo 2.52.

Sejam as funções h(x) = 10 definida em [¡3, 4] e s(x)= x2 ¡8 definida em [0, 7].

Determine (hos)(x) e (soh)(x).

Solução.

i) Solução de (hos)(x)

Temos que D(h)=[¡3, 4] e D(s) = [0, 7].

Por outro lado, (hos)(x)= h(s(x)) = 10 8x .

Portanto, (hos)(x) = 10 .

ii) Solução de (soh)(x).

Observe que, (soh)(x)= s(h(x)) = [h(x)]2 - 8 = 102 - 8 = 92, para todo x .

[¡3, 4] e 0 = 10 = 7 (isto último é absurdo).

Portanto, não existe (soh)(x).

Exemplo 2.53.

Consideremos as funções h(x)= x - 15 e g(x)= x2 +5; determine (hog)(x) e (goh)(x).

Solução.

i) Temos que D(h) = [15, +1) e D(g)= R.

Por outro lado, (hog)(x)= h(g(x)) = pg(x) - 15 =

Portanto, (hog)(x)= x2 - 10 .

ii) Temos que (goh)(x)= g(h(x)) = [h(x)]2 +5 = [ x - 15]2+5 = x¡10, isto 8x .

[15, +1) e h(x) .

D(g)= R, então .

Portanto, (goh)(x)= x - 10 .

Exemplo 2.54.

Considere as seguintes funções:

determine fog e indique seu domínio.

Solução.

Da definição de função composta temos:

i) Se x< 1 e 4 = x = 16 .

(¡1 <x< 1e4 = x = 16), logo x=.

R.

11

ii) Quando 4x + 12 < 1 e - 1 = x = 3 .

(x< - e - 1 = x = 3), logo x=.

R.

4 iii) Para 1 <x2 e 4 = x = 16 .

[(x
·¡1 ou1 = x)e4 = x = 16] .

4 = x = 16 ; logo f(g(x)) = 5 - x2 se 4 = x = 16.

11

iv) Se Quando ( 1 = 4x + 12 e - 1 = x = 3) .

(¡= xe - 1 = x = 3) )¡1
·

4

x = 3, logo f(g(x)) = 5 - (4x + 12) = ¡4x - 7 se ¡1 = x = 3.

2

.

5 - x, se, 4 = x = 16
Portanto, (fog)(x)=

¡4x - 7, se, - 1 = x = 3

Exemplo 2.55.

1

Seja f(x)= , determine a função (fofof)(x).

1 - x

Solução.

11 x - 11

(fof)(x)= f(f(x))= = ==1 ¡

1

1 - f(x)1 - xx

1¡x

1

Por outro lado, (fofof)(x)=(f(fof))(x)= f(f(f(x)))= 1 - ,

f(x)

1

isto é (fofof)(x)=1 - =1 - (1 - x)= x.

1 1¡x

Portanto (fofof)(x)= x.