C?LCULO DIFERENCIAL EM R

3.5 Limites Infinitos.

Seja f uma função definida num intervalo aberto I que contenha ao número a , podendo o número a não estar no domínio de f .

Definição 3.7

Diz-se que o limite de f(x) é +\infty quando x tende ao ponto a e escreve-se f(x)= + ; se, dado K > 0 (tão grande como quiser), existe  > 0 tal que 0 < | x - a | <  implica f(x) > K .

Definição 3.8

Diz-se que o limite de f(x) é - quando x tende ao ponto a e escreve-se .f(x)= -  ; se, dado K > 0 (tão grande como quiser), existe  > 0 tal que 0 < | x - a | <  implica f(x) < -K .

Propriedade 3.16

i) = + ii) = -

Demonstração

i) Para qualquer K > 0 , existe  = > 0 tal que 0 < x <  = ; então > K . Portanto = + .

ii) Para qualquer K > 0 , existe  = > 0 tal que - = - < x < 0 ; então < - K . Portanto = -.

Os dois limites são representados simbolicamente por: = + e = - respectivamente.

Propriedade 3.17

Se n é um inteiro positivo, então:

i) = + ii) =

A demonstração é exercício para o leitor.

Definição 3.9

Seja f uma função de domínio D(f) . Então:

i) Se D(f) = (a, +) define-se:

a) f(x) = +   K >0,  M > 0 tal que x > M  f(x) > K .

b) f(x) = -   K > 0,  M > 0 tal que x > M  f(x) < - K .

ii) Se D(f) = (-, b) define-se:

a) f(x) = +   K > 0,  M > 0 tal que x <- M  f(x) > K .

b) f(x) = -   K > 0,  M > 0 tal que x < - M  f(x) < - K .

A Definição (3.9)-(i)-a) significa que para valores de x positivos bastante grandes, os valores de f(x) também são positivos e bastante grandes. Similar interpretação para as outras definições.

Exemplo 3.34

Mostre que x2 = +

Solução

Seja K > 0 , considerando M = tem-se que, se x >  x^2 > K .

Exemplo 3.35

Determine o valor do limite: {1+ }/{x+2}

Solução

{1+ }/{x+2} = (1+ ).{1}/{x+2} = (1+ )(+ ) = +  .

Portanto, {1+ }/{x+2} = +

Observação 3.6

Por comodidade escrevemos o símbolo  (infinito) com o significado seguinte: f(x) =  se e somente se | f(x)| = + .

Propriedade 3.18

Sejam a  R as funções f(x), g(x) e C  0 número real constante, tais que f(x) = 0 e f(x) = C então:

i) Se C > 0 e f(x)  0 através dos valores positivos de f(x) , então = +.

ii) Se C > 0 e f(x)  0 através dos valores negativos de f(x) , então = - .

iii) Se C < 0 e f(x)  0 através dos valores positivos de f(x) , então = -.

iv) Se C < 0 e f(x)  0 através dos valores negativos de f(x) , então =+.

A demonstração é exercício para o leitor.

A Propriedade (3.18) podemos resumir do modo seguinte:

i)} = ii) =

Propriedade 3.19

Sejam f e g duas funções reais tais que:

a) .f(x) =   e .g(x) =   então: [f(x) + g(x)] =   e [f(x).g(x)] = + 

b) .f(x) =   , L >0 e .g(x) = ± então: [f(x) + g(x)] =   e [f(x).g(x)] = + 

c) f(x) =   , L < 0 e g(x) = ± então: [f(x) + g(x)] =   e [f(x).g(x)] =  

d) .f(x) = -  , e .g(x) = +  então: [f(x).g(x)] = - 

e) .f(x) = L , L  0 e g(x) =  então: = 0 .

A demonstração é exercício para o leitor. Se substituímos a expressão x    por x  a estas propriedades permanecem válidas.

A Propriedade (3.19) podemos resumir, usando os seguintes símbolos para K constante diferente de zero.

i) K + (+) = +  ii) K + (-) = -  iii) (+) + (+) = +

iv) (-) + (-) = - v) (+) (+) = + vi) (- )(-) = +

vii) (+ ) (-) = - viii) = 0. ix) K.(+) =

x) - n = x) K.(-) =

Exemplo 3.36

Seja f(x) = , calcular f(x), f(x) e f(x).

Solução

Ao substituirmos x = 1 em f(x) , observamos que temos a forma 6/0 o qual indica que o cálculo dos três limites é infinito. Para determinar o sinal de  (+ ou - ) devemos calcular o comportamento da função para valores próximos a x = 1 .

i) [5x4+1] = 6

ii) [x2 + x - 2] = 0

Para x < 1 (próximo a 1 ) tem-se que (x-1) < 0 e (x+2)> 0 ; logo o produto (x-1).(x+2) < 0 , assim (x+2)(x-1) = 0- .

Analogamente, para x > 1 (próximo a 1 ) tem-se que (x-1) >0 e (x+2) > 0 ; logo o produto (x-1).(x+2) > 0 , assim (x+2)(x-1) = 0+ .

Então:

a) f(x) = = = -.

b) f(x) = = = + .

c) f(x) = | | = +.então f(x) = .

Exemplo 3.37

Calcular o limite .

Solução

= = = -.

Exemplo 3.38

Determine o valor do seguinte limite: .

Solução

Calculemos os limites laterais:

= = (+ ) = +.

= = (- ) = -.

Portanto, = 

Exemplo 3.39

Determine o valor do seguinte limite: .

Solução

No cálculo de limites laterais tem-se:

= [x2-5x+4] = (-2).(- ) = -

= [x2-5x+4] = (-2).(- ) = não existe.

Portanto, não existe.

Exemplo 3.40

Calcular, onde P(x) e Q(x) são polinômios de grau n e m respectivamente.

Solução

= =

= = =

Exemplo 3.41

Calcular o limite .

Solução

= = = = + .

Portanto, = +.

Exemplo 3.42

Calcular o limite .

Solução

= = = = = -.

Portanto, = - .