C?LCULO DIFERENCIAL EM R

2.7.5 Funções Hiperbólicas.

Considerando diferentes triângulos retângulos como na Figura 2.55 e calculamos a relação entre seus lados obteremos que estas relações são independentes do comprimento de seus lados, assim sabemos que:

sen  = / , cos  = / , tan  = /

E, suas correspondentes relações inversas são:

csc  = / , sec  = / cot  = /

respectivamente.

A área do círculo de centro O e raio = R é igual a 2 R^2 , logo a área de um setor circular de ângulo 2 é  R^2 . Considerando R= 1 , a área do setor circular de ângulo 2 é  .

Figura 2.55 Figura 2.56

Chamamos x a área do setor circular de ângulo 2  , então sen x = , cos x = e tan x = / ; resulta que a equação da circunferência de raio um e centro a origem de coordenadas é x^2 + y^2 = 1 , e a equação de uma hipérbole eqüilátera de raio um e centro a origem de coordenadas é x^2-y^2=1 .

Podemos definir na Figura 2.56, as seguintes relações:

• Seno hiperbólico: senh  = /

• Coseno hiperbólico: cosh  = /

• Tangente hiperbólico: tanh  = /

• Cotangente hiperbólico: coth  = /

• Secante hiperbólico: sech  = /

• Cosecante hiperbólico: csch  = /

Observe que as relações coth , sech  e csch  são inversas das relações tan h , cosh  e senh  respectivamente.

Do mesmo modo para o caso das funções trigonométricas habituais, a área sombreada da hipérbole que corresponde a um ângulo 2  considerando = 1 é  .

Seja x a área do setor circular de ângulo 2  , então: senh x = , cosh x = e tan h x =

Em algumas ocasiones as combinações de e^x e e^{-x} aparecem com freqüência; em tais ocasiones acostuma-se a escrever o modelo matemático que corresponde utilizando as funções f : R  R chamadas hiperbólicas, e definidas a seguir:

• Seno hiperbólico: f(x) = senh x =  x  R

• Coseno hiperbólico: f(x) = cosh x =  x  R

• Tangente hiperbólico: f(x) = tanh x = =  x  R .

• Cotangente hiperbólico: f(x) = coth x = =  x  R x  0 .

• Secante hiperbólico: f(x) = sech x =  x  R

• Cosecante hiperbólico: f(x) = csch x =  x  R x  0

Exercícios 2-7

1. Verifique se a função a seguir é par o ímpar justificando sua resposta.

1. f(x) = -x^3+x 2. f(x) = x sen x 3. f(x) = sen 3x cos x

4. f(x) = 5x - sen x^2 5. h(x) = x/|x | 6. f(x) = x e^{t^2}

7. f(x) = (e^x+e^{-x})/2 8. g(x) = 5 9. f(x) = x^4 + cos^3x

2. Determine duas funções f e g tais que h = gof nos seguintes casos:

1. h(x) = (x^2+3)^6 2. h(x) =3(x+ | x | ) 3. h(x) =2^{sen2x}

4. h(x) = 5. h(x) = cos25x + 7cos65x 6. h(x) = (x^2-8)^4

7. h(x) = 8. h(x) = (cos4x)^2-4(cos 4x) 9. h(x)=2^{tan 2x}

3. Se f: A  Im(f) é monotônica estrita, então f^{-1}: Im f  A é monotônica estrita do mesmo tipo?

4. Prove que tan x é estritamente crescente em [- { /2}, { /2}] .

Figura 2.65:

5. Dado o gráfico da função f(x) (Figura 2.65) e os valores a e b da variável independente x . Determine f(a) e f (b) no desenho. Qual é a interpretação geométrica da relação:

6. Prove que a função sen : [- {/2}, {/2} ]  R é estritamente crescente.

7. Seja f(x) = 2x^2 + {2/x^2} +{5/x} + 5x . Mostre que f(x) = f(1/x) .

8. Determine o domínio de definição das funções que se indicam:

1. y = 1 - Ln x 2. y = Ln(sen (2x-1)) 3. y = arccos [(1-2x)/4]

4. y = Ln 5. y = arcsen (x-2) 6. y = Ln (Ln (x-1))

9. A função g(x) é definida por: g(x) = {x/2} - {1/2} quando -  < x  11/3 e g(x) = 1 + x quando {11/3}  x < +  . Analítica e gráficamente achar todas as raízes reais da equação [g(x)]^2 = 7x + 25 .

10. Achar o maior valor possível para n para o qual 2^x > x^n para todas as x  100,  n  Z.

11. Determine se as seguintes desigualdades são verdadeiras:

1. cosh^2x + senh^2x = cosh^2x 2. cosh^2x - senh^2x = 1

3. cosh(x+y) = cosh x.cosh y + senh y.senh x 4. 1 - coth^2x = csch^2x

5. senh (x+y) = senh x. cosh y + senh y.cosh x 6. 1 - tan ^2x = sech^2x

7. 2senh x. cosh x = senh^2x

12. Seja f(x) = sen x - cos x . Mostre que f(1) > 0 .

13. Determine o período das seguintes funções:

1. y = 2 sen (3x+5) 2. y = 5 cos 2x

3. y = -cos [ {x-1}/2] 4. y = sen [{2t + 3}/{6 }]

14. Mostre que y = senh x e y = tanh x são funções ímpares, e y = cosh x é função par.

15. Resolver gráficamente a equação:

1. x = 2.sen x 2. x = tan x 3. 4sen x = 4 - x

16. Um navio navegando em linha reta, passa sucessivamente pelos pontos A, B e C . Quando o navio está em A , o comandante observa o farol em L , e calcula o ângulo LAC = 30o . Após navegar 4 milhas até B , verifica-se o ângulo LBC = 75o . Quantas milhas separa o farol do ponto B ?

Figura 2.33:

17. Uma torre tem 20 metros de altura. Se puxarmos um cabo do topo ao chão (como mostra a Figura 2.66), qual será o comprimento aproximado ( x ) do cabo?

18. Pedro e Marcos que estão distantes 2,7 km um do outro, observam um helicóptero parado no ar, Pedro vê o helicóptero segundo um ângulo de 45o e Marcos, ao mesmo tempo, vê o helicóptero segundo um ângulo de 60o . A que altura, mais ou menos estava o helicóptero.

19. Um avião levanta vôo e sobe fazendo um ângulo de 15o com a horizontal. A que altura estava e qual é a distância percorrida quando passa pela vertical por uma igreja situada a 2 km do ponto de partida? São dados sen 15^o = 0,26 e tan 15o = 0,27 .

20. Uma árvore partida pelo vento, mantém seu tronco perpendicular ao solo formando com ele um triângulo retângulo. Se a parte quebrada faz um ângulo de 60^o com o solo e se o topo da árvore está agora distanciado 10 m de sua base, qual era aproximadamente a altura original da árvore?.

21. Num triângulo ABC onde = 10 cm, = 12 cm e o ângulo A é 30o , determine a área desse triângulo.

22. Associando V para as sentenças verdadeiras e F para as falsas, assinale a alternativa que contém a seqüência correta.

i) A função y = csc x . sec x é negativa no 2o e no 4o quadrante.

ii) Se sen x = - 5/13 , quando {3/2} < x < 2 , então cos x = 10/13.

iii) O domínio da função y = cot x é { x  R / x  k } .

iv) A função y = tan x é periódica, com período P =  rad .

23. Achar o intervalo de variação de x para que seja válida a identidade:

1. arcsen x + arccos x =  /2

2. arccos = arcsen x

3. arcsen + arccos =

4. arccos = - arcsen x

5. arccost[{1-x^2}/{1+x^2}] = 2 arccot x

6. arccos [{1-x^2}/{1+x^2}] = -2 arctan x

7. arctan x + arctan 1 = arctan [{1+x}/{1-x}]

8. arctan x = arccot - 

9. arctan x + arctan 1 = arctan [{1+x}/{1-x}] + 

10. arctan x = arccot

24. Mostre que as seguintes fórmulas são verdadeiras:

1. cos x + cos 2x + cos 3x = {cos 2x sen(3x/2)}/{sen( )}

2. cos x . cos( +x) + cos( +x). cos( -x) + cos( -x) cos x = -

3. sen x + sen 2x + sen 7x + sen 8x = 4 sen(9x/2) . cos 3x cos (x/2)

4. =

25. Determine todas as funções f tais que f(x^2) - f(y^2) + 2x + 1 = f(x+y) . f(x-y) quaisquer que sejam os números reais x, y .

26. Dada a relação: R(x) = 2x^3- 5 x^2 - 23x , determine todas as raízes da igualdade R(x) = R(-2) .

27. Determine todas as raízes da equação f(x) = f(5) sabendo que a relação f(x) = x^2 - 12x + 3 é definida no intervalo [-5, 5] .

28. Seja f(n) a soma dos n primeiros elementos de uma progressão aritmética. Mostre que; f(n+3) - 3f(n+2) + 3f(n+1) - f(n) = 0

29. Num cone circular reto com raio na base R e altura H encontra-se inscrito um cilindro modo que os planos e os centros das bases circulares do cone e cilindro coincidem. Determine o raio do cilindro para que sua superfície total seja máxima; sabe-se que H > 2R .

30. Apresentar o número x como soma de dois números tais que a soma de seus quadrados seja a maior possível.

31. Um arame de comprimento x deve-se dividir em duas partes. Uma de elas estará destinada para construir um quadrado, e a outra para um triângulo equilátero. Qual é o comprimento de cada parte para que a soma das áreas das figuras obtidas seja a menor possível.

32. Um projeto de Lei para cobrança de impostos, sobre carros prevê que o proprietário de um carro pagará R$ 100,00 mais 7% do valor estimado do carro. Outro projeto propõe que o proprietário pague R$ 400,00 mais 2% do valor estimado do carro. Considere apenas os aspectos financeiros; que tipo do cobrança será mais favorável ao proprietário?

33. A demanda de um certo produto é dado pela equação: D(p) = 200p + 12000 unidades ao mês quando o preço de mercado é de p dólares por unidade. a) Expressar o gasto total mensal do consumidor em função de p ( o gasto total mensal é a quantidade total gastado pelo consumidor, em cada mês com o produto). b) Construir o gráfico dessa função de demanda. c) Discuta o significado econômico das p interseções da função gasto. d) Construir o gráfico da função de gasto total mensal.

Miscelânea 2-1

1. Dada a função f(x) = para x  0, x  2 :

1. Mostre que f é injetora 2. Determine f^{-1}

3. Determine D(f^{-1}) 4. Determine Im(f^{-1})

2. Resolver graficamente a equação: 2^x - 2x = 0 .

3. Esboçar o gráfico dos pontos que satisfaz cada uma das seguintes relações:

1. S = { (x, y)  R^2 /. y  2x, y  2^{-x} }

2. S = { (x, y)  R^2 /. y  2^{-x}, y + x  0, x^2 + y^2 < 4 }

3. S = { (x, y)  R^2 /. y  3x, y + x < 0, y  2^{-x} }

4. S = { (x, y)  R^2 /. y  log_4x, x^2 + y^2  9, x > 0 }

5. S = { (x, y)  R^2 /. y  log_{0.6}x, x^2 + y^2 < 16, x > 0 }

6. S = { (x, y)  R^2 /. x  log_3y, x^2 + y^2 < 9, y > 0 }

7. S = { (x, y)  R^2 /. x  2y , y - x  0, x^2 + y^2 < 16 }

4. Diga quais das funções são periódicas. Nos casos afirmativos, determine quando existem os períodos.

1. f(x) = x + 2. f(x) = 1 se x  Z

3. f(x) = 4. f(x) =

5. Os lados de um triângulo medem 1 cm e 2 cm respectivamente. Construir o gráfico da área do triângulo como função do ângulo x compreendido entre tais lados.

6. Demonstrar as seguintes identidades:

1. Ln | csc x - cot x | = - Ln | csc x + cot x |

2. Se f(x) = -Ln | csc x + cot x | , então e^{3Ln } = | sen x/{1 + cos x}|

7. Sejam as funções, f(x) = {e^x +e^{-x}}/2 e g(x) = {e^x - e^{-x}}/2 .Demonstrar:

1. f(x) + f(y) = 2f( {x+y}/2) .g( {x-y}/2)

2. {g(2x)+g(4y)}/{f(2x)+f(4y)} = (g/f)(x+y)

3. g(x) + g(y) = 2g( {x+y}/2) . g( {x-y}/2)

4. [g(x)]^2 + [f(x)]^2 = 1

5. [f(x) + g(x)]^n = f(nx) + g(nx) n \in \mathbb{N}

6. f(x) é função par e, g(x) é função ímpar.

7. [f(x/2)]^2 = {g(x) - 1}/2 e [g(x/2)]^2 = {g(x) + 1}/2

8. Mostre que:

1. cos(arcsen x) = 2. sen(arccos x) =

3. sec(arctan x) = 4. csc(arccot x) =

9. Sejam A, B, C e D ângulos de um quadrilátero convexo, mostre que:

cos2A + cos2B + cos2C + cos2D = 4cos(A+B) .cos(A+C) .cos(A+D)

10. Se A e C representam respectivamente o maior e menor dos ângulos de um triângulo tais que seus lados formam uma progressão aritmética. Mostre que: 4(1-cos A)(1 - cos C) = cos A . cos C .

11. Achar o domínio de definição das seguintes funções:

1. y = 2. y = Ln(sen x)

12. Verificar as seguintes fórmulas:

1.  /4 = arctan + arctan + arctan

2. 2arctan = arctan

3.  /4} = 2 arctan + arctan + 2 arctan

4.  /4} = 5 arctan + 2 arctan {3/79}

13. Mostre que o gráfico da função f(x) = loga(x + ) é simétrico respeito à origem de coordenadas. Determine sua função inversa.

14. Escrever em forma explícita uma função y = f(x) dada em forma implícita mediante cada uma das equações:

1. x^2 + y^2 = 1 2. {x^2}/{a^2} + {y^2}/{b^2}= 1

3. Ln(x) + \Ln(y+1) = 4 4. x^3 + y^3 = a^3

5. 2^{x+y}(x^2 - 2) = x^3 + 7 6. (1+x)cos y - x^2 = 0

15. Seja f(x) = a . cos(bx + c) . Quais devem ser os valores das constantes a, b e c para obter a identidade f(x+1) - f(x) = sen x ?

16. Determine a variação de x para satisfazer as seguintes igualdades:

1. 2sen x = -

2. 2cos x = -

3. 2 sen x = -