C?LCULO DIFERENCIAL EM R

3.3 Limites Laterais.

Figura 3.5:

Ao calcularmos f(x) , o problema reduz-se a calcular o número L para o qual aproximam-se os valores de f(x) quando x tende para a , tanto para valores maiores que a (pela direita) quanto para valores de menores que a (pela esquerda). Considerando a função:

f(x) = .

observa-se o seguinte:

a) Quando x aproxima-se a 2 pela direita, f(x) aproxima-se a 3 como mostra a Figura (3.5); isto é chamado de limite lateral de f(x) quando x tende a 2 pela direita, e escreve-se f(x) = 3

b) Quando x aproxima-se a 2 pela esquerda, f(x) aproxima-se a 1 como mostra a Figura (3.5); isto é chamado de limite lateral de f(x) quando x tende a 2 pela esquerda, e denotado .f(x) = 1 .

Em geral temos as seguintes definições:

Definição 3.3

Sejam a < c e f(x) uma função definida no intervalo (a, c) ; diz-se que L é o limite lateral de f(x) quando x tende para a pela direita e denota-se por .f(x) ou f(a+) ; se, dado  > 0,   > 0 /.  x  D(f), | f(x) - L | <  sempre que 0 < x - a <  .

Definição 3.4

Sejam b < a e f(x) uma função definida no intervalo (b, a) ; diz-se que L é o limite lateral de f(x) quando x tende para a pela esquerda e denota-se por .f(x) ou f(a-) se, dado  > 0,   > 0 /.  x  D(f), | f(x) - L | <  sempre que 0 < a - x <  .

Propriedade 3.13

f(x) = L se e somente se f(x) = f(x) = L .

A demonstração desta propriedade é exercício para o leitor.

Observação 3.5

Nos seguintes casos o f(x) não existe:

i) Quando não existe um dos limites laterais.

ii) Quando os limites laterais se existem e são diferentes.

Quando a função esta definida para x < a e x > a , geralmente ao calcular f(x) é necessário calcular os limites laterais de f(x)

Exemplo 3.

Determine o g(x) , se g(x) =

Figur 3.6:

Solução

Observe que, numa vizinhança de x = 1 a função esta definida de diferentes modos (Figura 3.6), é por isso que é necessário calcular os limites laterais.

g(x) = (2x^2-1) = 1 , por outro lado:

g(x) = (2-x) = 1 .

Portanto, g(x) = 1

Exemplo 3.23

Seja f(x) = | x+2 | }{4+2x} , determine se existe f(x).

Solução

Como | x + 2 | = , então f(x) = =

Por outro lado, f(x) = = - = -

Observe que os limites laterais são diferentes, logo não existe f(x)

Exemplo 3.24

Os custos de transporte de mercadorias são usualmente calculados por uma fórmula que resulta em custos mais baixos por quilo à medida que a carga aumenta. Suponhamos que x seja o peso de uma carga a ser transportada, e

C(x) =

o custo total em reais.

Ache cada um dos seguintes limites: a) C(x) e b) C(x).

Solução

a) Para calcular o limite, C(x) , temos que achar os limites laterais: C(x) = (0,85x) = 42,5 e C(x) = (0,75x) = 37,5 ; sendo diferentes não existe C(x).

b) De modo análogo:

C(x) = (0,75x) = 150 e C(x) = (0,60x) = 120 ;

Sendo diferentes os limites laterais, logo não existe C(x)

Se desejamos saber o custo de transporte de x = 50 quilos, teríamos a pagar C(50) = (0,80)(50) = 42,5 reais, e de x = 200 é C(200) = (0,75)(200) = 150 reais.