No plano x0y ( Figura 2.40) consideremos a circunferência unitária de centro a origem de coordenadas; ela tem por equação x^2 + y^2 = 1 .
Figura 2.40:
Seja A(1, 0) o ponto da circunferência que será fixado na origem dos arcos orientados AT sobre a circunferência. Esta orientação é a usual no sentido anti-horário é positiva e no sentido horário é negativa.
Estabelecemos uma correspondência entre os números reais e os pontos da circunferência do modo seguinte:
Ao número real t corresponde o ponto T da circunferência de modo que o arco orientado \widehat{AT} mede | t | radianos. O arco têm orientação positiva se t é positivo; e orientação negativa se t é negativo.
Se T(x, y) é o ponto que corresponde a seu número real t , a abscissa x chama-se de: coseno de t } ( cos t ) e a ordenada y denomina-se: seno de t } ( sen t ) e escreve-se x = cos t, y = sen t ou T(cos x, sen t) .
Por exemplo, considerando que o comprimento da circunferência (de raio 1 ) é 2 , ao número corresponde o ponto B(0, 1) ; logo cos = 0 e sen = 1 . De modo análogo, aos números e 3 correspondem o ponto A'(-1, 0) , então cos = cos 3 = -1 e sen = sen 3 = 0 .
Desta correspondência podemos deduzir as seguintes propriedades tais como:
Propriedade 2.5
1. Como T(cos t, sen t) é um ponto da circunferência, e temos a relação fundamental: cos^2t + sen^2t = 1
2. Considerando que T varia sobre a circunferência, sua abscissa e sua ordenada varia entre -1 e 1 isto é -1 cos t 1 e -1 sen t 1 .
3. Periodicidade do seno e coseno}: Se ao número real t corresponde o ponto T da circunferência e considerando que 2k para k Z , representa o número de k voltas ao redor da circunferência, ao número real t + 2k corresponde o mesmo ponto T , logo sen t = sen (t + 2k ) e cos t = cos(t + 2k ) .
O menor número real p > 0 para o qual sen t = sen(t + ) e cos t = cos(t + ) é 2 , que denominamos período do seno e coseno.
4. Aos números reais t e -t corresponde os pontos T e T' respectivamente, que são simétricos respeito do eixo x e estes pontos tem a mesma abscissa porém suas ordenadas só diferem no sinal; isto é cos (-t) = cos t e sen(-t) = - sen t .
5. As propriedades ( identidades}) que estamos deduzindo apresentaremos ao leitor por sua utilidade.
1. sen.a - sen.b = 2cos [ ] sen [ ]
2. sen(a b) = sen a cos b sen b cos a
3. cos a + cos b = 2cos [ ] cos [ ]
4. cos (a b) = cos a cos b sen b cos a
5. cos a - cos b = 2sen [ ] sen [ ]
6. sen a + sen b = 2sen[ ] cos [ ]
7. sen a . cos b = [sen(a+b)+ sen(a-b)]
8. sen^2a =
9. sen a . sen b = [cos(a-b) -cos(a+b)]
10. cos^2a =
11 cos a .cos b = [cos(a+b) + cos(a-b)]
Do fato que, a cada número real x , podemos relacionar com o seno e coseno, isto é existem sen x e cos x para x R define-se:
• tan x = se, cos x 0 isto é x (2k+1) k Z.
• cot x = se, sen x 0 isto é x k k Z.
• sec x = se, cos x 0 isto é x (2k+1) k Z
• csc x = se, sen x 0 isto é x k k Z
Para os valores de x , para os quais existam tan x, cot x , sec x e csc x verificam-se as seguintes propriedades:
1. sec^2x - tan ^2x = 1 2. csc^2x - cot^2x = 1
3. | sec x | 1 4. | csc x | 1
2.7.3.1 Função seno.
A função seno f : R R é definida por: f(x) = sen x
Algumas características da função seno:
a} D(f) = R} Im(f) = [-1, 1]
b) A função seno é periódica, seu período é 2 .
c) sen(-x) = - sen x . isto é, a função seno é ímpar e seu gráfico é simétrico respeito da origem e mostra-se na Figura 2.41.
Figura 2.41: Seno Figura 2.42: Coseno
2.7.3.2 Função coseno.
A função coseno f : R R é definida por: f(x) = cos x
Algumas características da função coseno:
a} D(f) = R Im(f) =[-1, 1]
b} cos (-x) = cos x , isto é, a função coseno é par e seu gráfico é simétrico respeito ao eixo y e mostra-se na Figura 2.42.
c} A função coseno é periódica, seu período é 2 .
Algumas características da função seno e coseno:
Desde que sen( + x) = cos x , o gráfico de y = sen x transforma-se no gráfico de y = cos x se a origem se desloca ao ponto ( , 0) .
Função Valor 0 (zero) em: Valor 1 (um) em: Valor -1 em:
sen x + 2k
+ 2k
cos x + 2k
2 (2k+1)
2.7.3.3 Função tangente.
A função real f : R R chamada "função tangente" é definida por:
f(x) = tan x =
As características importantes da função tangente são as seguintes:
Figura 2.43: Tangente
a) D(f) = R - { +k , k Z}, Im(f) = R
b) A função tangente é periódica, seu período é .
c) tan (-x) = - tan x isto é, a função tangente é ímpar e seu gráfico é simétrico respeito da origem como se mostra na Figura 2.43.
Exemplo 2.80
Dadas as funções f(x) = sen x e g(x) = , determine fog e gof e seus respectivos domínios de definição.}
Solução
1o Temos que (fog)(x) = f(g(x)) = sen g(x) = sen . Do fato ser todo o conjunto de números reais o domínio da função seno, temos que D(fog) = { x R /. 1 - 9x^2 0 } ; isto é D(fog) = { x R /. - x } e (fog)(x) = sen .
2o Temos que (gof)(x) = g(f(x)) = = , logo tem-se 1 - 9x2 0 - sen x assim temos que D(gof) = { x R /. - sen x } e (gof)(x) = .
Exemplo 2.81
Dadas as funções f(x) = tan x e g(x) = determine fog e gof e seus respectivos domínios de definição.
Solução
Sabemos que o domínio D(f) = R - { +k , k Z } e D(g) = [-1, 1]
1^o Temos que (fog)(x) = f(g(x)) = tan g(x) = tan . Logo (fog)(x) = tan ; para o cálculo do domínio:
D(fog) = {x D(g) /. +k, k Z } ; isto é D(fog) = [-1, 1] .
2^o Temos que (gof)(x) = g(f(x)) = = , então (gof)(x) = ; logo 1-x^2 0 -1 tan x 1 .
Assim temos que: D(gof) = { x D(g) /. -1 tan x 1 } = .
2.7.3.4 Função cotangente.
Figura 2.44: Cotangente
A ``função cotangente'' é definida por: f : R R tal que f(x) = cot x =
Algumas características da função cotangente:
a) D(f) = R - { k , k Z }; Im(f) = }
b) cot (-x) = - cot x , isto é, a função cotangente é ímpar e seu gráfico é simétrico respeito da origem como se mostra na Figura 2.44.
c) A cotangente é função periódica, seu período é .
2.7.3.5 Função secante.
É a função f : R R definida por: f(x) = sec x = 1/csc x
Algumas características da função secante:
Figura 2.45: Secante Figura 2.46: Cosecante
a) D(f) = R - { + k, k Z }; Im(f) = (-, -1] [1, + ) .
b) A função secante é periódica, seu período é 2 .
c) sec (-x) = sec x isto é, a função secante é par e seu gráfico é simétrico respeito ao eixo y como se mostra na Figura 2.45.
2.7.3.6 Função cosecante.
É a função f : R R definida por: f(x) = csc x = 1/sec x .
Algumas características da função cosecante:
a) D(f) = R - { + k, k Z }; Im(f) = (-, -1] [1, + ) .b) A função cosecante é periódica, seu período é 2 .
c) csc (-x) = - csc x . isto é, a função cosecante é ímpar e seu gráfico é simétrico respeito ao eixo y como se mostra na Figura 2.47.
Exemplo 2.82
Determine a área do paralelogramo da base a , lado b , altura h e ângulo da base a .
Solução
Considere o paralelogramo da Figura 2.47.
Da definição da função seno temos que sen a = {h/b} , onde h é a altura do paralelogramo; logo, como a área é: A = (base)(altura) .
Logo, A = (a)(h) A = (a)(b .sen ) .
Portanto a área do trapézio é A = ab.sen .
Figura 2.47: Figura 2.48:
Exemplo 2.83
Uma escada está encostada em uma parede formando um \^angulo de 60^o com o chão. Se a escada tem 20 metros de comprimento, que altura da parede ela atinge?
Solução
A partir do desenho da Figura 2.48, temos que sen 60^o = x/20; assim, como o sen 60o é conhecido temos: /2 = x/20 2x = 20 x = 10 x = 17,32m .
Portanto, a escada atinge 17,32m de altura da parede.
Exemplo 2.84
Determine duas funções f e g tais que h(x) = sen44x + 5sen24x + 2 onde h = gof .
Solução
h(x) = sen44x + 5sen24x + 2 = [sen4x]^4 + 5[sen4x]^2 + 2 .
Considere f(x) = sen4x e g(x) = x^4 + 5x^2 + 2 .