C?LCULO DIFERENCIAL EM R

3.4 Limites ao infinito.

Definição 3.5

Seja f : (a, +)  R, uma função e L  R , diz-se que L é o limite de f(x) quando x tende para + e escreve-se f(x)= L se e somente se dado  > 0 , existe N > 0 tal que | f(x) - L | <  sempre que x > N .

Definição 3.6

Seja g : (-, b)  R, uma função e L  R , diz-se que L é o limite de g(x) quando x tende para - e escreve-se f(x)= L se e somente se dado  > 0 , existe N > 0 tal que | g(x) - L | <  sempre que x < -N .

Destas definoções, podemos interpretar que, em tanto seja maior (ou menor) o valor de x , a diferença entre f(x) e L é cada vez menor, o qual significa que f(x) aproxima-se cada vez mas para L como observa-se na Figura 3.7.

Figura 3.7:

Propriedade 3.14

Seja n  N então:

i) = 0 ii) = 0

Demonstração

i) Dado  > 0 , existe N = > 0 tal que para x > N = tem-se que <  ; assim, dado  > 0 , existe N > 0 tal que | | <  sempre que x > N .

Portanto = 0 .

ii) Analogamente. Dado  > 0 , existe N = > 0 tal que para x < - N = - tem-se -x > então, 0 < - < isto é | | <  . Logo, dado  > 0 , existe N > 0 , tem-se que | | <  sempre que x < - N . Portanto = 0 .

Propriedade 3.15

Sejam f e g duas funções definidas em (a, +) e (b, +) respectivamente; se f(x)= L e g(x)= M então:

a) [cf(x)] = c.L para c constante.

b) [f(x)+g(x)] = f(x) + g(x) = L + M

c) [f(x)  g(x)] = .f(x)  .g(x) = L  M

d) [f(x)/g(x)] = { f(x) }/{ .g(x)} = L/M desde que M  0 .

A demonstração é exercício para o leitor.

Quando x tende para - obtém-se propriedades similares as da Propriedade 3.15.

Exemplo 3.25

Calcular: [{3x2-6x+2}/{x2+2x-3}] .

Solução

Tem-se que [{3x2-6x+2}/{x2+2x-3} ] = [{x2 (3-6/x+2/x2} )}/{x2 (1+2/x-3/x2} )} ] , logo aplicando a Propriedade 3.14 segue-se que [{3x2-6x+2}/{x2+2x-3}] = {3-0+0}/{1+0-0} = 3 .

Exemplo 3.26

Suponha, a número positivo, calcular [ - ].

Solução

Tem-se que [ - ]. =

[ - ]. = ]=

= =

Exemplo 3.27

Suponha a número positivo, calcular [ + ].

Solução

[ + ] = (+) + (+) = +.

Exemplo 3.28

Determine o valor de [ /{2x-4}].

Solução.

Tem-se a função f(x) = /{2x-4} e seu domínio é o conjunto [-2, 2) , isto significa que não podemos calcular [ /{2x-4}].

Portanto não existe o limite.

Exemplo 3.29

Calcular [ /{n+1}].

Solução

Observe que [ /{n+1}]. = [ ( )/{n ( 1+n-1 )}] = 0

Exemplo 3.30

Determine o valor do seguinte limite: [ ].

Solução

Quando x  , então x  + e x  -:

[ ] = [ ] = [ ] = 2

Para o cálculo quando x  -, como = | x | = -x , para valores negativos de x então:

[ ] = [ ] = [ ] = 1

Os limites são diferentes; portanto, não existe [ ].

Exemplo 3.31

Calcular: [ +2x] .

Solução

[ +2x] = =

[ = [ ] =

= [ ] = - .

Portanto, [ +2x]= - .

Exemplo 3.32

Determine o valor do seguinte limite: [5+ +2x] .

Solução

[5+ +2x] = [ + 2x +5] =

= [ +2x] + 5 =

= [ ] + 5=

] + 5= ] + 5 =

= ] + 5= +5 = .

Portanto, [5+ +2x] = .

Exemplo 3.33

Determine o limite das seguintes seqüências:

a) 1, - , , - , . . . , . . .

b) 2, , , , . . . , . .

c) , , . . .

Solução

a) O termo geral da seqüência está dado por sn = (-1)n-1}/n,  n  N, n > 1 , logo se n par resulta {(-1)n-1}/n = -1/n = 0 ; para o caso n ímpar (-1)n-1/n = 1/n = 0 . Portanto, (-1)n-1/n = 0

b) Observe que o termo geral da seqüência é: a_n = 2n/{2n-1} , calculando o limite temos: 2n/{2n-1} = 2/{2- n-1} = 1 .

Portanto 2n/{2n-1} = 1

c) Exercício para o leitor.

Exercícios 3-3

1. Calcular os seguintes limites:

1. 2. a > 0

3. 4.

5. 6.

7. 8. 0 < a  1

9. 10.

11. 12. ]

13. b > 0, a > 0 .

14. a > 0, b> 0

2. Suponha f(x) < f(x) (construir o gráfico) Mostre que existe algum  > 0 tal que f(x) < f(y) sempre que x < a < y , | x - a | <  e | y - a |<  . Compre-se a recíproca?.

3. Verifique o cálculo dos seguintes limites:

1. = -

2. =

3. =

4. = -69

5. = -

4. Dar exemplo de uma função monótona tal que f(x) = 1 .

5. Para cada um dos seguintes exercícios, traçar o gráfico e calcular o limite indicado caso exista; justificar sua resposta.

1. f(x) = f(x) f(x)

2. f(x) = f(x)

3. f(x) = f(x)

4. f(x) = f(x)

5. f(x) = f(x)

6. f(x) = f(x)

7. f(x) = f(x) f(x)

6. Nos seguintes exercícios determine se existe o limite; caso contrário justificar sua resposta.

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. [3x + sgn(| x2-1 | -1) ]

12. [x^2-sgn(| x2-1 | -1)] 13. [x2+5+sgn(| x2-1 | - 1)]

14. [ x4-sgn(| x2-1 | -1)] 15. -

16.

17.

18.

7. Calcular se existem os seguintes limites:

1. 2. 3.

4. 5. 6.

7. 8. 9.

10. 11. 12.

8. Demonstrar que:

1. f(x) = .f(-x) 2. f(| x |) = .f(x)

3. f(x^2) = f(x)

9. Determine o valor dos limites, caso exista:

1. [ + (1 + 2 + 3 + . . . + n) ] 2.

3. 4. [ - ]

6. 5.

8. + +...+ 7.

10. - 9.

11. - 12. m, n  Z

14 - 13.

10. Se f é uma função limitada em intervalos limitados. Mostre que:

[f(x+1)-f(x)] 

11. Verificar o valor dos seguintes limites:

1. = - 2. = 0

3. - = 4. = 2

5. =-2 6. = 1

7. [ ] = 8. [ ]= 1

9. [ - n] = - 10. = 2

11. [ + - 2 ] = 0

12. =

12. Mostre que f(x) = f(-x) .

13. Mostre que f( ) = f(x) .

14. Mostre que .f( ) = f(x) .

15. Mostre que existe se e somente se m  n . Qual é o valor do limite se m = n ?. E quando m < n ?

16. Calcular os seguintes limites:

1. - 2.

3. n  N .

17. Um equipamento foi comprado por R$ 20.000 e espera-se que seu valor final depois de 10 anos de uso seja R$ 1.500 . Se o método da linha reta for usado para depreciar o equipamento de R$ 20.000 a R$ 1.500 em 10 anos, qual o valor líquido do equipamento depois de 6 anos?. Quando o valor do equipamento é 0 (zero) reais?.

18. Os custos da construção de um prédio de apartamentos foram de R$ 1.500.000,00 , e esta quantia foi depreciada pelo método da linha reta por 15 anos, a partir de 1985 . Qual foi o valor líquido do prédio em 1993 .

19. Sejam f:[a, b]  R e g:[a, b]  R funções tais que: f(x) > g(x) .

Mostre que existe  > 0 tal que:  0 <|x - c| <   f(x) > g(x), c (a, b) .