C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.7.4 Funções trigonométricas inversas

Destacamos que as funções trigonométricas são periódicas, portanto não são biunívocas; não obstante restringindo convenientemente o domínio de cada uma de elas, podemos obter que sejam biunívocas nessa restrição a função trigonométrica admite função inversa. Estas restrições são chamadas de `` restrição principal}''.

2.7.4.1 Função Arcsen.

Considerando a restrição da função seno ao intervalo [- /2,  /2] teríamos que ela é bijetiva, entretanto, em geral ela não o é em todo seu domínio. Assim,

sen : [- /2,  /2]  [-1, 1]

é bijetiva. Portanto, admite função inversa ( Figura 2.49) que é a função :

arcsen : [-1, 1]  [- /2, /2]

de modo que: x = arcsen y  y = sen x

Figura 2.49: Arco seno Figura 2.50: Arco coseno

2.7.4.2 Função Arccos.

Em geral a função coseno não é bijetiva em todo seu domínio.

Se consideramos a restrição da função coseno ao intervalo [0, ] ; então teríamos que ela é bijetiva.

Assim, cos : [0, ]  [-1, 1] é função bijetiva.

Portanto, admite função inversa ( Figura 2.50) que é a função :

arccos :[-1, 1]  [0, ]

de modo que:

x = arccos y  y = cos x

2.7.4.3 Função Arctan.

Chama-se restrição principal da tangente à função;

tan : [-/2, /2]  R

que é bijetiva; logo ela admite função inversa ( Figura 2.51) que é a função:

arctan : R  [-/2 , /2]

de modo que x = arctan y  y = tan x .

Figura 2.51: Arco tangentge Figura 2.52: Arco cotangente

2.7.4.4 Função Arcctg.

Chama-se restrição principal da cotangente à função;

cot : [0, ]  R .

ela é bijetiva; logo ela admite como função inversa ( Figura 2.52) a função:

arccot : R  [0, ]

de modo que x = arccot y  y = cot x .

2.7.4.5 Função Arcsec.

Chama-se restrição principal da secante à função:

sec : [0, /2)  (/2 , ]  (-, -1]  [1, + )

esta função é bijetiva; logo ela admite função inversa. Sua função inversa é:

Figura 2.53: Arco secante Figura 2.54: Arco cosecante

arcsec : (-, -1]  [1, + )  [0,  /2 )  (/2, ]

de modo que x = arcsec y  y = sec x ( Figura 2.53)

2.7.4.6 Função Arccsc.

Chama-se restrição principal da cosecante à função;

csc : [- /2, 0)  (0,  /2} ]  (-, -1]  [1, +)

ela é bijetiva; e admite função inversa ( Figura 2.54) que é a função:

arccsc : (-, -1]  [1, +)  [-/2, 0)  (0, /2]

de modo que: x = arccsc y  y = csc x .

Exemplo 2.85

Mostre que: cos(arcsen x) =  .

Solução

Sabemos que a função sen x e arcsen x uma é função inversa da outra; logo sen(arcsen x) = x .

Por outro lado, da identidade trigonométrica sen2x + cos2x = 1 segue por questão de notação que [sen x]2 + [cos x]2 = 1 , logo sendo o domínio da função seno e coseno quaisquer número real vem, que [sen(arcsen x)]2 + [cos.(arcsen x)]2 = 1 isto é x2 + [cos(arcsen x)]2 = 1 então cos(arcsen x) =  .