C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.7.3 Funções Trigonométricas.

No plano x0y ( Figura 2.40) consideremos a circunferência unitária de centro a origem de coordenadas; ela tem por equação x^2 + y^2 = 1 .

Figura 2.40:

Seja A(1, 0) o ponto da circunferência que será fixado na origem dos arcos orientados AT sobre a circunferência. Esta orientação é a usual no sentido anti-horário é positiva e no sentido horário é negativa.

Estabelecemos uma correspondência entre os números reais e os pontos da circunferência do modo seguinte:

Ao número real t corresponde o ponto T da circunferência de modo que o arco orientado \widehat{AT} mede | t | radianos. O arco têm orientação positiva se t é positivo; e orientação negativa se t é negativo.

Se T(x, y) é o ponto que corresponde a seu número real t , a abscissa x chama-se de: coseno de t } ( cos t ) e a ordenada y denomina-se: seno de t } ( sen t ) e escreve-se x = cos t, y = sen t ou T(cos x, sen t) .

Por exemplo, considerando que o comprimento da circunferência (de raio 1 ) é 2 , ao número corresponde o ponto B(0, 1) ; logo cos = 0 e sen = 1 . De modo análogo, aos números  e 3 correspondem o ponto A'(-1, 0) , então cos  = cos 3 = -1 e sen  = sen 3 = 0 .

Desta correspondência podemos deduzir as seguintes propriedades tais como:

Propriedade 2.5

1. Como T(cos t, sen t) é um ponto da circunferência, e temos a relação fundamental: cos^2t + sen^2t = 1

2. Considerando que T varia sobre a circunferência, sua abscissa e sua ordenada varia entre -1 e 1 isto é -1  cos t  1 e -1  sen t  1 .

3. Periodicidade do seno e coseno}: Se ao número real t corresponde o ponto T da circunferência e considerando que 2k  para k  Z , representa o número de k voltas ao redor da circunferência, ao número real t + 2k  corresponde o mesmo ponto T , logo sen t = sen (t + 2k ) e cos t = cos(t + 2k ) .

O menor número real p > 0 para o qual sen t = sen(t +  ) e cos t = cos(t +  ) é 2 , que denominamos período do seno e coseno.

4. Aos números reais t e -t corresponde os pontos T e T' respectivamente, que são simétricos respeito do eixo x e estes pontos tem a mesma abscissa porém suas ordenadas só diferem no sinal; isto é cos (-t) = cos t e sen(-t) = - sen t .

5. As propriedades ( identidades}) que estamos deduzindo apresentaremos ao leitor por sua utilidade.

1. sen.a - sen.b = 2cos [ ] sen [ ]

2. sen(a  b) = sen a cos b  sen b cos a

3. cos a + cos b = 2cos [ ] cos [ ]

4. cos (a  b) = cos a cos b sen b cos a

5. cos a - cos b = 2sen [ ] sen [ ]

6. sen a + sen b = 2sen[ ] cos [ ]

7. sen a . cos b = [sen(a+b)+ sen(a-b)]

8. sen^2a =

9. sen a . sen b = [cos(a-b) -cos(a+b)]

10. cos^2a =

11 cos a .cos b = [cos(a+b) + cos(a-b)]

Do fato que, a cada número real x , podemos relacionar com o seno e coseno, isto é existem sen x e cos x para x  R define-se:

• tan x = se, cos x  0 isto é x  (2k+1) k  Z.

• cot x = se, sen x  0 isto é x  k k  Z.

• sec x = se, cos x  0 isto é x  (2k+1) k  Z

• csc x = se, sen x  0 isto é x  k k  Z

Para os valores de x , para os quais existam tan x, cot x , sec x e csc x verificam-se as seguintes propriedades:

1. sec^2x - tan ^2x = 1 2. csc^2x - cot^2x = 1

3. | sec x |  1 4. | csc x |  1

2.7.3.1 Função seno.

A função seno f : R  R é definida por: f(x) = sen x

Algumas características da função seno:

a} D(f) = R} Im(f) = [-1, 1]

b) A função seno é periódica, seu período é 2 .

c) sen(-x) = - sen x . isto é, a função seno é ímpar e seu gráfico é simétrico respeito da origem e mostra-se na Figura 2.41.

Figura 2.41: Seno Figura 2.42: Coseno

2.7.3.2 Função coseno.

A função coseno f : R  R é definida por: f(x) = cos x

Algumas características da função coseno:

a} D(f) = R Im(f) =[-1, 1]

b} cos (-x) = cos x , isto é, a função coseno é par e seu gráfico é simétrico respeito ao eixo y e mostra-se na Figura 2.42.

c} A função coseno é periódica, seu período é 2 .

Algumas características da função seno e coseno:

Desde que sen( + x) = cos x , o gráfico de y = sen x transforma-se no gráfico de y = cos x se a origem se desloca ao ponto ( , 0) .

Função Valor 0 (zero) em: Valor 1 (um) em: Valor -1 em:

sen x  + 2k

+ 2k

cos x + 2k

2 (2k+1) 

2.7.3.3 Função tangente.

A função real f : R  R chamada "função tangente" é definida por:

f(x) = tan x =

As características importantes da função tangente são as seguintes:

Figura 2.43: Tangente

a) D(f) = R - { +k , k  Z}, Im(f) = R

b) A função tangente é periódica, seu período é .

c) tan (-x) = - tan x isto é, a função tangente é ímpar e seu gráfico é simétrico respeito da origem como se mostra na Figura 2.43.

Exemplo 2.80

Dadas as funções f(x) = sen x e g(x) = , determine fog e gof e seus respectivos domínios de definição.}

Solução

1o Temos que (fog)(x) = f(g(x)) = sen g(x) = sen . Do fato ser todo o conjunto de números reais o domínio da função seno, temos que D(fog) = { x  R /. 1 - 9x^2  0 } ; isto é D(fog) = { x  R /. -  x  } e (fog)(x) = sen .

2o Temos que (gof)(x) = g(f(x)) = = , logo tem-se 1 - 9x2 0  -  sen x  assim temos que D(gof) = { x  R /. -  sen x  } e (gof)(x) = .

Exemplo 2.81

Dadas as funções f(x) = tan x e g(x) = determine fog e gof e seus respectivos domínios de definição.

Solução

Sabemos que o domínio D(f) = R - { +k , k  Z } e D(g) = [-1, 1]

1^o Temos que (fog)(x) = f(g(x)) = tan g(x) = tan . Logo (fog)(x) = tan ; para o cálculo do domínio:

D(fog) = {x  D(g) /.  +k, k  Z } ; isto é D(fog) = [-1, 1] .

2^o Temos que (gof)(x) = g(f(x)) = = , então (gof)(x) = ; logo 1-x^2  0  -1  tan x  1 .

Assim temos que: D(gof) = { x  D(g) /. -1  tan x  1 } = .

2.7.3.4 Função cotangente.

Figura 2.44: Cotangente

A ``função cotangente'' é definida por: f : R  R tal que f(x) = cot x =

Algumas características da função cotangente:

a) D(f) = R - { k , k  Z }; Im(f) = }

b) cot (-x) = - cot x , isto é, a função cotangente é ímpar e seu gráfico é simétrico respeito da origem como se mostra na Figura 2.44.

c) A cotangente é função periódica, seu período é .

2.7.3.5 Função secante.

É a função f : R  R definida por: f(x) = sec x = 1/csc x

Algumas características da função secante:

Figura 2.45: Secante Figura 2.46: Cosecante

a) D(f) = R - { + k, k  Z }; Im(f) = (-, -1]  [1, + ) .

b) A função secante é periódica, seu período é 2 .

c) sec (-x) = sec x isto é, a função secante é par e seu gráfico é simétrico respeito ao eixo y como se mostra na Figura 2.45.

2.7.3.6 Função cosecante.

É a função f : R  R definida por: f(x) = csc x = 1/sec x .

Algumas características da função cosecante:

a) D(f) = R - {  + k, k  Z }; Im(f) = (-, -1]  [1, + ) .b) A função cosecante é periódica, seu período é 2 .

c) csc (-x) = - csc x . isto é, a função cosecante é ímpar e seu gráfico é simétrico respeito ao eixo y como se mostra na Figura 2.47.

Exemplo 2.82

Determine a área do paralelogramo da base a , lado b , altura h e ângulo da base a .

Solução

Considere o paralelogramo da Figura 2.47.

Da definição da função seno temos que sen a = {h/b} , onde h é a altura do paralelogramo; logo, como a área é: A = (base)(altura) .

Logo, A = (a)(h)  A = (a)(b .sen ) .

Portanto a área do trapézio é A = ab.sen  .

Figura 2.47: Figura 2.48:

Exemplo 2.83

Uma escada está encostada em uma parede formando um \^angulo de 60^o com o chão. Se a escada tem 20 metros de comprimento, que altura da parede ela atinge?

Solução

A partir do desenho da Figura 2.48, temos que sen 60^o = x/20; assim, como o sen 60o é conhecido temos: /2 = x/20  2x = 20  x = 10  x = 17,32m .

Portanto, a escada atinge 17,32m de altura da parede.

Exemplo 2.84

Determine duas funções f e g tais que h(x) = sen44x + 5sen24x + 2 onde h = gof .

Solução

h(x) = sen44x + 5sen24x + 2 = [sen4x]^4 + 5[sen4x]^2 + 2 .

Considere f(x) = sen4x e g(x) = x^4 + 5x^2 + 2 .