Destacamos que as funções trigonométricas são periódicas, portanto não são biunívocas; não obstante restringindo convenientemente o domínio de cada uma de elas, podemos obter que sejam biunívocas nessa restrição a função trigonométrica admite função inversa. Estas restrições são chamadas de `` restrição principal}''.
2.7.4.1 Função Arcsen.
Considerando a restrição da função seno ao intervalo [- /2, /2] teríamos que ela é bijetiva, entretanto, em geral ela não o é em todo seu domínio. Assim,
sen : [- /2, /2] [-1, 1]
é bijetiva. Portanto, admite função inversa ( Figura 2.49) que é a função :
arcsen : [-1, 1] [- /2, /2]
de modo que: x = arcsen y y = sen x
Figura 2.49: Arco seno Figura 2.50: Arco coseno
2.7.4.2 Função Arccos.
Em geral a função coseno não é bijetiva em todo seu domínio.
Se consideramos a restrição da função coseno ao intervalo [0, ] ; então teríamos que ela é bijetiva.
Assim, cos : [0, ] [-1, 1] é função bijetiva.
Portanto, admite função inversa ( Figura 2.50) que é a função :
arccos :[-1, 1] [0, ]
de modo que:
x = arccos y y = cos x
2.7.4.3 Função Arctan.
Chama-se restrição principal da tangente à função;
tan : [-/2, /2] R
que é bijetiva; logo ela admite função inversa ( Figura 2.51) que é a função:
arctan : R [-/2 , /2]
de modo que x = arctan y y = tan x .
Figura 2.51: Arco tangentge Figura 2.52: Arco cotangente
2.7.4.4 Função Arcctg.
Chama-se restrição principal da cotangente à função;
cot : [0, ] R .
ela é bijetiva; logo ela admite como função inversa ( Figura 2.52) a função:
arccot : R [0, ]
de modo que x = arccot y y = cot x .
2.7.4.5 Função Arcsec.
Chama-se restrição principal da secante à função:
sec : [0, /2) (/2 , ] (-, -1] [1, + )
esta função é bijetiva; logo ela admite função inversa. Sua função inversa é:
Figura 2.53: Arco secante Figura 2.54: Arco cosecante
arcsec : (-, -1] [1, + ) [0, /2 ) (/2, ]
de modo que x = arcsec y y = sec x ( Figura 2.53)
2.7.4.6 Função Arccsc.
Chama-se restrição principal da cosecante à função;
csc : [- /2, 0) (0, /2} ] (-, -1] [1, +)
ela é bijetiva; e admite função inversa ( Figura 2.54) que é a função:
arccsc : (-, -1] [1, +) [-/2, 0) (0, /2]
de modo que: x = arccsc y y = csc x .
Exemplo 2.85
Mostre que: cos(arcsen x) = .
Solução
Sabemos que a função sen x e arcsen x uma é função inversa da outra; logo sen(arcsen x) = x .
Por outro lado, da identidade trigonométrica sen2x + cos2x = 1 segue por questão de notação que [sen x]2 + [cos x]2 = 1 , logo sendo o domínio da função seno e coseno quaisquer número real vem, que [sen(arcsen x)]2 + [cos.(arcsen x)]2 = 1 isto é x2 + [cos(arcsen x)]2 = 1 então cos(arcsen x) = .