C?LCULO DIFERENCIAL EM R

3.6 Limite de Funções Transcendentes.

3.6.1 Limites trigonométricos.

Verificam-se os seguintes limites:

1. sen x = 0 2. cos x = 1 3. = 1

4. = 1 5. = 0 6. =

Demonstração (1.)

A função seno verifica |sen x |  | x | para todo | x |  (0, ) .

Mostrarei que, para todo  >0 , existe  >0 tal que | sen x | <  sempre que 0 < | x | <  .

Para o cálculo de limites trigonométricos consideremos a seguinte propriedade básica para limites.

Propriedade 3.20

Seja  >0 qualquer e considere 1 =  e  = min. { 1 , } ; logo da desigualdade 0 < | x | <  verifica-se que | sen x | < | x | <    .

Isto é | sen x | <  . Portanto sen x = 0.

Demonstração (2.)

Figura 3.8:

Observe que, cos x = = =1.

Demonstração (3.)

Da Figura (3.8) tem-se as desigualdades:

 arco(AC)  .

Então sen x < x < tan x , sendo a função sen x positiva no intervalo (0, ) tem-se que

1 < <

logo, cos x < < 1 aplicando o limite, pela parte (2.) de esta propriedade e da propriedade do sanduíche segue-se que:

= 1 (3.6)

Seja x = -t , então quando x  0- tem-se que t  0+ , assim: = = , então

= = 1 (3.7)

De (3.6) e (3.7) segue-se que = 1.

Demonstração (4)

Tem-se que = . = = 1

Demonstração (5)

De identidades trigonométricas temos:

= . = =

= . = 1 . = 0.

Demonstração (6.)

= = =

= = 1 . = .