Considere os seguintes limites sem demonstração:
1) = 0 2) = 1
3) = e onde e 2,7182818284590 . . .
Exemplo 3.49
Calcular .
Solução
Quando x 0 , então n = , fazendo mudança de variável no limite original resulta: = = e . Portanto, = e .
Exemplo 3.50
Calcular .
Solução
Tem-se: = Ln = Ln ( ) = Ln e = 1.
Portanto, = 1 .
Exemplo 3.51
Calcular , sendo a 0 número real qualquer:
Solução
Se m , então n = am . Logo, = =
= = = ea . Portanto, = ea.
Exemplo 3.52
Mostre que, = Ln a .
Solução
Seja s = ah - 1 , então h.Ln(a) = Ln(s + 1) , quando h 0 tem-se que s 0 , no limite: = = = = [Ln(a)]. = Ln(a) ; isto pelo Exemplo (3.47). Portanto, = Lna
Exemplo 3.53
Calcular sendo f(x) um número finito.
Solução
Seja m = , pelo fato ser f(x) um número real finito, quando x , m 0 . Considere y = então Ln(y) = x .Ln(1 + m) = .Ln(1 + m) = f(x). . Então Ln(y) = Ln = f(x). =
f(x). = f(x). (1) = f(x).
Isto último pelo Exemplo (3.47), logo, Ln y = f(x) y = e^{ f(x)} .
Portanto, = e^{ f(x)} .
Exemplo 3.54
Calcular .
Solução
Seja m = (1 + )n - 1 , então Ln(m + 1) = n.Ln(1 + ) ; quando, 0, m 0 , logo no limite tem-se: = . = =
= = (n) =
(n) = n
Portanto, = n .
Observação 3.7
Para o cálculo do limites da forma [f(x)]g(x) considere o seguinte:
1o Caso : Se existem f(x)= A e g(x) = B e são finitos, então o limite [f(x)]g(x) = AB .
2o Caso : Se existem f(x)= A 1 e g(x) = B sendo B = , então o limite: [ f(x)]g(x) =
3o Caso : Se f(x)= 1 e g(x) = ; nesta caso 1 é uma forma indeterminada; logo temos que definir h(x) = f(x) - 1 de modo que h(x) = 0 ; logo [f(x)]g(x) = [1+h(x)]g(x)= =e^{ h(x).g(x)}.
Exemplo 3.55
Calcular:a) b)
Solução
a) Aplicando o primeiro caso da Observação (3.7), tem-se:
= 102 = 100
Portanto = 100 .
b) Aplicando o segundo caso da Observação (3.7), tem-se:
= 3 e (x+5) = +.
Portanto = +.
Exemplo 3.56
Calcular: a) b) c)
Solução
a) Pelo mostrado no Exemplo (3.52), observe que, =
= . nx = . nx . = (1).Ln = Ln .
Portanto, =Ln
b) Observe que, = =
= = . = . Portanto, = .
c) Tem-se que: = =
= = =
= = - =
Fazendo y= x - 1 então quando x 1 , y 0 ; logo
- == - =
= - [Ln (e) - Ln (a)]= [1 -Ln(a)]
Portanto, = [1 -Ln(a)] .
Exemplo 3.57
Calcular: a) b) .
Solução
a) Este limite é do 3o Caso , considere y = , observe que: x 0 , (sen3x) 0 e y . Logo :
= =
= = = = .
Outro modo de resolver é considerando f(x)= e g(x) = , então h(x) = f(x) - 1 = e g(x) = 0 . Do fato h(x)g(x) = = . Portanto, = .
b) Observe, = 1+ , então:
= [ 1+ ]
Sejam h(x) = e g(x) = x+1 como h(x)= 0 e g(x)= . Logo pelo 3o Caso segue que, = e3 .
Portanto, = e3 .
Exemplo 3.58
Calcular: a) b)} .
Solução
a) Tem-se: = Ln = Ln[ ] =
Por outro lado, seja h(x) = cos 8x -1 e g(x) =
Como h(x)g(x) = = - .
Portanto, =
b) Sejam h(x) = 3(1 - ) e g(x) = , então h(x).g(x) = e como h(x) = (4 - 3 ) - 1 sendo h(x)= 0 e g(x)= , tem-se:
= =
Portanto, = .
Exemplo 3.59
Determine o cálculo do limite: .
Solução
Para todo n N sabe-se que -1 sen n! 1 , como > 0, n N , então multiplicando a desigualdade do seno temos que - .
Calculando o limite:
- então 0 0
Portanto, = 0.
Exemplo 3.60
Calcular: .
Solução
Sabe-se que: sen3 x = sen (2x + x) = sen2x .cos x + cos 2x.se x = (2sen x.cosx).cosx + (cos2x - sen2x)senx = senx(2cos2x + cosx - sen2x)
No limite temos : = =
= =
Portanto, =
Exemplo 3.61
Calcular o limite : .
Solução
Considere a seguinte mudança de variável: y = x + 2 , então: tan x = tan(y - 2) = = tan y = .
No limite: = = . . Quando y 0 , tem-se que y 0 , logo: = . =
Portanto, = .
Exercícios 3-4
1. Verificar o cálculo dos seguintes limites:
1. = + 2. = +
3. = - 4. [ - ] =
5. = - 6. = -
7. = + 8. = +
9. = - 10. [ - ] = +
2. Calcular os seguintes limites:
1. [ - - ] 2.
3. 4. (x -x^2)
5. 4(x -x^2) 6.
7. 8.
3. Mostre que, f(x)= se e somente se f(1/x)= .
4. Determine constantes a e b tais que:
1. [ + -ax ]= 0 2. [ -ax-b ]= 0
3. [ -ax - b ]= 0
5. Quando x 0 tem-se y = . Que condições deve satisfazer x para que tenhamos a desigualdade | y | > 104 ?
6. Mostre que a função y = é infinitamente grande quando x 3 . Qual deve ser o valor de x para que a magnitude | y | seja maior que 1000 ?
7. Verificar que:
1. arcsen x = arctan 2. arctan x - arctan y = arctan .
8. Sejam f(x) = sen + cos(arctan x) e g(x) = sec(2-x) - tan(arcsec(-x)) . Calcular f(1) - g(2) .
9. No sentido da Definição (3.8):
1. Demonstrar que: = .
Figura 3.9:
2. Mostre que: se f(x) > > 0 para todo x , e g(x)= 0 , então = .
10. Um triângulo isósceles cuja base esta dividida em 2n partes (quadrados) tem inscrito uma figura escalonada segundo a Figura (3.9). Demonstre que a diferença entre a área do triângulo e a figura escalonada é infinitesimal quando n cresce infinitamente.
11. Para os seguintes exercícios esboçar o gráfico no intervalo [-2, 2]
1. f(x) = cos( ) 2. f(x) = 2cos( )
3. f(x) = sen(||x||) 4. f(x) = sen t( )
5. f(x) = | sen | x | | 6. f(x) = sen 2| x |
7. f(x) = sen( x - ) 8.f(x) = 2.tan( ) + sen x
12. Verificar o cálculo dos seguintes limites:
1. = 0.5 2. = a a 1
3. = 4. = b -1, a 0
5. = 6. =
7. = 8. = 1
9. = - 10. =
11. = 12. = -2
13. = 2 14. . 4x.cot 4x = 1
15. = 4 16. .tan =
17. = -1 18. =
19. = 2 20. = 5
13. Considere um triângulo eqüilátero de lado a . Suas três alturas servem para gerar um novo triângulo eqüilátero e assim sucessivamente n vezes. Determine o limite da soma das áreas de todos os triângulos quando n +.
14. Um círculo de raio r tem inscrito um quadrado; este tem inscrito um círculo o qual tem inscrito um quadrado, e assim sucessivamente n vezes. Determine o limite das soma das áreas de todos os quadrados quando n +. De modo análogo para a soma das áreas de todos os círculos.
15. Calcular os seguintes limites:
1. 2. x. tan t( ) 3.
4. 5. 6.
7. (sec x -tan x) 8. 9.
10. 11.
12. 13.
14. 15.
16. 17.
18. 19.
20. 21
16. Calcular os seguintes limites:
1. 2. 3.
4. 5. 6.
7. x2[1 - cos ( )] 8. 9.
10. a > 0 11. x( )
12. 13.
14. a > 0 15.
17. Considere a sucessão un+1 = un + sendo u1 = 1. Determine os primeiros términos u2, u3, u4 e calcule o limite de un quando n cresce indefinidamente.
18. Mostre que se f(x) = , então existe uma seqüência { xn }n N de números reais tais que f(xn) > n .
Miscelânea 3-1
1. Suponha-se que as funções f(x) e g(x) tem a seguinte propriedade:
Para cada > 0 e todo x R ; se 0 < | x - 2 | < sen2({2}/9) + , então | f(x) - 2 | < e se 0 < | x - 2 | < 2 , então | g(x) - 4 | < ."
Para cada > 0 achar um > 0 de modo que, para todo x R :
1. Se 0 < | x - 2 | < , então | f(x) + g(x) - 6 | < .
2. Se 0 < | x - 2 | < , então | f(x).g(x) - 8 | < .
3. Se 0 < | x - 2 | < , então | - | < .
4. Se 0 < | x - 2 | < , então | - | < .
2. Mostre que, se f(x)= 0 , então = 0 .
3. Mostre que:
1. f(x) = f(-x) 2. f(| x| ) = f(x)
3. f(x2) = f(x) 4. f( ) = f(x)
4. Seja f(x) =
Mostre que não existe o limite f(x) , qualquer que seja a R .
5. Seja f(x) =
Mostre que não existe o limite, para qualquer a 0 .
6. Mostre que se = L e a 0 , então = aL
7. Calcular . Considere separadamente os casos em que n seja: a) um inteiro positivo; b) um inteiro negativo; c) zero.
8. Calcular os seguintes limites:
1. 2. 3.
4. 5. 6. > 0, N
7. n N 8. 9. > 0, \ N .
9. Mostre através de um exemplo que se existe uma seqüência { xn }n N^+ de números reais tais que f(xn) > n , então não necessariamente existe o limite de f(xn) quando n .
10. Sejam f:[a, b] R e g:[a, b] R funções tais que:
= 1 f(x) = g(x)
para c (a, b) .