Para o cálculo dos limites das funções trigonométricas inversas, é necessário considerar os limites que se mencionam na seguinte propriedade:
Propriedade 3.21
a) arcsen x = 0 b) arccos x = + c) = 1
d) = 1 e) arctan x = - f)} arctan x = +
Demonstração
a) Considere a seguinte mudança de variáveis: t = arcsen x, onde -1 x 1 e - t , então x = sen t, se x 0 tem-se que t 0. Logo, arcsen x = t = 0.
c) Fazendo mudança de variáveis como na demonstração da parte a) tem-se = = 1 .
Exemplo 3.43
Calcular .
Solução
Considere a mudança de variáveis 6x = t ; então quando x 0 , teremos que t = 6x 0 assim, = 6 = 6. = 6. = 6(1) = 6 .
Exemplo 3.44
Determine o valor do limite .
Solução
Observe que = . = , quando x 0 tem-se que ax 0 e bx 0 , assim resulta que:
, = . = .
Portanto, = .
Exemplo 3.45
Calcular .
Solução
Quando x 0 tem-se que t = sen 3x 0 e r = sen 4x 0 ; logo fazendo mudança de variável, segue que t 0 e r 0 então:
= = =
= =
= . =
Portanto, = .
Exemplo 3.46
Determine o valor do limite .
Solução
= =
= - = - =
= - = (16) - =
Portanto, = .
Exemplo 3.47
Determine o valor do limite .
Solução
Tem-se aplicando a Propriedade (3.20)-(c) que:
= . = (1) =
Portanto = .
Exemplo 3.48
Calcular .
Solução
Do fato ser a tangente positiva quando x 0+ então existe ; para o caso x < 0 tem-se que tan x < 0 , logo não tem sentido o limite x 0- ; e da Propriedade (3.21)-(c) vem:
= =
= 3(1) = 3. = 3. = 3 .
Portanto, = 3